Ulaştırma ve Altyapı Bakanlığı denetçileri, yeni açılan bir Yüksek Hızlı Tren (YHT) hattın… — KPSS İstatistik

Ulaştırma ve Altyapı Bakanlığı denetçileri, yeni açılan bir Yüksek Hızlı Tren (YHT) hattındaki sefer gecikme sürelerinin kitle ortalamasını ( $\mu$ ) tahmin etmek istemektedir. Kitle varyansının bilinmediği ve gecikme sürelerinin normal dağılım gösterdiği varsayılmaktadır. Rastgele seçilen $n=9$ seferin incelenmesi sonucunda, örneklem ortalama gecikme süresi $\bar{x} = 15$ dakika ve örneklem standart sapması $S = 6$ dakika olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, kitle ortalama gecikme süresi için %95 güven düzeyindeki güven aralığı ve bu aralığın doğru istatistiksel yorumu aşağıdakilerden hangisinde birlikte verilmiştir?

(Kritik değerler: $Z_{0.025} = 1.96$ , $t_{8, 0.025} = 2.306$ , $t_{9, 0.025} = 2.262$ )

$(10.388,\; 19.612)$ ; Benzer şekilde oluşturulacak tüm güven aralıklarının %95'i gerçek kitle ortalamasını kapsayacaktır.Answer
B
$(11.080,\; 18.920)$ ; Gerçek kitle ortalamasının bu aralıkta bulunma olasılığı %95'tir.
C
$(10.388,\; 19.612)$ ; Gerçek kitle ortalamasının bu aralıkta bulunma olasılığı %95'tir.
D
$(11.080,\; 18.920)$ ; Benzer şekilde oluşturulacak tüm güven aralıklarının %95'i gerçek kitle ortalamasını kapsayacaktır.
E
$(1.164,\; 28.836)$ ; Benzer şekilde oluşturulacak tüm güven aralıklarının %95'i gerçek kitle ortalamasını kapsayacaktır.

Answer

Hesaplanan güven aralığı

(10.388,\; 19.612)

olmalı ve bu aralığın yorumu, tekrarlı örneklemlerin %95'inin gerçek parametreyi kapsayacağı yönünde yapılmalıdır.

Doğru seçenekte, kitle varyansı bilinmediğinden serbestlik derecesi 8 olan T dağılımı kritik değeri (2.306) kullanılarak aralık

(10.388, 19.612)

olarak doğru hesaplanmıştır. Ayrıca istatistiksel yorum, frekansçı teorinin temeline uygun olarak 'rastgele örneklemlerle elde edilecek bu tür aralıkların %95'inin gerçek parametreyi kapsayacağı' şeklinde doğru ifade edilmiştir.

Step-by-Step Solution

Verilen parametreleri ve uygun dağılımı belirleme

n=9

\bar{x}=15

S=6

. Kitle varyansı bilinmiyor ve örneklem çapı küçük (

n<30

). Bu nedenle T dağılımı kullanılacaktır.

Kitle varyansı bilindiğinde veya örneklem çok büyük olduğunda Z dağılımı kullanılır. Bilinmediğinde ve n küçük olduğunda serbestlik derecesi

v = n-1

olan T dağılımı esastır.

Kritik değeri ve standart hatayı hesaplama

Serbestlik derecesi

v = 9-1 = 8

. Kritik değer

t_{8, 0.025} = 2.306

. Standart hata

S_{\bar{x}} = \frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{6}{\sqrt{9}} = 2

Güven aralığı sınırları hesaplanırken örneklem standart sapması değil, ortalamanın standart hatası kullanılmalıdır.

Hata payını (E) ve güven sınırlarını hesaplama

E = 2.306 \times 2 = 4.612

. Alt sınır:

15 - 4.612 = 10.388

. Üst sınır:

15 + 4.612 = 19.612

. Aralık:

(10.388, 19.612)

Güven aralığı formülü:

\bar{x} \pm t_{n-1, \alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}}

Güven aralığının teorik yorumunu yapma

Klasik istatistikte, hesaplanan belirli bir aralığın kitle ortalamasını içerme olasılığından bahsedilemez (olasılık ya 0 ya da 1'dir). Doğru yorum: Aynı süreç tekrarlandığında elde edilecek aralıkların %95'i kitle ortalamasını içerecektir.

Güven düzeyi, belirli bir aralığın özelliğini değil, tahmin sürecinin (metodun) uzun vadedeki güvenilirliğini ifade eder.

Key Concept

Tek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı ve Yorumu (Kitle Varyansı Bilinmiyorken)

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic