Examkin

Question

Difficulty: MediumDurumların Sınıflandırılması ve Sınır (Kararlı Durum) Olasılıkları

Devlet Su İşleri (DSİ) tarafından yönetilen bir hidroelektrik santralinin aylık ortalama baraj doluluk seviyesi üç farklı durumda sınıflandırılmaktadır:
1: Kritik Seviye
2: Uygun Seviye
3: Tam Kapasite

Sistemin aydan aya doluluk seviyeleri arasındaki geçiş olasılıkları aşağıdaki geçiş matrisi (PP) ile modellenmiştir:

P=[0604002050300604] P = \begin{bmatrix} 0{}6 & 0{}4 & 0 \\ 0{}2 & 0{}5 & 0{}3 \\ 0 & 0{}6 & 0{}4 \end{bmatrix}

Bu stokastik modele göre, barajın uzun dönemde (kararlı durumda) "Kritik Seviye" (1 numaralı durum) durumunda bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0600{}60
  2. B
    0500{}50
  3. 0250{}25Answer
  4. D
    0400{}40
  5. E
    0330{}33

Answer

Sistemin uzun dönemde "Kritik Seviye" durumunda bulunma olasılığı 0250{}25'tir.
Kararlı durum (sınır) olasılıkları πP=π\pi P = \pi ve ∑πi=1\sum \pi_i = 1 denklemleri çözülerek bulunur. π1=06π1+02π2\pi_1 = 0{}6\pi_1 + 0{}2\pi_2 eşitliğinden π2=2π1\pi_2 = 2\pi_1 elde edilir. Aynı şekilde 3. sütun eşitliği olan π3=03π2+04π3\pi_3 = 0{}3\pi_2 + 0{}4\pi_3 ifadesinden π3=05π2=π1\pi_3 = 0{}5\pi_2 = \pi_1 sonucuna ulaşılır. Toplam olasılık 1 olması gerektiğinden; π1+2π1+π1=4π1=1\pi_1 + 2\pi_1 + \pi_1 = 4\pi_1 = 1 denklemi kurulur ve buradan Kritik Seviye durumunun kararlı durum olasılığı π1=025\pi_1 = 0{}25 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Kararlı durum olasılık vektörünün (π=[π1,π2,π3]\pi = [\pi_1, \pi_2, \pi_3]) sağlaması gereken temel denklemleri kurmak.
πP=π\pi P = \pi ve π1+π2+π3=1\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1 denklemleri oluşturulur.
Ergodik bir Markov zincirinde sistemin uzun dönem olasılıkları, geçiş matrisinin toplamı 1 olan sol özvektörü bulunarak hesaplanır.
2
Matris çarpımını gerçekleştirerek π1,π2,π3\pi_1, \pi_2, \pi_3 değişkenleri arasındaki eşitlikleri yazmak.
1. sütun için: π1=06π1+02π2  ⟹  04π1=02π2  ⟹  π2=2π1\pi_1 = 0{}6\pi_1 + 0{}2\pi_2 \implies 0{}4\pi_1 = 0{}2\pi_2 \implies \pi_2 = 2\pi_1
3. sütun için: π3=03π2+04π3  ⟹  06π3=03π2  ⟹  π3=05π2=05(2π1)=π1\pi_3 = 0{}3\pi_2 + 0{}4\pi_3 \implies 0{}6\pi_3 = 0{}3\pi_2 \implies \pi_3 = 0{}5\pi_2 = 0{}5(2\pi_1) = \pi_1
Denklem sistemini çözebilmek için tüm bilinmeyenleri tek bir değişken (π1\pi_1) cinsinden ifade etmek.
3
Elde edilen ifadeleri toplam olasılık denkleminde yerine koyarak π1\pi_1 değerini hesaplamak.
π1+2π1+π1=1  ⟹  4π1=1  ⟹  π1=025\pi_1 + 2\pi_1 + \pi_1 = 1 \implies 4\pi_1 = 1 \implies \pi_1 = 0{}25
Soruda istenilen 1 numaralı durumun (Kritik Seviye) sınır olasılığını bulmak.

Key Concept

Kararlı Durum (Sınır) Olasılıkları
Rate this question

Topics

Durumların Sınıflandırılması ve Sınır (Kararlı Durum) Olasılıkları