Aralık Tahmini Practice Questions — KPSS İstatistik — Page 7

Question 121Question →

Bir İl Sağlık Müdürlüğü, devlet hastanelerinin acil servislerindeki bekleme sürelerinin değişkenliğini incelemektedir. Bu amaçla rastgele seçilen $21$ hastanın bekleme süreleri incelenmiş ve örneklem standart sapması $6$ dakika olarak hesaplanmıştır. Acil servisteki bekleme sürelerinin normal dağılıma uyduğu varsayılmaktadır.

Buna göre, acil servis bekleme sürelerinin kitle varyansı ( $\sigma^2$ ) için $\%90$ güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Tablo değerleri: $\chi^2_{0,05; 20} = 31,41$ , $\chi^2_{0,95; 20} = 10,85$ , $\chi^2_{0,05; 21} = 32,67$ , $\chi^2_{0,95; 21} = 11,59$ )

[22,92; \, 66,36]

[1,15; \, 3,32]

[23,14; \, 65,23]

[3,82; \, 11,06]

[24,07; \, 69,68]

Show answer & explanation

Answer: $[22,92; \, 66,36]$

Answer

Doğru güven aralığı

[22,92; \, 66,36]

'dır.

Kitle varyansı (

\sigma^2

) için

\%90

güven aralığı hesaplanırken, örneklem hacmi

n=21

olduğu için serbestlik derecesi

20

'dir. Standart sapma

6

verildiği için örneklem varyansı

36

'dır. Formül gereği pay kısmı

(n-1)S^2 = 20 \times 36 = 720

olarak bulunur. Alt sınır için tablo değerinin büyüğü (

\chi^2_{0,05; 20} = 31,41

), üst sınır için ise küçüğü (

\chi^2_{0,95; 20} = 10,85

) paydaya yazılır. İlgili bölme işlemleri yapıldığında aralık

[22,92; \, 66,36]

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen parametrelerin tanımlanması

Örneklem hacmi

n = 21

, örneklem standart sapması

S = 6

, güven düzeyi

1 - \alpha = 0,90

.

Güven aralığı formülünde kullanılacak temel bileşenleri belirlemek için.

2

Örneklem varyansının ve serbestlik derecesinin bulunması

Örneklem varyansı

S^2 = 6^2 = 36

. Serbestlik derecesi (sd)

= n - 1 = 20

.

Tek kitle varyansı güven aralığında Ki-kare dağılımı

(n-1)

serbestlik derecesi ile kullanılır ve formül

S^2

gerektirir.

3

Kritik Ki-kare tablo değerlerinin belirlenmesi

\alpha = 0,10

olduğundan, aranan değerler

\chi^2_{\alpha/2; n-1}

ve

\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}

'dir. Yani

\chi^2_{0,05; 20} = 31,41

ve

\chi^2_{0,95; 20} = 10,85

.

Güven aralığının alt ve üst sınırlarını oluşturacak payda değerlerini saptamak için.

4

Güven aralığı sınırlarının hesaplanması

Alt sınır:

\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0,05; 20}} = \frac{20 \times 36}{31,41} = \frac{720}{31,41} \approx 22,92

. Üst sınır:

\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0,95; 20}} = \frac{20 \times 36}{10,85} = \frac{720}{10,85} \approx 66,36

.

Kitle varyansı için pivot fonksiyonu olan

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}

dağılımından yola çıkarak nihai sınırları elde etmek için.

Key Concept

Tek kitle varyansının Ki-kare dağılımı kullanılarak aralık tahmini

Question 122Question →

Bir kamu bankasının risk yönetimi departmanında çalışan bir uzman, iki farklı kredi portföyünün (Bireysel ve Ticari) temerrüt sürelerindeki değişkenliği incelemektedir. Bireysel kredilerden rastgele seçilen 13 dosyanın varyansı $S_1^2 = 30$ , Ticari kredilerden rastgele seçilen 10 dosyanın varyansı ise $S_2^2 = 20$ olarak bulunmuştur. (Kitlelerin normal dağıldığı varsayılmaktadır.)

Buna göre, kitle varyansları oranı $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$ için $\%95$ güven aralığının sınırları aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

\left[ \frac{3}{2} \frac{1}{F_{0.025; 12, 9}}, \frac{3}{2} F_{0.025; 9, 12} \right]

\left[ \frac{3}{2} \frac{1}{F_{0.025; 13, 10}}, \frac{3}{2} F_{0.025; 10, 13} \right]

\left[ \frac{2}{3} \frac{1}{F_{0.025; 9, 12}}, \frac{2}{3} F_{0.025; 12, 9} \right]

\left[ \frac{3}{2} \frac{1}{F_{0.025; 12, 9}}, \frac{3}{2} F_{0.025; 12, 9} \right]

\left[ \frac{3}{2} \frac{1}{t_{0.025; 21}}, \frac{3}{2} t_{0.025; 21} \right]

Show answer & explanation

Answer: $\left[ \frac{3}{2} \frac{1}{F_{0.025; 12, 9}}, \frac{3}{2} F_{0.025; 9, 12} \right]$

Answer

Doğru güven aralığı, varyanslar oranının (3/2) alt sınır için 1/F(0.025; 12, 9) ile, üst sınır için ise F(0.025; 9, 12) ile çarpıldığı seçenektir.

İki kitle varyansı oranı için güven aralığı hesaplanırken F dağılımı kullanılır. Örneklem varyansları oranı

\frac{S_1^2}{S_2^2} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}

olarak bulunur. Serbestlik dereceleri

n_1-1 = 12

ve

n_2-1 = 9

'dur. Güven aralığının alt sınırı hesaplanırken

\frac{1}{F_{\alpha/2; v_1, v_2}}

çarpanı, üst sınırı hesaplanırken ise F dağılımının asimetrik özelliğinden dolayı serbestlik dereceleri yer değiştirilerek

F_{\alpha/2; v_2, v_1}

çarpanı kullanılır. Formülde değerler yerine konduğunda doğru aralık bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen bilgileri ve örneklem istatistiklerini matematiksel olarak tanımlama.

n_1 = 13

,

S_1^2 = 30

,

n_2 = 10

,

S_2^2 = 20

,

\alpha = 0.05

Güven aralığı formülünde kullanılacak parametreleri belirlemek.

2

Serbestlik derecelerini ve örneklem varyansları oranını hesaplama.

v_1 = 13 - 1 = 12

,

v_2 = 10 - 1 = 9

ve

\frac{S_1^2}{S_2^2} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}

F dağılımı kritik değerleri serbestlik derecelerine bağlıdır ve aralık tahmini örneklem varyansları oranı etrafında oluşturulur.

3

İki kitle varyansı oranı için

\%95

güven aralığı formülünü kurma ve sınırları türetme.

Alt sınır:

\frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{\alpha/2; v_1, v_2}} = \frac{3}{2} \frac{1}{F_{0.025; 12, 9}}

Üst sınır:

\frac{S_1^2}{S_2^2} F_{\alpha/2; v_2, v_1} = \frac{3}{2} F_{0.025; 9, 12}

F dağılımının asimetrik yapısı gereği üst sınır hesaplanırken serbestlik dereceleri yer değiştirir (

F_{1-\alpha/2; v_1, v_2} = 1 / F_{\alpha/2; v_2, v_1}

).

Key Concept

İki Kitle Varyansları Oranı İçin Güven Aralığı ve F Dağılımı

Question 123Question →

Bir yazılım şirketi, yeni piyasaya sürdüğü bir mobil uygulamanın aktif kullanıcıları arasında, uygulamaya yeni eklenen 'iki adımlı doğrulama' güvenlik özelliğini aktif edenlerin oranını tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla şirketin veri tabanından rastgele seçilen $14400$ aktif kullanıcının incelendiği bir örneklemde, $5184$ kullanıcının bu özelliği etkinleştirdiği tespit edilmiştir.

Buna göre, tüm aktif kullanıcılar arasında iki adımlı doğrulama özelliğini etkinleştirenlerin gerçek oranı için $\%95$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
$(Z_{0.05} = 1.645; \ Z_{0.025} = 1.96; \ Z_{0.005} = 2.575)$

[0.35216, \ 0.36784]

[0.35342, \ 0.36658]

[0.35020, \ 0.36980]

[0.34970, \ 0.37030]

[0.35600, \ 0.36400]

Show answer & explanation

Answer: $[0.35216, \ 0.36784]$

Answer

[0.35216, \ 0.36784]

aralığıdır.

Verilen bilgiler doğrultusunda örneklem çapı

n = 14400

ve ilgilenilen olay (iki adımlı doğrulamayı açanlar) sayısı

x = 5184

'tür. Örneklem oranı

\hat{p} = 5184 / 14400 = 0.36

olarak hesaplanır. Örneklem oranının standart hatası

SE = \sqrt{\frac{0.36 \times 0.64}{14400}} = \sqrt{\frac{0.2304}{14400}} = 0.004

olarak bulunur.

\%95

güven aralığı için standart normal dağılımdan gelen

Z_{0.025} = 1.96

kritik değeri kullanılır. Formül

\hat{p} \pm (Z_{\alpha/2} \times SE)

şeklinde uygulandığında, hesaplama

0.36 \pm (1.96 \times 0.004) = 0.36 \pm 0.00784

olur. Bu işlem sonucunda güven aralığı sınırları

[0.35216, \ 0.36784]

olarak doğru şekilde elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem oranını (

\hat{p}

) hesapla.

\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{5184}{14400} = 0.36

Kitle oranının nokta tahmini, örneklemdeki başarı sayısının örneklem hacmine bölümüyle elde edilir.

2

Tahminin standart hatasını (SE) hesapla.

SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.36 \times 0.64}{14400}} = \sqrt{\frac{0.2304}{14400}} = \frac{0.48}{120} = 0.004

Tek kitle oranı için güven aralığı oluşturulurken varyans tahmini

\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}

olarak kullanılır ve bunun karekökü standart hatayı verir.

3

Güven düzeyi için kritik Z değerini belirle.

\%95

güven düzeyi için

1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05

olup aralık tahmini yapıldığından iki yönlü test için

Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96

değeri seçilir.

Güven aralığı standart normal dağılım eğrisinin her iki kuyruğunda da

\alpha/2

alan bırakan Z tablo değerini gerektirir.

4

Hata payını (ME) ve güven aralığı sınırlarını hesapla.

Hata payı

= 1.96 \times 0.004 = 0.00784

. Güven aralığı

= 0.36 \pm 0.00784 = [0.35216, \ 0.36784]

Nokta tahmininden hata payının çıkarılması ve eklenmesi kitle oranı için aralığın alt ve üst sınırlarını verir.

Key Concept

Büyük örneklemlerde tek kitle oranı için asimptotik güven aralığı hesabı.

Question 124Question →

Bir büyükşehir belediyesi, toplu taşıma hizmetlerinde dijital bilet kullanım oranlarını incelemek amacıyla merkez ve çevre ilçelerde bağımsız rastgele örneklemler seçerek bir araştırma yapmıştır. Yapılan çalışmada, merkez ilçeden seçilen $300$ yolcunun $90$ 'ının, çevre ilçelerden seçilen $100$ yolcunun ise $10$ 'unun sadece dijital bilet kullandığı tespit edilmiştir.

Buna göre, merkez ilçedeki yolcuların dijital bilet kullanma oranı ile çevre ilçelerdeki yolcuların dijital bilet kullanma oranı arasındaki fark ( $p_M - p_C$ ) için %95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $Z_{0,025} = 1,96$ alınız.)

(0,1020 \,;\, 0,2980)

(0,1124 \,;\, 0,2877)

(0,1216 \,;\, 0,2784)

(-0,2784 \,;\, -0,1216)

(0,0893 \,;\, 0,3107)

Show answer & explanation

Answer: $(0,1216 \,;\, 0,2784)$

Answer

Merkez ve çevre ilçeler için hesaplanan iki kitle oranları farkının %95 güven aralığı

(0,1216 \,;\, 0,2784)

değerlerini içeren seçenektir.

Doğru cevap, merkez ve çevre ilçelerin ayrı ayrı oran varyansları kullanılarak hesaplanan standart hata ile elde edilen aralıktır. Merkez ilçe için oran

\hat{p}_M=0,30

ve çevre ilçe için

\hat{p}_C=0,10

olup fark

0,20

'dir. Varyanslar toplamı

0,0007 + 0,0009 = 0,0016

olarak bulunur. Bunun karekökü alınarak standart hata

0,04

elde edilir. %95 güven düzeyi için hata payı

1,96 \cdot 0,04 = 0,0784

'tür. Güven aralığı

0,20 \pm 0,0784

işlemiyle

(0,1216 \,;\, 0,2784)

olarak belirlenir.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem oranlarını hesaplayın.

Merkez ilçe:

\hat{p}_M = \frac{90}{300} = 0,30

. Çevre ilçe:

\hat{p}_C = \frac{10}{100} = 0,10

.

İki kitle oranı farkı güven aralığını bulmak için öncelikle ayrı ayrı nokta tahmin edicilere ihtiyaç vardır.

2

Oranlar arası farkın nokta tahminini bulun.

\hat{p}_M - \hat{p}_C = 0,30 - 0,10 = 0,20

.

Güven aralığı bu nokta tahmini (fark) etrafında şekillenecektir.

3

İki bağımsız oran farkının standart hatasını (SE) hesaplayın.

SE = \sqrt{\frac{0,30 \cdot 0,70}{300} + \frac{0,10 \cdot 0,90}{100}} = \sqrt{0,0007 + 0,0009} = \sqrt{0,0016} = 0,04

.

Güven aralığının genişliğini belirleyen hata payını bulmak için iki bağımsız örneklemin varyansları toplanarak standart hata elde edilmelidir.

4

Hata payını (ME) bularak %95 güven aralığını oluşturun.

ME = 1,96 \cdot 0,04 = 0,0784

. Aralık:

0,20 \pm 0,0784 \implies (0,1216 \,;\, 0,2784)

.

Nokta tahmininden hesaplanan hata payı çıkarılıp toplanarak güven aralığının alt ve üst sınırları bulunur.

Key Concept

İki kitle oranları farkının güven aralığı

Estimated Time:2m 0s

Question 125Question →

Ticaret Bakanlığı Gümrükler Genel Müdürlüğü'nde görevli bir uzman, belirli bir gümrük kapısındaki ithalat beyannamelerinin onaylanma sürelerinin kitle ortalamasını ( $\mu$ , dakika) tahmin etmek istemektedir. Bu sürelerin normal dağılıma sahip olduğu bilinmekle birlikte, kitle varyansı bilinmemektedir.

Uzman, rastgele seçtiği $n = 25$ adet beyannamenin onaylanma süresini incelemiş; örneklem ortalamasını $\bar{x} = 120$ dakika ve örneklem standart sapmasını $s = 15$ dakika olarak hesaplamıştır.

( $t_{24, 0.025} = 2.064$ ve $z_{0.025} = 1.96$ olarak alınacaktır.)

Buna göre, beyanname onaylanma sürelerinin kitle ortalaması için %95 güven düzeyine sahip aralık tahmini ve bu güven düzeyinin doğru istatistiksel yorumu aşağıdakilerin hangisinde birlikte verilmiştir?

(114.120, 125.880)

; kitle ortalamasının bu spesifik aralık içinde bulunma ihtimali %95'tir.

(113.808, 126.192)

; aynı süreç tekrarlanarak elde edilecek olası aralıkların %95'inin bilinmeyen kitle ortalamasını içermesi beklenir.

(114.120, 125.880)

; aynı süreç tekrarlanarak elde edilecek olası aralıkların %95'inin bilinmeyen kitle ortalamasını içermesi beklenir.

(113.808, 126.192)

; kitle ortalamasının bu spesifik aralık içinde bulunma ihtimali tam olarak %95'tir.

(89.040, 150.960)

; örneklemden elde edilecek ortalamaların %95'inin bu aralığa düşeceği garanti edilmektedir.

Show answer & explanation

Answer: $(113.808, 126.192)$ ; aynı süreç tekrarlanarak elde edilecek olası aralıkların %95'inin bilinmeyen kitle ortalamasını içermesi beklenir.

Answer

Doğru yanıt, aralığın (113.808, 126.192) olduğu ve yorumun "aynı süreç tekrarlanarak elde edilecek olası aralıkların %95'inin bilinmeyen kitle ortalamasını içermesi beklenir" şeklinde yapıldığı seçenektir.

Verilen problemde kitle varyansı bilinmemektedir, bu sebeple Z dağılımı yerine T dağılımı kritik değeri olan

2.064

kullanılmalıdır. Standart hata

15/\sqrt{25}=3

olarak bulunduğunda hata payı

2.064 \times 3 = 6.192

olur ve güven aralığı

(113.808, 126.192)

şeklinde hesaplanır. Sıkcıl (frequentist) teoride güven aralıkları parametrenin bir olasılıkla o aralığa düştüğü şeklinde değil; bu prosedürün defalarca tekrar edilmesi durumunda oluşturulacak aralıkların %95'inin gerçek

\mu

değerini kapsayacağı şeklinde yorumlanır.

Step-by-Step Solution

1

Kullanılacak dağılımı ve kritik değeri belirleme

Kitle varyansı bilinmediği ve standart sapma örneklemden (

s=15

) hesaplandığı için Student-T dağılımı kullanılmalıdır. Serbestlik derecesi:

v = n - 1 = 25 - 1 = 24

. %95 güven düzeyi için

t_{24, 0.025} = 2.064

kritik değeri alınır.

Kitle varyansı bilindiğinde Z, bilinmediğinde ise örneklem varyansına bağlı olarak T dağılımı geçerli olmaktadır.

2

Standart hatayı (SE) hesaplama

SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3

Ortalamanın dağılımı etrafındaki varyasyon, standart sapmanın örneklem büyüklüğünün kareköküne bölünmesiyle elde edilen standart hata üzerinden ölçülür.

3

Güven aralığı (CI) sınırlarını hesaplama

Hata payı:

ME = 2.064 \times 3 = 6.192

. Alt sınır:

120 - 6.192 = 113.808

, Üst sınır:

120 + 6.192 = 126.192

. Aralık:

(113.808, 126.192)

Nokta tahmini olan örneklem ortalamasına hata payı eklenip çıkarılarak Aralık Tahmini elde edilir.

4

Güven düzeyini yorumlama

Güven düzeyinin doğru yorumu: Aynı süreç tekrarlanarak elde edilecek olası aralıkların %95'inin bilinmeyen kitle ortalamasını içermesi beklenir.

Klasik (frequentist) istatistikte, hesaplanan somut ve sabit bir aralığın kitle parametresini içerme 'olasılığından' söz edilemez; %95'lik güven düzeyi istatistiksel prosedürün (örnekleme ve hesaplama sürecinin) uzun vadedeki başarı oranını ifade eder.

Key Concept

Tek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı Hesaplama ve Yorumlama

Question 126Question →

Bir veri analisti, sıfır etrafında simetrik hatalar üreten bir sistemin ölçüm sapmalarını incelemektedir. Ölçüm sapmaları ( $X_i$ ), $(-\theta, \theta)$ aralığında sürekli düzgün (uniform) dağılıma uymaktadır ( $\theta > 0$ ). Bu dağılımdan alınan $n$ birimlik rastgele bir örneklem için yeterli istatistik $Y = \max_{1 \le i \le n} |X_i|$ olarak elde edilmiştir.

$\theta$ parametresinin güven aralığını oluşturmak amacıyla uygun bir eksen (pivot) fonksiyonu ( $Q$ ) ve bu fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu ( $f_Q(q)$ ) belirlenmek istenmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi $\theta$ için doğru bir eksen fonksiyonu ve onun olasılık yoğunluk fonksiyonudur?

Q = \frac{Y}{\theta}

bir eksen fonksiyonudur ve

f_Q(q) = n q^{n-1} \quad (0 < q < 1)

şeklindedir.

Q = Y

bir eksen fonksiyonudur ve

f_Q(q) = \frac{n q^{n-1}}{\theta^n} \quad (0 < q < \theta)

şeklindedir.

Q = \frac{\bar{X}}{S/\sqrt{n}}

bir eksen fonksiyonudur ve standart normal (

Z

) dağılıma uyar.

Q = Y - \theta

bir eksen fonksiyonudur ve

f_Q(q) = \frac{n(q+\theta)^{n-1}}{\theta^n} \quad (-\theta < q < 0)

şeklindedir.

Q = \frac{Y}{\theta}

bir eksen fonksiyonudur ve

f_Q(q) = 1 \quad (0 < q < 1)

şeklindedir.

Show answer & explanation

Answer: $Q = \frac{Y}{\theta}$ bir eksen fonksiyonudur ve $f_Q(q) = n q^{n-1} \quad (0 < q < 1)$ şeklindedir.

Answer

Q = \frac{Y}{\theta}

bir eksen fonksiyonudur ve

f_Q(q) = n q^{n-1} \quad (0 < q < 1)

şeklindedir.

Bir eksen (pivot) fonksiyonu, kendisi bilinmeyen parametreyi içermesine rağmen dağılımı parametreden bağımsız olan bir rassal değişkendir.

Y = \max |X_i|

istatistiğinin CDF'i

(y/\theta)^n

'dir.

Q = Y/\theta

dönüştürmesi yapıldığında olasılık sınırları

(0,1)

arasına çekilir ve kümülatif dağılım

q^n

olur. Bu fonksiyonun türevi olan yoğunluk fonksiyonu

n q^{n-1}

, parametre

\theta

'dan bağımsız olduğu için eksen fonksiyonu tanımını karşılar.

Step-by-Step Solution

1

Her bir gözlemin mutlak değerinin dağılımını belirleme.

X_i \sim U(-\theta, \theta)

olduğu için

W_i = |X_i|

değişkeni

(0, \theta)

aralığında sürekli düzgün dağılır. Kümülatif fonksiyon

F_{W}(w) = \frac{w}{\theta}

olur.

Yeterli istatistik olan maksimum değerin (

Y = \max |X_i|

) dağılımını bulabilmek için öncelikle tekil gözlemlerin mutlak sapmalarının dağılımı gereklidir.

2

Yeterli istatistik

Y

'nin kümülatif dağılım fonksiyonunu (CDF) hesaplama.

Y = \max_{1 \le i \le n} W_i

olduğu için

F_Y(y) = [F_{W}(y)]^n = \left(\frac{y}{\theta}\right)^n, \quad 0 \le y \le \theta

olarak bulunur.

Sıra istatistikleri kuralı gereği, birbirinden bağımsız ve aynı dağılımlı değişkenlerin maksimumunun CDF'i, tekil CDF'lerin çarpımına eşittir.

3

Eksen fonksiyonu (

Q

) adayının bağımsızlığını test etme ve olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulma.

Q = \frac{Y}{\theta}

dönüşümü yapıldığında

F_Q(q) = P(Y/\theta \le q) = P(Y \le q\theta) = \left(\frac{q\theta}{\theta}\right)^n = q^n

elde edilir. Türevi alındığında

f_Q(q) = n q^{n-1} \quad (0 < q < 1)

bulunur.

Elde edilen yoğunluk fonksiyonu tamamen

n

(örneklem çapı) ve

q

değerine bağlıdır; bilinmeyen

\theta

parametresini içermediği için geçerli bir eksen fonksiyonudur.

Key Concept

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Estimated Time:2m 0s

Question 127Question →

Bir büyükşehir belediyesinin ulaşım planlama birimi, şehrin iki farklı bölgesinde hizmet veren K ve L otobüs hatlarının bir seferdeki ortalama yolcu sayılarını karşılaştırmak istemektedir. Bu amaçla K hattından rastgele $10$ sefer, L hattından ise rastgele $15$ sefer incelenmiştir. K hattı için sefer başına ortalama yolcu sayısı $85$ ve varyans $38$ olarak hesaplanmıştır. L hattı için ise ortalama yolcu sayısı $75$ ve varyans $15$ bulunmuştur.

İki hattın yolcu sayılarının normal dağılıma sahip olduğu ve kitle varyanslarının bilinmemekle birlikte birbirine eşit olduğu varsayılmaktadır.

Buna göre, K ve L hatlarının sefer başına ortalama yolcu sayıları farkı ( $\mu_K - \mu_L$ ) için %95 güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Hesaplamalarda $t_{0,025; 23} = 2,069$ , $t_{0,025; 25} = 2,060$ ve $Z_{0,025} = 1,96$ değerlerini kullanınız. Sonuçları virgülden sonra iki basamak olacak şekilde yuvarlayınız.)

[5,86; 14,14]

[5,47; 14,53]

[6,08; 13,92]

[5,88; 14,12]

[5,65; 14,35]

Show answer & explanation

Answer: $[5,86; 14,14]$

Answer

Doğru güven aralığı sınırları

[5,86; 14,14]

olarak hesaplanmıştır.

Varyansların bilinmediği ve eşit varsayıldığı senaryolarda güven aralığı formülü

(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2, df} \times \sqrt{S_p^2(1/n_1 + 1/n_2)}

şeklindedir. Ortak varyans

S_p^2 = 24

, standart hata 2 ve 23 serbestlik dereceli t kritik değeri 2,069 olarak bulunur. Bu değerler nokta tahmini olan 10 değerine uygulandığında aralık

[5,86; 14,14]

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen istatistiklerin özetlenmesi ve nokta tahmininin bulunması.

K hattı:

n_1=10

,

\bar{x}_1=85

,

S_1^2=38

. L hattı:

n_2=15

,

\bar{x}_2=75

,

S_2^2=15

. Nokta tahmini:

\bar{x}_1 - \bar{x}_2 = 85 - 75 = 10

.

Güven aralığı, iki örneklem ortalaması arasındaki fark etrafında kurulacaktır.

2

Kitle varyansları eşit varsayıldığı için ortak varyansın (

S_p^2

) hesaplanması.

S_p^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2} = \frac{9(38) + 14(15)}{10 + 15 - 2} = \frac{342 + 210}{23} = \frac{552}{23} = 24

.

Bilinmeyen ancak eşit olan kitle varyansları için her iki örneklemden elde edilen bilgilerin serbestlik dereceleri ile ağırlıklandırılarak birleştirilmesi (pooling) gerekir.

3

Ortalamalar farkının standart hatasının (SE) bulunması.

SE = \sqrt{S_p^2 \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)} = \sqrt{24 \left(\frac{1}{10} + \frac{1}{15}\right)} = \sqrt{24 \left(\frac{5}{30}\right)} = \sqrt{24 \times \frac{1}{6}} = \sqrt{4} = 2

.

Güven aralığının hata payını hesaplamak için örnekleme dağılımının standart hatasına ihtiyaç vardır.

4

Kritik t değerinin belirlenmesi ve hata payının (ME) hesaplanması.

Serbestlik derecesi (df)

= 23

ve

\alpha = 0,05

için çift yönlü tablo değeri

t_{0,025; 23} = 2,069

verilmiştir.

ME = t \times SE = 2,069 \times 2 = 4,138

.

Kitle varyansları bilinmediği için T dağılımı kullanılmalıdır.

5

Güven sınırlarının oluşturulması ve yuvarlanması.

10 \pm 4,138 = [10 - 4,138; 10 + 4,138] = [5,862; 14,138]

. İki basamağa yuvarlandığında aralık

[5,86; 14,14]

olarak bulunur.

Nokta tahmininden hata payı çıkarılıp eklenerek %95 güven aralığı sınırları elde edilir.

Key Concept

İki kitle ortalamaları farkı için ortak varyans kullanılarak güven aralığı oluşturulması

Question 128Question →

Bir malzeme test laboratuvarında, polimer liflerin kopma noktasına kadar olan uzama miktarları ( $X$ ), $\theta > 0$ bir ölçek parametresi olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonu ile modellenmektedir:

f(x; \theta) = \frac{2x}{\theta^2}, \quad 0 < x < \theta

Bu kitle içinden $n$ hacimli bir rastgele örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) seçiliyor. Bu örnekleme dayalı olarak $\theta$ parametresi için bir güven aralığı oluşturulmak istendiğinde, aşağıdakilerden hangisi geçerli bir pivot (eksen) fonksiyonudur?

Q(X, \theta) = \frac{X_{(n)}}{\theta}

Q(X, \theta) = X_{(n)} - \theta

Q(X, \theta) = \sum_{i=1}^n X_i - n\theta

Q(X, \theta) = \bar{X} \cdot \theta

Q(X, \theta) = S^2 + \theta

Show answer & explanation

Answer: $Q(X, \theta) = \frac{X_{(n)}}{\theta}$

Answer

Maksimum örneklem değerinin parametreye oranı olan

X_{(n)}/\theta

ifadesi geçerli bir pivot fonksiyondur.

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonunda

\theta

bir ölçek parametresidir.

Q = X_{(n)} / \theta

şeklinde tanımlanan istatistiğin dağılım fonksiyonu

F_Q(q) = q^{2n}

olarak hesaplanır. Bu fonksiyonun tanım kümesi

[0, 1]

olup içerisinde

\theta

parametresi barındırmaz. Dolayısıyla dağılım parametreden bağımsızdır ve geçerli bir pivot fonksiyondur.

Step-by-Step Solution

1

Pivot fonksiyon tanımını hatırla

Dağılımı bilinmeyen parametreye (

\theta

) bağlı olmayan fonksiyona pivot fonksiyonu denir.

Bir fonksiyonun güven aralığı oluşturmada kullanılabilmesi için dağılımının parametreden bağımsız olması şarttır.

2

Değişken dönüşümü yap

Y = X/\theta

dönüşümü yapıldığında

f_Y(y) = 2y, \quad 0 < y < 1

bulunur.

Ölçek parametresi durumunda örneklem değerlerinin parametreye oranı genellikle parametreden bağımsız bir dağılım verir.

3

Maksimum istatistiğin dağılımını kontrol et

Q = X_{(n)}/\theta

için

F_Q(q) = (q^2)^n = q^{2n}, \quad 0 < q < 1

olur.

Dağılım fonksiyonunda

\theta

parametresi yer almadığı için bu ifade bir pivot fonksiyondur.

Key Concept

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Practice More

Üstel dağılım veya düzgün dağılım için yeterli istatistikler üzerinden farklı pivot fonksiyonlarını inceleyin.

Estimated Time:1m 30s

Question 129Question →

Türkiye İlaç ve Tıbbi Cihaz Kurumu (TİTCK) tarafından yapılan kalite kontrol denetimlerinde, bir partide üretilen ağrı kesici tabletlerin her birindeki etkin madde miktarının ( $mg$ cinsinden) değişkenliği incelenmektedir. Rastgele seçilen $16$ tabletin analizi sonucunda örneklem varyansı $S^2 = 0,8$ olarak hesaplanmıştır.

Etkin madde miktarının normal dağılım gösterdiği varsayıldığına göre, bu partideki tabletlerin etkin madde miktarı varyansı ( $\sigma^2$ ) için $\%95$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $\chi^2_{0,025; 15} = 27,488$ ; $\chi^2_{0,975; 15} = 6,262$ )

[0,437 \ ; \ 1,916]

house

[0,466 \ ; \ 2,044]

house

[1,916 \ ; \ 0,437]

house

[0,349 \ ; \ 1,533]

house

[0,228 \ ; \ 1,000]

house

Show answer & explanation

Answer: $[0,437 \ ; \ 1,916]$ house

Answer

[0,437 \ ; \ 1,916]

aralığı, kitle varyansı için

\%95

güven düzeyindeki tahmin aralığıdır.

Verilen örneklem varyansı

S^2=0,8

ve serbestlik derecesi

n-1=15

değerleri kullanılarak hesaplanan pay değeri

12

olur. Bu değer sırasıyla üst kuyruk kritik değeri olan

27,488

ve alt kuyruk kritik değeri olan

6,262

sayılarına bölündüğünde

[0,437 \ ; \ 1,916]

aralığına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Serbestlik derecesi ve güven düzeyi parametrelerinin belirlenmesi.

n = 16 \Rightarrow df = n - 1 = 15

.

\%95

güven düzeyi için

\alpha = 0,05

ve kuyruk olasılıkları

\alpha/2 = 0,025

.

Varyans için güven aralığı oluşturulurken kullanılan Ki-kare dağılımının parametresi serbestlik derecesidir.

2

Güven aralığı formülünün ve pay değerinin hesaplanması.

Pay değeri:

(n-1)S^2 = 15 \times 0,8 = 12

.

Varyans güven aralığı formülü

\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}} , \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \right]

şeklindedir.

3

Kritik değerlerin formüldeki yerlerine yerleştirilerek sınırların hesaplanması.

Alt Sınır:

12 / 27,488 \approx 0,4365

. Üst Sınır:

12 / 6,262 \approx 1,9163

.

Büyük Ki-kare değeri (

\%

2,5'lik üst kuyruk) paydaya geldiğinde alt sınırı, küçük Ki-kare değeri (

\%

97,5'lik üst kuyruk) üst sınırı belirler.

Key Concept

Tek kitle varyansı için güven aralığı,

(n-1)S^2 / \sigma^2

istatistiğinin

n-1

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı göstermesi esasına dayanır.

Question 130Question →

Tarım ve Orman Bakanlığı'na bağlı bir araştırma enstitüsü, iki farklı mısır tohumunun (Tohum A ve Tohum B) verimliliklerindeki değişkenliği analiz etmektedir. Her iki tohum türünden de $n_A = n_B = 11$ adet parsel seçilmiş ve verim miktarlarının örneklem varyansları sırasıyla $s_A^2 = 24$ ve $s_B^2 = 8$ olarak hesaplanmıştır. Kitlelerin normal dağılıma sahip olduğu varsayıldığında, bu iki tohumun verim varyanslarının oranı ( $\sigma_A^2 / \sigma_B^2$ ) için $\%95$ güven aralığının alt ve üst sınırları aşağıdakilerden hangisidir? ( $F_{0,025; 10; 10} = 3,72$ )

[0,806 ; 11,160]

[0,269 ; 3,720]

[1,240 ; 11,160]

[0,806 ; 3,720]

[0,089 ; 1,240]

Show answer & explanation

Answer: $[0,806 ; 11,160]$

Answer

[0,806 ; 11,160]

aralığı doğrudur.

Doğru aralık, örneklem varyansları oranının (

3

) üst sınır için F tablosu değeriyle (

3,72

) çarpılması ve alt sınır için bu değere bölünmesiyle (

3 / 3,72

) elde edilir. Bu işlem sonucunda

[0,806 ; 11,160]

değerlerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem varyanslarının oranını hesapla.

s_A^2 / s_B^2 = 24 / 8 = 3

Güven aralığı formülündeki merkezi tahmin ediciyi belirlemek için gereklidir.

2

Serbestlik derecelerini ve kritik F değerini belirle.

v_1 = n_A - 1 = 10

,

v_2 = n_B - 1 = 10

;

F_{0,025; 10; 10} = 3,72

Varyansların oranı için kullanılan F dağılımının parametrelerini tanımlamak gerekir.

3

Güven aralığı formülünü uygula.

[ (s_A^2 / s_B^2) / F_{0,025; 10; 10} \quad ; \quad (s_A^2 / s_B^2) \times F_{0,025; 10; 10} ]

Örneklem büyüklükleri eşit olduğunda (

v_1 = v_2

) F dağılımının simetri özelliği (

1/F

) kullanılarak aralık oluşturulur.

4

Alt ve üst sınırları hesapla.

Alt Sınır:

3 / 3,72 \approx 0,806

; Üst Sınır:

3 \times 3,72 = 11,16

Nihai güven aralığı sınır değerlerini elde etmek için aritmetik işlemler tamamlanır.

Key Concept

İki kitle varyansının oranı için güven aralığı oluşturulurken F dağılımı kullanılır ve örneklem varyanslarının oranı alt ve üst sınırlarda çarpan/bölen olarak yer alır.

Hints

1

Öncelikle

s_A^2 / s_B^2

oranını hesaplayarak işe başlayın.

2

Örneklem büyüklükleri aynı olduğu için alt sınırda

s_A^2 / (s_B^2 \cdot F)

, üst sınırda ise

(s_A^2 / s_B^2) \cdot F

yapısı kullanılacaktır.

Practice More

Örneklem hacimleri farklı (

n_1 \neq n_2

) olduğunda F tablosundan iki farklı kritik değer (

F_{\alpha/2}

ve

F_{1-\alpha/2}

) kullanmanız gerekeceğini unutmayın.

Estimated Time:1m 30s

Question 131Question →

Bir kamu eğitim merkezinde uygulanan iki farklı öğretim yönteminin (Yöntem A ve Yöntem B) başarı oranları karşılaştırılmak istenmektedir. Her iki yöntemden de rastgele seçilen $400$ 'er kursiyer üzerinde yapılan incelemede, Yöntem A için başarı oranı $\hat{p}_1 = 0,50$ ve Yöntem B için başarı oranı $\hat{p}_2 = 0,40$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, iki yöntemin gerçek başarı oranları arasındaki fark ( $p_1 - p_2$ ) için $\%95$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $z_{0,025} = 1,96$ alınız.)

(0,0314 \,;\, 0,1686)

(0,0424 \,;\, 0,1576)

(0,0300 \,;\, 0,1700)

(0,8314 \,;\, 0,9686)

(0,0650 \,;\, 0,1350)

Show answer & explanation

Answer: $(0,0314 \,;\, 0,1686)$

Answer

İki kitle oranları farkı için %95 güven aralığı

(0,0314 \,;\, 0,1686)

olarak bulunur.

İki kitle oranı farkı için güven aralığı

(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}

formülü ile hesaplanır. Verilen değerler yerine konulduğunda

0,10 \pm 1,96(0,035)

işlemi bizi

(0,0314 \,;\, 0,1686)

sonucuna götürür.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem oranları arasındaki farkı hesaplayınız.

\hat{p}_1 - \hat{p}_2 = 0,50 - 0,40 = 0,10

Güven aralığının merkez noktası olan nokta tahmin ediciyi belirlemek için fark hesaplanır.

2

Tahmin edicinin standart hatasını (

S_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}

) hesaplayınız.

S_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = \sqrt{\frac{0,50 \times 0,50}{400} + \frac{0,40 \times 0,60}{400}} = \sqrt{\frac{0,25 + 0,24}{400}} = \sqrt{\frac{0,49}{400}} = \frac{0,7}{20} = 0,035

Aralığın genişliğini belirleyen standart sapma tahminini bulmak gerekir.

3

Hata payını (Margin of Error) hesaplayınız.

Hata \, Payı = z_{0,025} \times S_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = 1,96 \times 0,035 = 0,0686

%95 güven düzeyi için kritik z değeri ile standart hata çarpılır.

4

Güven aralığının alt ve üst sınırlarını oluşturunuz.

0,10 \pm 0,0686 \Rightarrow (0,0314 \,;\, 0,1686)

Nokta tahmininden hata payı çıkarılarak ve eklenerek aralık tamamlanır.

Key Concept

İki bağımsız kitle oranı farkı için güven aralığı, büyük örneklemlerde normal dağılım yaklaşımı kullanılarak hesaplanır.

Aralık Tahmini

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes