Examkin

Question

Difficulty: MediumBağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)

Bir kamu kurumunda, gelen resmi evrakların sisteme kaydedilmesi ve ardından ilgili birimlere sevk edilmesi olmak üzere iki ardışık işlem aşaması bulunmaktadır.

Bir evrakın kayıt aşamasında geçirdiği süre (saat cinsinden) XX rastgele değişkeni ile, sevk aşamasında geçirdiği süre ise YY rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX değişkeni λ1=2\lambda_1 = 2 parametreli üstel dağılıma, YY değişkeni ise λ2=3\lambda_2 = 3 parametreli üstel dağılıma sahiptir. Bu iki işlem aşaması birbirinden bağımsız olarak gerçekleşmektedir.

Buna göre, bir evrakın bu iki aşamada geçirdiği toplam süre olan Z=X+YZ = X + Y rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu fZ(z)f_Z(z) ( z>0z > 0 için ) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 6(e−2z−e−3z)6(e^{-2z} - e^{-3z})Answer
  2. B
    6e−5z6e^{-5z}
  3. C
    5e−5z5e^{-5z}
  4. D
    6e−2z6e^{-2z}
  5. E
    3e−3z3e^{-3z}

Answer

Toplam süre olan Z değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu 6(e−2z−e−3z)6(e^{-2z} - e^{-3z}) olarak bulunur.
Birbirinden bağımsız iki sürekli rastgele değişkenin toplamının olasılık yoğunluk fonksiyonu, bu değişkenlerin kendi yoğunluk fonksiyonlarının konvolüsyon (evrişim) integrali alınarak bulunur. Formül gereği, fZ(z)=∫0zfX(x)fY(z−x)dxf_Z(z) = \int_0^z f_X(x) f_Y(z-x) dx işlemi uygulanır. Verilen fonksiyonlar yerine konulduğunda integral dışına 6e−3z6e^{-3z} çarpanı çıkar ve içeride ∫0zexdx\int_0^z e^x dx integrali kalır. Bu integral ez−1e^z - 1 sonucunu verir. Çarpanlar dağıtıldığında doğru yoğunluk fonksiyonu olan 6(e−2z−e−3z)6(e^{-2z} - e^{-3z}) eşitliğine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Bağımsız XX ve YY rastgele değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonlarını (PDF) formülize et.
fX(x)=2e−2xf_X(x) = 2e^{-2x} (x>0x > 0) ve fY(y)=3e−3yf_Y(y) = 3e^{-3y} (y>0y > 0).
Toplam değişkenin dağılımını bulmak için öncelikle iki bileşenin marjinal dağılımları yazılmalıdır.
2
Z=X+YZ = X + Y rastgele değişkeni için konvolüsyon (evrişim) integralini sınırlarıyla birlikte kur.
fZ(z)=∫0zfX(x)fY(z−x)dxf_Z(z) = \int_0^z f_X(x) f_Y(z-x) dx
İki bağımsız sürekli rastgele değişkenin toplamının dağılımı, PDF'lerinin evrişimi alınarak hesaplanır. Süreler negatif olamayacağından (x>0x>0 ve z−x>0z-x>0) integrasyon sınırları 00 ile zz arasında olmalıdır.
3
Fonksiyonları integralde yerine koy ve xx'e bağlı olmayan terimleri düzenle.
fZ(z)=∫0z(2e−2x)(3e−3(z−x))dx=6e−3z∫0zexdxf_Z(z) = \int_0^z (2e^{-2x})(3e^{-3(z-x)}) dx = 6e^{-3z} \int_0^z e^x dx
İntegrali çözebilmek için üsler toplanmış (−2x−3z+3x=x−3z-2x - 3z + 3x = x - 3z) ve integralin değişkeni olmayan e−3ze^{-3z} terimi katsayılarla birlikte dışarı alınmıştır.
4
Belirli integrali çöz ve alt-üst sınırları yerleştirerek sonucu bul.
6e−3z[ex]0z=6e−3z(ez−e0)=6e−3z(ez−1)=6(e−2z−e−3z)6e^{-3z} [e^x]_0^z = 6e^{-3z}(e^z - e^0) = 6e^{-3z}(e^z - 1) = 6(e^{-2z} - e^{-3z})
İntegral alma işlemi doğru sınır değerleri uygulanarak tamamlanmış ve Z değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu elde edilmiştir.

Key Concept

İki Bağımsız Sürekli Rastgele Değişkenin Toplamı ve Konvolüsyon

Alternative Method

Moment Çıkaran Fonksiyonlar (MGF) kullanılarak da pratik bir çözüm yapılabilir. XX için MX(t)=22−tM_X(t) = \frac{2}{2-t}, YY için MY(t)=33−tM_Y(t) = \frac{3}{3-t}'dir. Z=X+YZ=X+Y bağımsız olduğundan MZ(t)=MX(t)MY(t)=6(2−t)(3−t)M_Z(t) = M_X(t)M_Y(t) = \frac{6}{(2-t)(3-t)} olur. Kısmi kesirlere ayrılarak MZ(t)=62−t−63−tM_Z(t) = \frac{6}{2-t} - \frac{6}{3-t} elde edilir. Her iki terimin ters MGF'si alındığında yoğunluk fonksiyonu doğrudan 6(e−2z−e−3z)6(e^{-2z} - e^{-3z}) olarak bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Bağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)