Standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) \{W(t), t \ge 0\} olarak verilmiştir. Bu s… — KPSS İstatistik

Standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) $\{W(t), t \ge 0\}$ olarak verilmiştir. Bu sürecin $0$ ile $t$ zaman aralığındaki integralini temsil eden

Y(t) = \int_{0}^{t} W(s) ds

rastgele değişkeni tanımlanıyor.

Buna göre, $Y(t)$ rastgele değişkeninin olasılık dağılımı ve varyansı aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Normal dağılım, $\frac{t^3}{3}$ Answer
B
Normal dağılım, $\frac{t^2}{2}$
C
Normal dağılım, $\frac{t^3}{6}$
D
Lognormal dağılım, $\frac{t^3}{3}$
E
Normal dağılım, $t$

Answer

Rastgele değişken Normal dağılıma sahiptir ve varyansı

\frac{t^3}{3}

olarak hesaplanır.

Wiener sürecinin integrali yine normal dağılımlı bir rastgele değişken oluşturur.

Y(t)

'nin beklenen değeri 0'dır. Varyans hesabı yapılırken

E[(\int W(u)du)(\int W(v)dv)]

açılımı kullanılır. Bu ifade

\int \int E[W(u)W(v)] du dv

şekline dönüşür.

E[W(u)W(v)] = \min(u,v)

olduğu için çift katlı integral alındığında sonuç

\frac{t^3}{3}

bulunur.

Step-by-Step Solution

Y(t)'nin Dağılım Türünün Belirlenmesi

Normal Dağılım

Wiener sürecinin yörüngelerinin integrali, (Riemann toplamının limiti olarak) ardışık bağımsız ve normal dağılımlı artışların bir lineer kombinasyonudur. Normal rastgele değişkenlerin lineer kombinasyonu da daima normal dağıldığı için, Y(t) Normal dağılıma sahiptir.

Varyans Hesabı İçin Beklenen Değer Formülünün Kurulması

Var(Y(t)) = E[Y(t)^2] = \int_0^t \int_0^t E[W(u)W(v)] du dv

E[W(s)]=0

olduğu için

E[Y(t)]=0

'dır. Varyans doğrudan

Y(t)

'nin karesinin beklenen değerine eşittir. İntegralin karesi, iki ayrı değişkenle (u ve v) çift katlı integrale dönüştürülür.

Kovaryansın İntegrale Yerleştirilmesi ve Hesaplanması

2 \int_0^t \int_0^v u \, du \, dv = \frac{t^3}{3}

E[W(u)W(v)] = Cov(W(u), W(v)) = \min(u, v)

eşitliği kullanılır. Bölge simetrik olduğundan, integral

u < v

üçgensel bölgesi üzerinde hesaplanıp 2 ile çarpılır. İç integral

u

'ya göre

v^2/2

, dış integral

v

'ye göre hesaplandığında sonuç

t^3/3

çıkar.

Key Concept

Wiener Süreci İntegralinin Dağılımı ve Varyansı

Alternative Method

Varyans hesabı için stokastik analizde (Ito İzometrisi yaklaşımıyla) bilinen

\int_0^t W(s) ds = t W(t) - \int_0^t s dW(s)

kısmi integrasyon formülü kullanılarak da doğrudan varyans bulunabilir. Bu durumda deterministik integraller bağımsız artışlar şeklinde düşünülebilir:

Var(Y(t)) = Var(\int_0^t (t-s) dW(s)) = \int_0^t (t-s)^2 ds = \frac{t^3}{3}

çok daha pratik bir şekilde elde edilir.

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic