Parametre Tahmin Yöntemleri Practice Questions — KPSS İstatistik — Page 2

Question 21Question →

Bir araştırmacı, sıfıra göre simetrik olan ve $(-\theta, \theta)$ aralığında sürekli üniform dağılıma sahip bir kitleden rastgele seçilen $n$ birimlik $X_1, X_2, \dots, X_n$ örneklemini incelemektedir. Kitlenin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{1}{2\theta}, & -\theta \leq x \leq \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kullanıldığında $\theta$ parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\max_{1 \leq i \leq n} |X_i|

X_{(n)}

X_{(n)} - X_{(1)}

\bar{X}

\sum_{i=1}^n X_i^2

Show answer & explanation

Answer: $\max_{1 \leq i \leq n} |X_i|$

Answer

Doğru cevap

\max_{1 \leq i \leq n} |X_i|

istatistiğidir. Çarpanlara ayırma teoremi uygulandığında, tüm örneklemin

[-\theta, \theta]

aralığına düşme şartı, mutlak değerce en büyük gözlemin

\theta

'dan küçük veya eşit olması ile ifade edilir.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi gereği olabilirlik fonksiyonu

L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

şeklinde yazılmalıdır.

U(-\theta, \theta)

dağılımında olabilirlik fonksiyonundaki gösterge fonksiyonu

-\theta \leq X_{(1)}

ve

X_{(n)} \leq \theta

şartlarını gerektirir. Bu iki şart, tüm örneklem değerlerinin mutlak değerce

\theta

'dan küçük olmasını, yani

\max_{1 \leq i \leq n} |X_i| \leq \theta

olmasını zorunlu kılar. Olabilirlik fonksiyonundaki

\theta

parametresi sadece bu

\max |X_i|

istatistiği üzerinden örnekleme bağlandığı için doğru istatistik budur.

Step-by-Step Solution

1

Örneklemin ortak olasılık yoğunluk (olabilirlik) fonksiyonunu yazmak.

L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{1}{2\theta} I_{[-\theta, \theta]}(x_i) \right) = \left(\frac{1}{2\theta}\right)^n \prod_{i=1}^n I_{[-\theta, \theta]}(x_i)

elde edilir.

Yeterli istatistiği bulmak için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'nin temelini oluşturan olabilirlik fonksiyonu tanımlanmalıdır.

2

Gösterge (indicator) fonksiyonlarının çarpımını tek bir koşul altında birleştirmek.

Çarpımın

1

olması için tüm

i

'ler için

-\theta \leq x_i \leq \theta

olmalıdır. Bu durum

x_{(1)} \geq -\theta

ve

x_{(n)} \leq \theta

anlamına gelir.

Parametreye bağlı sınırları olan dağılımlarda yeterli istatistik daima gösterge fonksiyonunun sınırlarından (sıra istatistiklerinden) elde edilir.

3

Sınır koşullarını

\theta

parametresi için ortak bir istatistiğe dönüştürmek.

-x_{(1)} \leq \theta

ve

x_{(n)} \leq \theta

eşitsizlikleri birleştirildiğinde

\max(-x_{(1)}, x_{(n)}) \leq \theta

olur. Bu, her bir gözlemin mutlak değerinin

\theta

'dan küçük olması, yani

\max |x_i| \leq \theta

demektir.

Olabilirlik fonksiyonunu

g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

biçiminde yazabilmek için

\theta

'yı sınırlayan en dar (tek) istatistiksel ifade bulunmalıdır.

4

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayarak sonucu belirlemek.

L(\theta; \mathbf{x}) = \underbrace{\left(\frac{1}{2\theta}\right)^n I_{[0, \theta]}(\max |x_i|)}_{g(T(\mathbf{x}), \theta)} \cdot \underbrace{1}_{h(\mathbf{x})}

formunda yazılır. Buradan

T(\mathbf{x}) = \max_{1 \leq i \leq n} |X_i|

yeterli istatistik olarak bulunur.

Teoreme göre, örneklem verisi sadece

T(\mathbf{x})

üzerinden parametre

\theta

ile ilişkiye giriyorsa,

T(\mathbf{x})

parametre için yeterli istatistiktir.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Gösterge Fonksiyonları

Question 22Question →

Bir araştırmacı, kitle varyansı bilinen ( $\sigma^2=1$ ) ancak kitle ortalaması ( $\mu$ ) bilinmeyen normal dağılıma sahip bir kitleden $n$ hacimli rastgele bir örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) almıştır.

Araştırmacı, $\theta = e^\mu$ parametresini tahmin etmek amacıyla aşağıdaki iki tahmin ediciyi önermektedir:

\hat{\theta}_1 = e^{\bar{X}}

\hat{\theta}_2 = e^{\bar{X} - \frac{1}{2n}}

Burada $\bar{X}$ örneklem ortalamasıdır.

Buna göre, bu iki tahmin edicinin yansızlık (unbiasedness) ve tutarlılık (consistency) özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Her iki tahmin edici de yansızdır ve tutarlıdır.

\hat{\theta}_1

yansız ve tutarlıdır;

\hat{\theta}_2

ise yanlı ve tutarlı değildir.

\hat{\theta}_1

yanlı fakat tutarlıdır;

\hat{\theta}_2

ise yansız ve tutarlıdır.

Her iki tahmin edici de yanlıdır, ancak yalnızca

\hat{\theta}_1

tutarlıdır.

\hat{\theta}_1

yanlı ve tutarlı değildir;

\hat{\theta}_2

ise yansız fakat tutarlı değildir.

Show answer & explanation

Answer: $\hat{\theta}_1$ yanlı fakat tutarlıdır; $\hat{\theta}_2$ ise yansız ve tutarlıdır.

Answer

\hat{\theta}_1

'in beklenen değeri log-normal özellikten dolayı tam

\theta

olmadığından yanlıdır fakat olasılıkta yakınsadığı için tutarlıdır.

\hat{\theta}_2

ise düzeltme katsayısıyla tam yansız hale getirilmiştir ve o da tutarlıdır.

Doğru seçenek

\hat{\theta}_1

'in yanlı fakat tutarlı,

\hat{\theta}_2

'nin ise hem yansız hem de tutarlı olduğunu ifade eden seçenektir.

\bar{X}

'in normal dağılımından dolayı

e^{\bar{X}}

'in beklenen değeri Moment Çıkaran Fonksiyon ile hesaplandığında

\theta e^{1/(2n)}

bulunur, bu nedenle

\hat{\theta}_1

yanlıdır. Ancak

n \to \infty

iken olasılıkta

\bar{X} \to \mu

yakınsaması Sürekli Dönüşüm Teoremi gereği

e^{\bar{X}} \to e^\mu

sonucunu verir ve tutarlıdır.

\hat{\theta}_2

'de ise

e^{-1/(2n)}

düzeltme faktörü beklenen değeri tam

\theta

'ya eşitler (yansızdır) ve limit durumunda bu faktör

1

'e gittiğinden tutarlılığı etkilemez.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem ortalamasının dağılımını ve Moment Çıkaran Fonksiyonunu (MGF) belirleme

\bar{X} \sim N(\mu, 1/n)

ve

M_{\bar{X}}(t) = E(e^{t\bar{X}}) = e^{\mu t + t^2/(2n)}

elde edilir.

Üstel dönüşümlerin beklenen değerini doğru hesaplamak için MGF tanımına ve

\bar{X}

'in dağılım özelliklerine ihtiyaç vardır.

2

İlk tahmin edicinin (

\hat{\theta}_1

) beklenen değerini hesaplayarak yansızlığını kontrol etme

E(\hat{\theta}_1) = E(e^{\bar{X}}) = M_{\bar{X}}(1) = e^{\mu + 1/(2n)} = \theta e^{1/(2n)} \neq \theta

sonucuna ulaşılır. Dolayısıyla

\hat{\theta}_1

yanlıdır.

Tahmin edicinin beklenen değeri tam olarak parametreye eşit olmadığında (burada

e^{1/(2n)}

çarpanı kadar yan vardır), tahmin edici yanlı kabul edilir.

3

İkinci tahmin edicinin (

\hat{\theta}_2

) beklenen değerini hesaplama

E(\hat{\theta}_2) = E(e^{\bar{X} - 1/(2n)}) = e^{-1/(2n)} \cdot E(e^{\bar{X}}) = e^{-1/(2n)} \cdot \theta e^{1/(2n)} = \theta

sonucuna ulaşılır. Dolayısıyla

\hat{\theta}_2

yansızdır.

Üstteki sabit eksi çarpan, önceki adımdaki yan miktarını tam olarak dengeleyecek şekilde tasarlanmıştır.

4

Her iki tahmin edicinin olasılıkta yakınsamasını (tutarlılığını) test etme

n \to \infty

iken olasılıkta

\bar{X} \xrightarrow{p} \mu

olduğundan, Sürekli Dönüşüm Teoremi gereği

e^{\bar{X}} \xrightarrow{p} e^\mu = \theta

olur (

\hat{\theta}_1

tutarlı). Yine

n \to \infty

iken

1/(2n) \to 0

olduğu için

\bar{X} - 1/(2n) \xrightarrow{p} \mu

ve dolayısıyla

e^{\bar{X} - 1/(2n)} \xrightarrow{p} \theta

elde edilir (

\hat{\theta}_2

tutarlı).

Tutarlılık için örneklem hacmi sonsuza giderken tahmin edicinin hedeflenen parametreye olasılıkta yakınsaması yeterlidir; yanlılık asimptotik olarak kaybolduğunda ve varyans sıfıra gittiğinde tutarlılık sağlanır.

Key Concept

Tutarlılık (Consistency) ve Beklenen Değer Dönüşümleri (Sürekli Dönüşüm Teoremi & Jensen Eşitsizliği)

Question 23Question →

Bir araştırmacı, $n$ birimlik bir örneklem üzerinden bağımsız değişken ( $X$ ) ile bağımlı değişken ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi basit doğrusal regresyon modeli ile incelemektedir. Kuramsal bir kısıt gereği, modelin regresyon denklemi $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i$ olarak tanımlanmış olup, y-eksenini kestiği nokta olan $\beta_0$ parametresinin, eğim parametresi olan $\beta_1$ 'in tam $3$ katına eşit olduğu ( $\beta_0 = 3\beta_1$ ) kesin olarak bilinmektedir.

Hata terimlerinin ( $\epsilon_i$ ) sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı olduğu varsayımı altında, $\beta_1$ parametresinin En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\sum_{i=1}^n (X_i + 3)Y_i}{\sum_{i=1}^n (X_i + 3)^2}

\frac{\sum_{i=1}^n Y_i}{\sum_{i=1}^n (X_i + 3)}

\frac{\sum_{i=1}^n (X_i + 3)Y_i}{\sum_{i=1}^n X_i^2 + 9n}

\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}

\frac{\sum_{i=1}^n X_i Y_i}{\sum_{i=1}^n X_i^2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\sum_{i=1}^n (X_i + 3)Y_i}{\sum_{i=1}^n (X_i + 3)^2}$

Answer

Modeldeki kısıt dikkate alınarak hata kareler toplamının türevi alındığında elde edilen

\frac{\sum_{i=1}^n (X_i + 3)Y_i}{\sum_{i=1}^n (X_i + 3)^2}

formülü doğru tahmindir.

En Küçük Kareler yöntemi, hata terimlerinin kareleri toplamını minimize eden parametre değerlerini bulur. Model kısıtı

\beta_0 = 3\beta_1

yerine konulduğunda model

Y_i = \beta_1(X_i + 3) + \epsilon_i

şekline dönüşür. Geometrik olarak bu, tüm regresyon doğrularının

(-3, 0)

noktasından geçmek zorunda olduğu bir aileyi temsil eder. Bu yeni fonksiyon üzerinden

\sum (Y_i - \beta_1(X_i + 3))^2

minimize edildiğinde, türevin sıfıra eşitlenmesiyle elde edilen tahmin edici doğru seçenekteki formüldür.

Step-by-Step Solution

1

Verilen kısıtı (

\beta_0 = 3\beta_1

) regresyon modelinde yerine koymak.

Y_i = 3\beta_1 + \beta_1 X_i + \epsilon_i

\Rightarrow

Y_i = \beta_1(X_i + 3) + \epsilon_i

Tahmin edilecek parametre sayısını teke düşürerek EKK optimizasyonunu kısıt altında çözülebilir hale getirmek.

2

Kısıtlı model için Hata Kareler Toplamı (SSE) fonksiyonunu oluşturmak.

S(\beta_1) = \sum_{i=1}^n \epsilon_i^2 = \sum_{i=1}^n (Y_i - \beta_1(X_i + 3))^2

En Küçük Kareler yönteminin temel prensibi olan minimize edilecek amaç fonksiyonunu tanımlamak.

3

S(\beta_1)

fonksiyonunun

\beta_1

'e göre birinci türevini almak ve sıfıra eşitlemek.

\frac{dS}{d\beta_1} = -2 \sum_{i=1}^n (X_i + 3)(Y_i - \beta_1(X_i + 3)) = 0

Bir fonksiyonun minimum noktasını bulmak için birinci türevinin kökünü hesaplamak.

4

Elde edilen normal denklemi düzenleyerek

\beta_1

parametresini yalnız bırakmak.

\sum_{i=1}^n (X_i + 3)Y_i = \beta_1 \sum_{i=1}^n (X_i + 3)^2

\Rightarrow

\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i + 3)Y_i}{\sum_{i=1}^n (X_i + 3)^2}

Bilinmeyen parametrenin örneklem istatistikleri cinsinden tahmin edicisini nihai olarak elde etmek.

Key Concept

Kısıtlı regresyon modellerinde (Constrained Least Squares) En Küçük Kareler yönteminin analitik optimizasyon süreciyle sıfırdan türetilmesi.

Question 24Question →

Bir elektronik cihazın kritik bir parçasının ömrü (saat cinsinden) $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 0$ parametresi için aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \quad x > 0

Bu parçalardan rastgele seçilen $n$ tanesinin ömürleri $X_1, X_2, \dots, X_n$ örneklemini oluşturmaktadır.

Buna göre, parçanın $t_0$ saatten daha uzun süre çalışma olasılığını ifade eden $R(t_0) = e^{-t_0/\theta}$ güvenilirlik (reliability) fonksiyonunun herhangi bir yansız tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{t_0^2 e^{-2t_0/\theta}}{n\theta^2}

\frac{e^{-2t_0/\theta}}{n}

\frac{t_0^2 e^{-2t_0/\theta}}{n\theta^3}

\frac{n t_0^2 e^{-2t_0/\theta}}{\theta^6}

\frac{t_0^2 e^{-2t_0/\theta}}{\theta^2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{t_0^2 e^{-2t_0/\theta}}{n\theta^2}$

Answer

Doğru yanıt

\frac{t_0^2 e^{-2t_0/\theta}}{n\theta^2}

ifadesidir.

Cramer-Rao alt sınırı formülü

\frac{[g'(\theta)]^2}{I_n(\theta)}

şeklindedir. Dağılım için bir gözlemin Fisher bilgisi

1/\theta^2

olup,

n

gözlem için

n/\theta^2

olur.

g(\theta) = e^{-t_0/\theta}

fonksiyonunun türevi ise

g'(\theta) = \frac{t_0}{\theta^2} e^{-t_0/\theta}

olarak bulunur. Türevin karesini alıp Fisher bilgi miktarına böldüğümüzde

\frac{t_0^2 e^{-2t_0/\theta}}{n\theta^2}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Tek bir gözlem için log-olabilirlik fonksiyonunu ve türevlerini bulun.

\ln f(x; \theta) = -\ln \theta - \frac{x}{\theta}

\frac{\partial \ln f}{\partial \theta} = -\frac{1}{\theta} + \frac{x}{\theta^2}

\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2} = \frac{1}{\theta^2} - \frac{2x}{\theta^3}

Fisher bilgi miktarını hesaplamak için ikinci mertebeden türevin beklenen değerine ihtiyaç vardır.

2

n çaplı örneklem için Fisher Bilgi Miktarını (

I_n(\theta)

) hesaplayın.

E[X] = \theta

olduğundan,

I(\theta) = -E\left[\frac{1}{\theta^2} - \frac{2X}{\theta^3}\right] = -\left(\frac{1}{\theta^2} - \frac{2\theta}{\theta^3}\right) = \frac{1}{\theta^2}

Örneklem için:

I_n(\theta) = \frac{n}{\theta^2}

Cramer-Rao alt sınırının paydası, n çaplı örneklemin toplam bilgi miktarından oluşur.

3

İlgilenilen parametre fonksiyonunun (

g(\theta) = e^{-t_0/\theta}

) türevini alın.

Zincir kuralı uygulanarak:

g'(\theta) = e^{-t_0/\theta} \cdot \frac{\partial}{\partial \theta}\left(-\frac{t_0}{\theta}\right) = e^{-t_0/\theta} \cdot \left(\frac{t_0}{\theta^2}\right)

Alt sınırın pay kısmında, ilgilenilen fonksiyonun parametreye göre türevinin karesi yer alır.

4

Cramer-Rao formülünü uygulayın.

\text{CRLB} = \frac{[g'(\theta)]^2}{I_n(\theta)} = \frac{\left( e^{-t_0/\theta} \cdot \frac{t_0}{\theta^2} \right)^2}{n / \theta^2} = \frac{e^{-2t_0/\theta} \cdot \frac{t_0^2}{\theta^4}}{n / \theta^2} = \frac{t_0^2 e^{-2t_0/\theta}}{n\theta^2}

Herhangi bir yansız tahmin edicinin varyansı için teorik minimum değere ulaşmak.

Key Concept

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Estimated Time:2m 30s

Question 25Question →

Bir kamu kurumu çağrı merkezine gelen saatlik şikayet sayıları, $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına uymaktadır. Kurumun hizmet kalitesi hedefleri doğrultusunda, belirli bir saatte hiç şikayet gelmeme olasılığı olan $\theta = e^{-\lambda}$ değeri tahmin edilmek istenmektedir.

Rastgele seçilen $n$ farklı saate ait şikayet sayıları $X_1, X_2, \ldots, X_n$ olduğuna göre, $\theta$ parametresi için Lehmann-Scheffe teoremi kullanılarak elde edilen düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

\left(\frac{n-1}{n}\right)^{\sum_{i=1}^n X_i}

e^{-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i}

\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n I(X_i = 0)

\sum_{i=1}^n X_i

\left(\frac{1}{n}\right)^{\sum_{i=1}^n X_i}

Show answer & explanation

Answer: $\left(\frac{n-1}{n}\right)^{\sum_{i=1}^n X_i}$

Answer

\theta

parametresi için UMVUE değeri

\left(\frac{n-1}{n}\right)^{\sum_{i=1}^n X_i}

ifadesidir.

Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE bulmak için,

\theta = e^{-\lambda}

için basit bir yansız tahmin edici olan

I(X_1=0)

fonksiyonunun, tam ve yeterli istatistik

T = \sum X_i

üzerine koşullu beklenen değeri alınmalıdır. Poisson dağılımının toplanabilirlik özelliğinden yararlanılarak

P(X_1 = 0 | T = t)

koşullu olasılığı hesaplandığında, paydaki

(n-1)^t

teriminin paydadaki

n^t

terimine oranı sonucu

\left(\frac{n-1}{n}\right)^t

fonksiyonu elde edilir. İstatistiği yerine koyduğumuzda UMVUE bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ile tam ve yeterli istatistiği belirlemek.

T = \sum_{i=1}^n X_i

istatistiği

\lambda

için yeterli ve tam istatistiktir. Ayrıca

T \sim Poisson(n\lambda)

dağılımına sahiptir.

Üstel aileye mensup dağılımlarda örneklem toplamı doğal parametre için tam ve yeterli istatistiktir. Lehmann-Scheffe teoremine başlamak için bu gereklidir.

2

Tahmin edilmek istenen

\theta = e^{-\lambda}

parametresi için basit bir yansız tahmin edici önermek.

W = I(X_1 = 0)

gösterge fonksiyonu seçilir.

E[W] = P(X_1 = 0) = e^{-\lambda}

olduğundan

W

,

\theta

için yansızdır.

Lehmann-Scheffe teoremi, herhangi bir yansız tahmin edicinin, tam ve yeterli istatistik üzerine koşullandırılmasıyla UMVUE'ye ulaşılacağını söyler.

3

Önerilen yansız tahmin edicinin yeterli istatistik

T=t

verildiğindeki koşullu beklenen değerini, yani

\phi(t) = E[W | T=t] = P(X_1 = 0 | \sum_{i=1}^n X_i = t)

olasılığını hesaplamak.

P(X_1 = 0 | T=t) = \frac{P(X_1 = 0 \text{ ve } \sum_{i=2}^n X_i = t)}{P(\sum_{i=1}^n X_i = t)}

formülü yazılır.

Rao-Blackwell işlemi kullanılarak varyansın küçültülmesi ve Lehmann-Scheffe ile en iyi yansız tahmin ediciye (UMVUE) ulaşılması hedeflenmektedir.

4

Koşullu olasılık formülündeki pay ve paydayı Poisson dağılım kurallarına göre açarak sadeleştirmek.

Pay:

e^{-\lambda} \cdot \frac{e^{-(n-1)\lambda} ((n-1)\lambda)^t}{t!} = \frac{e^{-n\lambda} (n-1)^t \lambda^t}{t!}

. Payda:

\frac{e^{-n\lambda} (n\lambda)^t}{t!}

. Oranlandığında

\left(\frac{n-1}{n}\right)^t

elde edilir.

X_1

ile geriye kalan

n-1

gözlemin toplamı bağımsızdır ve

\sum_{i=2}^n X_i \sim Poisson((n-1)\lambda)

dağılımına sahiptir. İşlemler sonucu

t

yerine istatistik yazılarak nihai tahmin ediciye ulaşılır.

Key Concept

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE

Question 26Question →

Bir fabrikada üretilen özel bir sensörün kullanım ömrü (yıl cinsinden) $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} e^{-(x-\theta)}, & x > \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu sensörlerden rastgele seçilen 5 tanesinin kullanım ömürleri sırasıyla 2,5; 3,1; 4,2; 2,8 ve 3,4 yıl olarak ölçülmüştür.

Buna göre, $\theta$ parametresinin momentler yöntemiyle elde edilen tahmin değeri ve bu tahmin edicinin yansızlık durumu aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Tahmin değeri 3,2'dir ve yansız bir tahmin edicidir.

Tahmin değeri 2,2'dir ve yanlı bir tahmin edicidir.

Tahmin değeri 2,2'dir ve yansız bir tahmin edicidir.

Tahmin değeri 2,5'tir ve yanlı bir tahmin edicidir.

Tahmin değeri 3,2'dir ve yanlı bir tahmin edicidir.

Show answer & explanation

Answer: Tahmin değeri 2,2'dir ve yansız bir tahmin edicidir.

Answer

Tahmin değeri 2,2'dir ve yansız bir tahmin edicidir.

Kitle ortalaması

E[X] = \theta + 1

olarak bulunur. Birinci örneklem momenti (aritmetik ortalama) ise verilen değerlerin toplanıp

5

'e bölünmesiyle

\bar{X} = 3,2

olarak hesaplanır. Momentler yöntemine göre

\theta + 1 = 3,2

eşitliğinden tahmin değeri

2,2

olarak elde edilir. Ayrıca,

E[\hat{\theta}] = E[\bar{X} - 1] = E[\bar{X}] - 1 = (\theta + 1) - 1 = \theta

olduğundan bu tahmin edici yansız bir tahmin edicidir.

Step-by-Step Solution

1

Kitle ortalamasının (beklenen değer) hesaplanması

E[X] = \int_{\theta}^{\infty} x e^{-(x-\theta)} dx = \theta + 1

Momentler yöntemi, teorik kitle momentleri ile örneklem momentlerinin eşitlenmesine dayanır.

2

Birinci örneklem momentinin (aritmetik ortalama) hesaplanması

\bar{X} = \frac{2,5 + 3,1 + 4,2 + 2,8 + 3,4}{5} = \frac{16,0}{5} = 3,2

Birinci örneklem momenti aritmetik ortalamadır.

3

Momentler eşitliğinin kurularak parametrenin tahmin edilmesi

\theta + 1 = 3,2 \implies \hat{\theta} = 2,2

\theta

parametresini tahmin etmek için kitle ortalaması ile örneklem ortalaması birbirine eşitlenir.

4

Tahmin edicinin yansızlık durumunun incelenmesi

E[\hat{\theta}] = E[\bar{X} - 1] = E[\bar{X}] - 1 = (\theta + 1) - 1 = \theta

. Beklenen değer parametrenin kendisine eşit olduğu için yansızdır.

Bir tahmin edicinin yansız olması için beklenen değerinin, tahmin edilmek istenen parametreye tam olarak eşit olması gerekir.

Key Concept

Momentler Yöntemi ile Tahmin ve Yansızlık Özelliği

Question 27Question →

Bir istatistiksel araştırmada, belirli bir parametrik aileden alınan rastgele örneklem yardımıyla bilinmeyen $\theta$ parametresinin en çok olabilirlik (MLE) tahmin edicisi $\hat{\theta}$ olarak elde edilmiştir. Araştırmacı, $\tau = g(\theta)$ ile tanımlanan yeni bir parametreyi tahmin etmek istemektedir. Burada $g(\cdot)$ , sürekli, türevlenebilir ancak birebir (1-1) olmayan doğrusal olmayan bir fonksiyondur.

En çok olabilirlik tahmin edicilerinin genel özellikleri ve değişmezlik (invariance) prensibi dikkate alındığında, elde edilen $\hat{\tau} = g(\hat{\theta})$ tahmin edicisi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

g(\cdot)

fonksiyonu birebir (1-1) olmadığı için değişmezlik özelliği uygulanamaz ve

\hat{\tau}

,

\tau

'nun geçerli bir en çok olabilirlik tahmin edicisi olamaz.

\hat{\tau}

tahmin edicisi büyük örneklemlerde

\tau

için asimptotik tutarlı bir tahmin edici olduğundan, örneklem çapından bağımsız olarak küçük örneklemlerde de kesinlikle yansızdır.

Değişmezlik prensibi gereğince

\hat{\tau}

,

\tau

'nun en çok olabilirlik tahmin edicisidir ve büyük örneklemlerde asimptotik olarak Normal dağılıma yakınsar.

\hat{\tau}

'nun asimptotik varyansını bulmak için Delta metodundaki türev karesi çarpanı olan

[g'(\theta)]^2

ihmal edilerek doğrudan

\hat{\theta}

'nın varyansı kullanılır.

En çok olabilirlik tahmin edicisini elde etmek için değişmezlik kuralı kullanılamaz; her zaman olabilirlik fonksiyonunun logaritması alınarak doğrudan

\tau

'ya göre yeniden türevlenmesi gerekir.

Show answer & explanation

Answer: Değişmezlik prensibi gereğince $\hat{\tau}$ , $\tau$ 'nun en çok olabilirlik tahmin edicisidir ve büyük örneklemlerde asimptotik olarak Normal dağılıma yakınsar.

Answer

Değişmezlik prensibi gereğince elde edilen tahmin edici, yeni parametrenin en çok olabilirlik tahmin edicisidir ve asimptotik olarak Normal dağılıma yakınsar.

En çok olabilirlik tahmin edicilerinin (MLE) en önemli özelliklerinden biri değişmezlik (invariance) prensibidir. Zehna Teoremi'ne göre, ilgilenilen dönüştürme fonksiyonu

g(\cdot)

birebir (1-1) olmasa dahi,

\theta

'nın MLE'si

\hat{\theta}

ise

g(\theta)

'nın MLE'si doğrudan

g(\hat{\theta})

olarak elde edilir. Ayrıca, belirli düzenlilik koşulları sağlandığında MLE tahmin edicileri büyük örneklemlerde asimptotik olarak Normal dağılıma yakınsar. Delta metodu sayesinde bu özellik türevlenebilir fonksiyon dönüşümlerinde de aynen korunur. Bu nedenle değişmezlik prensibini ve asimptotik normalliği doğru şekilde ifade eden seçenek kesinlikle doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

MLE'nin değişmezlik (invariance) özelliğinin tanımını ve Zehna Teoremini hatırlamak.

Eğer

\hat{\theta}

,

\theta

'nın MLE'si ise,

g(\theta)

'nın MLE'si her zaman

g(\hat{\theta})

'dır.

Zehna Teoremi, bu kuralın fonksiyonun birebir (1-1) olma şartını gerektirmediğini matematiksel olarak kanıtlar.

2

En çok olabilirlik tahmin edicilerinin asimptotik Normallik özelliğini dönüşüm altında değerlendirmek.

Düzenlilik koşulları altında MLE'ler asimptotik Normal dağılıma yakınsar. Delta metodu sayesinde türevlenebilir

g(\cdot)

dönüşümleri de asimptotik Normalliği korur.

Büyük örneklemlerde parametrenin davranışı asimptotik teoriler ile açıklanır ve doğrusal olmayan düzgün dönüşümler asimptotik dağılım formunu (Normal) bozmaz.

3

Seçeneklerdeki yanılgıları analiz ederek doğru ifadeyi bulmak.

Birebir fonksiyon şartı arayan, tutarlılığı yansızlık ile eş tutan, asimptotik varyans hesabında türevi ihmal eden ve gereksiz yeniden türev alma adımı şart koşan ifadeler elenir.

Yalnızca değişmezlik prensibi ve asimptotik normalliğin birlikte, doğru biçimde verildiği seçenek bilimsel olarak eksiksizdir.

Key Concept

MLE Değişmezlik (Invariance) Özelliği ve Asimptotik Normallik

Question 28Question →

Bir sigorta şirketinde poliçe sahiplerinin bir yıl içinde yaptıkları kaza sayıları ( $X$ ) incelenmektedir. Poliçe sahiplerinin bir kısmı ("çok dikkatli sürücüler", $p$ olasılığı ile) hiç kaza yapmamakta olup bu gruptan gelen kaza sayısı her zaman sıfırdır. Geriye kalan sürücülerin ( $1-p$ olasılığı ile) kaza sayıları ise $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına uymaktadır.

Buna göre,

X

rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

P(X = 0) = p + (1 - p)e^{-\lambda}

P(X = x) = (1 - p)\frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}, \quad x = 1, 2, 3, \dots

Rastgele seçilen $n$ sürücünün kaza sayıları $X_1, X_2, \dots, X_n$ olduğuna göre, örneklem momentleri $M_1 = \bar{X}$ ve $M_2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2$ kullanıldığında, $p$ ve $\lambda$ parametrelerinin momentler yöntemi tahmin edicileri ( $\tilde{p}, \tilde{\lambda}$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

\tilde{p} = \frac{M_2 - M_1 - M_1^2}{M_2 - M_1}, \quad \tilde{\lambda} = \frac{M_2 - M_1}{M_1}

\tilde{p} = \frac{M_2 - M_1^2}{M_2}, \quad \tilde{\lambda} = \frac{M_2}{M_1}

\tilde{p} = \frac{M_2 - M_1^2 - M_1}{M_2 - M_1^2}, \quad \tilde{\lambda} = M_2 - M_1^2

\tilde{p} = \frac{M_1^2}{M_2 - M_1}, \quad \tilde{\lambda} = \frac{M_2 - M_1}{M_1}

\tilde{p} = \frac{M_1^2 + M_1 - M_2}{M_1^2 + M_1}, \quad \tilde{\lambda} = M_1

Show answer & explanation

Answer: $\tilde{p} = \frac{M_2 - M_1 - M_1^2}{M_2 - M_1}, \quad \tilde{\lambda} = \frac{M_2 - M_1}{M_1}$

Answer

Doğru tahmin ediciler

\tilde{p} = \frac{M_2 - M_1 - M_1^2}{M_2 - M_1}

ve

\tilde{\lambda} = \frac{M_2 - M_1}{M_1}

eşitliklerini veren seçenektir.

Sıfır şişirilmiş (zero-inflated) Poisson dağılımının birinci momenti

E[X] = (1-p)\lambda

ve ikinci momenti

E[X^2] = (1-p)(\lambda^2+\lambda)

'dır. Bu teorik momentleri sırasıyla

M_1

ve

M_2

örneklem momentlerine eşitleyip elde edilen

M_1 = (1-p)\lambda

ve

M_2 = (1-p)\lambda(\lambda + 1)

denklemleri ortak çözüldüğünde; ikinci denklemin

M_2 = M_1(\lambda + 1)

olarak yazılabilmesiyle

\tilde{\lambda} = \frac{M_2 - M_1}{M_1}

elde edilir. Bu değer ilk denklemde yerine konulduğunda

1 - \tilde{p} = \frac{M_1^2}{M_2 - M_1}

bulunur ve buradan

\tilde{p} = \frac{M_2 - M_1 - M_1^2}{M_2 - M_1}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Kitlenin birinci teorik momentini hesapla.

E[X] = p(0) + (1-p)E[Y] = (1-p)\lambda

, (burada

Y \sim Poisson(\lambda)

)

Momentler yöntemi için öncelikle kitlenin beklenen değerini parametreler cinsinden bulmalıyız.

2

Kitlenin ikinci teorik momentini hesapla.

E[X^2] = p(0^2) + (1-p)E[Y^2]

. Poisson dağılımı için

E[Y^2] = Var(Y) + (E[Y])^2 = \lambda + \lambda^2

olduğundan

E[X^2] = (1-p)(\lambda^2 + \lambda)

bulunur.

İki bilinmeyenli (

p, \lambda

) tahmin işlemi için ikinci momente de ihtiyaç vardır.

3

Teorik momentleri örneklem momentlerine eşitle.

M_1 = (1-p)\lambda

ve

M_2 = (1-p)(\lambda^2 + \lambda)

denklemleri elde edilir.

Momentler yönteminin temel prensibi örneklem momentlerini (M_k) kitle momentlerine (E[X^k]) eşitlemektir.

4

Denklem sistemini çözerek

\tilde{\lambda}

tahmin edicisini bul.

İkinci denklem

M_2 = (1-p)\lambda(\lambda + 1) = M_1(\lambda + 1)

şeklinde yazılabilir. Buradan

\lambda + 1 = \frac{M_2}{M_1}

ve

\tilde{\lambda} = \frac{M_2 - M_1}{M_1}

elde edilir.

Birinci denklemi ikinci denklemde yerine koyarak bilinmeyen sayısı teke düşürülür.

5

Bulunan

\tilde{\lambda}

değerini yerine koyarak

\tilde{p}

tahmin edicisini bul.

1 - p = \frac{M_1}{\tilde{\lambda}} = \frac{M_1}{(M_2 - M_1)/M_1} = \frac{M_1^2}{M_2 - M_1}

. Buradan

\tilde{p} = 1 - \frac{M_1^2}{M_2 - M_1} = \frac{M_2 - M_1 - M_1^2}{M_2 - M_1}

bulunur.

Birinci denklemden

1-p

çekilerek,

\lambda

yerine konur ve

p

parametresinin nihai tahmin edicisine ulaşılır.

Key Concept

Sıfır Şişirilmiş (Zero-Inflated) Dağılımlarda Momentler Yöntemi

Estimated Time:3m 0s

Question 29Question →

Bir makine parçasının aşınma süresi (ay) $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2}{\theta^2}(\theta - x), & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Kalite kontrol birimi tarafından rastgele seçilen $n$ adet parçanın aşınma süreleri $X_1, X_2, \dots, X_n$ örneklemini oluşturmaktadır.

Buna göre, $\theta$ parametresi için momentler yöntemi kullanılarak elde edilen tahmin edicinin varyansı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\theta^2}{2n}

\frac{\theta^2}{6n}

\frac{\theta^2}{18n}

\frac{3\theta^2}{2n}

\frac{\theta^2}{3n}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\theta^2}{2n}$

Answer

\theta

parametresinin momentler yöntemi tahmin edicisi

\tilde{\theta} = 3\bar{X}

olarak bulunur ve bu tahmin edicinin varyansı

\frac{\theta^2}{2n}

değerine eşittir.

Momentler yöntemi gereği birinci örneklem momenti

\bar{X}

, teorik birinci moment olan

E[X] = \frac{\theta}{3}

ifadesine eşitlenir. Buradan tahmin edici

\tilde{\theta} = 3\bar{X}

olarak bulunur. Bu tahmin edicinin varyansını bulmak için dağılımın kitle varyansı

V(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{\theta^2}{18}

hesaplanır. Tahmin edicinin varyansı

V(3\bar{X}) = 9 V(\bar{X}) = 9 \frac{V(X)}{n}

eşitliği kullanılarak

\frac{\theta^2}{2n}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci kitle momentini (

E[X]

) hesaplama

E[X] = \int_0^\theta x \frac{2}{\theta^2}(\theta - x) dx = \frac{2}{\theta^2} \left[ \frac{\theta x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^\theta = \frac{\theta}{3}

Momentler yönteminde tahmin ediciyi bulmak için öncelikle teorik kitle momentleri hesaplanmalıdır.

2

Momentler yöntemi tahmin edicisini (

\tilde{\theta}

) elde etme

\bar{X} = \frac{\tilde{\theta}}{3} \implies \tilde{\theta} = 3\bar{X}

Birinci örneklem momenti (

\bar{X}

) ile birinci kitle momenti (

E[X]

) birbirine eşitlenerek parametre yalnız bırakılır.

3

Kitle varyansını (

V(X)

) hesaplama

E[X^2] = \int_0^\theta x^2 \frac{2}{\theta^2}(\theta - x) dx = \frac{\theta^2}{6}

olarak bulunur. Buradan

V(X) = \frac{\theta^2}{6} - \left(\frac{\theta}{3}\right)^2 = \frac{\theta^2}{18}

elde edilir.

Tahmin edicinin varyansını (

V(3\bar{X})

) bulabilmek için asıl dağılımın varyansının bilinmesi gerekir.

4

Tahmin edicinin varyansını (

V(\tilde{\theta})

) hesaplama

V(\tilde{\theta}) = V(3\bar{X}) = 9V(\bar{X}) = 9 \cdot \frac{V(X)}{n} = 9 \cdot \frac{\theta^2 / 18}{n} = \frac{\theta^2}{2n}

Varyans operatörünün doğrusal dönüşüm özellikleri kullanılarak işlem tamamlanır.

Key Concept

Momentler yöntemi tahmin edicisinin bulunması ve doğrusal bir fonksiyon olan tahmin edicinin varyansının kitle varyansı yardımıyla hesaplanması

Estimated Time:2m 30s

Question 30Question →

Bir çağrı merkezine belirli bir saat diliminde gelen müşteri şikayetlerinin sayısı, $\theta$ parametreli Poisson dağılımına uymaktadır. Çağrı merkezi yöneticisi, $\theta$ parametresinin önsel (prior) dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonunu;

f(\theta) = \frac{2^3}{\Gamma(3)} \theta^{3-1} e^{-2\theta}, \quad \theta > 0

olarak belirlemiştir. Rastgele seçilen 3 farklı günde söz konusu saat diliminde sırasıyla 2, 4 ve 3 şikayet gelmiştir.

Yönetici, $\theta$ parametresini tahmin etmek için aşağıdaki ağırlıklandırılmış karesel hata kayıp fonksiyonunu kullanmaktadır:

L(\theta, \delta) = \theta (\theta - \delta)^2

Buna göre, $\theta$ parametresinin Bayes tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{11}{5}

\frac{12}{5}

\frac{13}{5}

\frac{14}{5}

3

Show answer & explanation

Answer: $\frac{13}{5}$

Answer

Ağırlıklı karesel hata kayıp fonksiyonunu minimize eden Bayes tahmini

\frac{13}{5}

olarak bulunur.

Verilen ağırlıklı karesel hata kayıp fonksiyonu

L(\theta, \delta) = \theta (\theta - \delta)^2

, riski minimize etmek için beklenen değeri alındığında

\delta

değişkenine göre türevi sıfıra eşitlenen bir yapı oluşturur. Türev alındığında

\delta = E[\theta^2|X] / E[\theta|X]

denklemi ortaya çıkar.

\theta \sim Gamma(12, 5)

sonsal dağılımı için bu oran

(156/25) / (12/5) = 13/5

olarak hesaplanır ve doğru tahmini verir.

Step-by-Step Solution

1

Önsel (prior) dağılımın ve örneklem bilgisinin (olabilirlik) tanımlanması.

Önsel dağılım:

\theta \sim Gamma(\alpha=3, \beta=2)

. Örneklem:

n=3

ve toplam gözlem

S = \sum x_i = 2 + 4 + 3 = 9

.

Poisson dağılımı için Gamma dağılımı eşlenik (conjugate) önsel dağılımdır.

2

Sonsal (posterior) dağılımın parametrelerinin hesaplanması.

Sonsal dağılım:

\theta|X \sim Gamma(\alpha + S, \beta + n) \implies Gamma(3+9, 2+3) = Gamma(12, 5)

.

Eşlenik dağılım kuralına göre önsel parametreleri örneklem istatistikleriyle güncellenir.

3

Verilen kayıp fonksiyonuna göre Bayes riskinin minimize edilmesi.

E[L(\theta, \delta)|X] = E[\theta^3 - 2\delta\theta^2 + \delta^2\theta | X]

fonksiyonunun

\delta

'ya göre türevi alınıp sıfıra eşitlenir:

-2E[\theta^2|X] + 2\delta E[\theta|X] = 0 \implies \delta^* = \frac{E[\theta^2|X]}{E[\theta|X]}

.

Bayes tahmin edicisi, beklenen sonsal kaybı (risk fonksiyonunu) minimize eden değerdir.

4

Sonsal dağılımın momentleri kullanılarak oranın hesaplanması.

Gamma(A, B)

için

E[\theta] = \frac{A}{B}

ve

E[\theta^2] = \frac{A(A+1)}{B^2}

formülleriyle

\delta^* = \frac{12 \times 13 / 25}{12 / 5} = \frac{13}{5}

bulunur.

Beklenen değerleri yerine koyarak matematiksel işlemi sonuçlandırmak.

Key Concept

Bayes Nokta Tahmini ve Risk Fonksiyonunun Optimizasyonu

Question 31Question →

Bir bölgedeki günlük maksimum rüzgar hızları (m/s), $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere şu şekildedir:

f(x;\theta) = \begin{cases} \frac{x}{\theta^2} e^{-\frac{x^2}{2\theta^2}}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

(Bilgi: Bu dağılım için $E(X) = \theta \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ ve $E(X^2) = 2\theta^2$ olduğu bilinmektedir.)

Bu bölgeden rastgele seçilen $n$ günlük rüzgar hızlarından oluşan $X_1, X_2, \dots, X_n$ örneklemi kullanılarak, rüzgar hızının beklenen değeri ( $E(X)$ ) için yansız bir tahmin edici elde edilmek isteniyor.

Buna göre, bu yansız tahmin edicinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\pi \theta^2}{8n}

\frac{\pi \theta^2}{4n}

\frac{\theta^2}{4n}

\frac{\pi \theta^2}{8}

\frac{\pi \theta^2}{10n}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\pi \theta^2}{8n}$

Answer

Doğru cevap

\frac{\pi \theta^2}{8n}

ifadesini içeren seçenektir.

Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB) hesabı için öncelikle Fisher bilgi miktarı (

I(\theta)

) bulunur. Dağılımın log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevinin beklenen değerinin eksi işaretlisi

4/\theta^2

olarak hesaplanır.

n

çaplı örneklem için toplam bilgi miktarı, bağımsızlık özelliğinden ötürü

n

ile çarpılarak

4n/\theta^2

bulunur. İlgilenilen parametre fonksiyonu rüzgar hızının beklenen değeri olan

\tau(\theta) = \theta \sqrt{\pi/2}

olduğundan, formülün pay kısmına bu fonksiyonun türevinin karesi olan

\pi/2

değeri yerleştirilir. Payı paydaya böldüğümüzde ise alt sınır teorik olarak

\frac{\pi \theta^2}{8n}

şeklinde hesaplanmış olur.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun doğal logaritmasını (log-olabilirlik) alınız.

\ln f(x;\theta) = \ln(x) - 2\ln(\theta) - \frac{x^2}{2\theta^2}

Fisher bilgi miktarını bulmak için log-olabilirlik fonksiyonunun türevlerine ihtiyaç vardır.

2

Log-olabilirlik fonksiyonunun

\theta

parametresine göre birinci ve ikinci derece türevlerini hesaplayınız.

Birinci türev:

-\frac{2}{\theta} + \frac{x^2}{\theta^3}

İkinci türev:

\frac{2}{\theta^2} - \frac{3x^2}{\theta^4}

Tek bir gözlem için Fisher bilgi miktarı, ikinci türevin beklenen değerinin eksi işaretlisine eşittir.

3

İkinci türevin beklenen değerini bularak

n

çaplı örneklem için Fisher bilgi miktarını (

I_n(\theta)

) hesaplayınız.

-E\left[\frac{2}{\theta^2} - \frac{3X^2}{\theta^4}\right] = -\left(\frac{2}{\theta^2} - \frac{3(2\theta^2)}{\theta^4}\right) = \frac{4}{\theta^2}

.

n

çaplı örneklem için

I_n(\theta) = \frac{4n}{\theta^2}

olur.

Cramer-Rao eşitsizliğinin paydasını oluşturmak için tüm örneklemin sağladığı bilgi miktarı bulunmalıdır.

4

Tahmin edilmesi istenen parametre fonksiyonunun (

\tau(\theta)

) türevini ve bu türevin karesini bulunuz.

İstenen fonksiyon:

\tau(\theta) = E(X) = \theta \sqrt{\frac{\pi}{2}}

.

\tau'(\theta) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}

ve

[\tau'(\theta)]^2 = \frac{\pi}{2}

elde edilir.

Tahmin edici, doğrudan

\theta

değil

E(X)

olduğu için hedef fonksiyonun değişimi alt sınırı etkiler.

5

Elde edilen değerleri Cramer-Rao alt sınırı formülünde yerine koyunuz.

CRLB = \frac{[\tau'(\theta)]^2}{I_n(\theta)} = \frac{\pi/2}{4n/\theta^2} = \frac{\pi \theta^2}{8n}

Bu sonuç, yansız tahmin edicinin alabileceği teorik minimum varyans değerini (alt sınırı) ifade eder.

Key Concept

Tahmin edilecek bir fonksiyon için Cramer-Rao Alt Sınırının (CRLB) Fisher Bilgi Miktarı kullanılarak hesaplanması.

Question 32Question →

Bir araştırmacı, dağılımı

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{3x^2}{\theta^3}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer yerlerde} \end{cases}

şeklinde tanımlı bir kitleden $n$ birimlik $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemini çekmiştir.

Bu araştırmacı, $\theta$ parametresini tahmin etmek için en büyük sıra istatistiği olan $T = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)$ tahmin edicisini kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{(3n+1)^2}\theta^2

\frac{3n}{3n+2}\theta^2

\frac{2}{(3n+1)(3n+2)}\theta^2

\frac{3n}{(3n+1)^2(3n+2)}\theta^2

\frac{1}{(3n+1)(3n+2)}\theta^2

Show answer & explanation

Answer: $\frac{2}{(3n+1)(3n+2)}\theta^2$

Answer

Doğru cevap,

MSE = Var(T) + Bias(T)^2

eşitliğinden hesaplanan

\frac{2}{(3n+1)(3n+2)}\theta^2

ifadesidir.

Hata kareler ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir. Önce en büyük sıra istatistiği olan

T

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_T(x) = \frac{3nx^{3n-1}}{\theta^{3n}}

olarak bulunur. Buradan tahmin edicinin beklenen değeri

E[T] = \frac{3n}{3n+1}\theta

bulunur; dolayısıyla tahmin edici yanlıdır ve yan miktarı

-\frac{1}{3n+1}\theta

olur. Tahmin edicinin ikinci momenti ve varyansı hesaplandıktan sonra, varyans ile yan miktarının karesi toplandığında sonuç

\frac{2}{(3n+1)(3n+2)}\theta^2

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Örneklemin birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) ve en büyük sıra istatistiği T'nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak.

F(x) = \frac{x^3}{\theta^3}

ve

f_T(x) = n[F(x)]^{n-1} f(x) = \frac{3n x^{3n-1}}{\theta^{3n}}

(

0 < x < \theta

)

Sıra istatistiklerinin beklenen değer ve varyansını hesaplayabilmek için T'nin yoğunluk fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

2

T tahmin edicisinin beklenen değerini (

E[T]

) ve yan (bias) miktarını hesaplamak.

E[T] = \int_0^\theta x \frac{3n x^{3n-1}}{\theta^{3n}} dx = \frac{3n}{3n+1}\theta

. Yan (Bias) =

E[T] - \theta = -\frac{1}{3n+1}\theta

MSE formülünde kullanmak üzere tahmin edicinin yanlı olup olmadığını ve yan miktarını belirlemek gereklidir.

3

T'nin ikinci momentini (

E[T^2]

) ve varyansını (

V(T)

) hesaplamak.

E[T^2] = \int_0^\theta x^2 \frac{3n x^{3n-1}}{\theta^{3n}} dx = \frac{3n}{3n+2}\theta^2

,

V(T) = E[T^2] - (E[T])^2 = \frac{3n}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2

MSE hesabının ikinci temel bileşeni olan tahmin edicinin varyansını elde etmek için varyans tanımı kullanılır.

4

Hata kareler ortalaması (MSE) eşitliğini kullanarak nihai sonuca ulaşmak.

MSE(T) = V(T) + Bias(T)^2 = \frac{3n}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2 + \frac{1}{(3n+1)^2}\theta^2 = \frac{2}{(3n+1)(3n+2)}\theta^2

MSE, tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşit olduğundan bu iki değer cebirsel olarak toplanır.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) ve Yanlı Tahmin Ediciler

Question 33Question →

Bir istatistiksel modelleme sürecinde, elde edilen bağımsız $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örnekleminin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{x}{\theta^2} e^{-x/\theta}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir. $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla $T = \frac{2}{3}\bar{X}$ tahmin edicisi (istatistiği) önerilmiştir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{8}{9n}\theta^2

\frac{n+12}{9n}\theta^2

\frac{n+8}{9n}\theta^2

\frac{n+4}{9n}\theta^2

\frac{8-n}{9n}\theta^2

Show answer & explanation

Answer: $\frac{n+8}{9n}\theta^2$

Answer

\frac{n+8}{9n}\theta^2

Hata kareler ortalaması (MSE), bir tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir. Verilen dağılım

\alpha=2

ve

\beta=\theta

parametreli bir Gamma dağılımı olup beklenen değeri

2\theta

, varyansı ise

2\theta^2

'dir.

\bar{X}

'in beklenen değeri

2\theta

ve varyansı

\frac{2\theta^2}{n}

olur.

T = \frac{2}{3}\bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değeri

\frac{4}{3}\theta

, varyansı ise katsayının karesi alınarak

\frac{8\theta^2}{9n}

olarak bulunur. Yan miktarı (Bias)

E[T] - \theta = \frac{1}{3}\theta

'dır. MSE formülüne göre varyans ve yanın karesi toplandığında

\frac{8\theta^2}{9n} + \frac{\theta^2}{9} = \frac{n+8}{9n}\theta^2

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonundan kitlenin beklenen değerini ve varyansını bulmak.

E[X] = 2\theta

ve

Var(X) = 2\theta^2

Fonksiyon, parametreleri

\alpha=2

ve

\beta=\theta

olan bir Gamma dağılımını ifade etmektedir. İntegral veya dağılımın özellikleri kullanılarak kitle momentleri elde edilir.

2

Önerilen

T = \frac{2}{3}\bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değerini ve varyansını hesaplamak.

E[T] = \frac{4}{3}\theta

ve

Var(T) = \frac{8\theta^2}{9n}

Örneklem ortalamasının özellikleri gereği

E[\bar{X}] = E[X] = 2\theta

ve

Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{2\theta^2}{n}

'dir.

T

için

E[c\bar{X}] = cE[\bar{X}]

ve

Var(c\bar{X}) = c^2Var(\bar{X})

formülleri uygulanır.

3

T

tahmin edicisinin yan (bias) miktarını bulmak.

\text{Yan}(T) = \frac{1}{3}\theta

Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile asıl parametrenin farkıdır:

E[T] - \theta = \frac{4}{3}\theta - \theta = \frac{1}{3}\theta

.

4

Hata kareler ortalamasını (MSE) hesaplamak.

\text{MSE}(T) = \frac{n+8}{9n}\theta^2

Hata kareler ortalaması MSE = Var(

T

) + [Yan(

T

)]

^2

eşitliğiyle bulunur.

\frac{8\theta^2}{9n} + (\frac{1}{3}\theta)^2 = \frac{8\theta^2}{9n} + \frac{\theta^2}{9} = \frac{8\theta^2 + n\theta^2}{9n} = \frac{n+8}{9n}\theta^2

.

Key Concept

Tahmin edicilerde MSE'nin, varyans ile yan miktarının karesinin toplamı olması (

MSE = Var(\hat{\theta}) + [Bias(\hat{\theta})]^2

).

Question 34Question →

Bir kamu kurumunda sunulan belirli bir elektronik hizmetin tamamlanma süresi (gün olarak) $U(0, \theta)$ sürekli birörnek (üniform) dağılımına uymaktadır. Kurum, bu hizmete ait rastgele seçilmiş $n$ adet işlemden oluşan $X_1, X_2, \dots, X_n$ örneklemine sahiptir.

Hizmet süresinin teorik üst sınırı olan $\theta$ parametresi bilinmemekte olup, uzman görüşleri doğrultusunda $\theta$ 'nın önsel (prior) dağılımı aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip Pareto dağılımı olarak modellenmiştir:

\pi(\theta) = \frac{\alpha x_0^\alpha}{\theta^{\alpha+1}}, \quad \theta \ge x_0 > 0

Buna göre, karesel hata kayıp fonksiyonu (squared error loss) kullanıldığında $\theta$ parametresinin Bayes tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: $X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)$ örneklem maksimumunu göstermektedir ve $\alpha + n > 1$ varsayılacaktır.)

\frac{\alpha + n}{\alpha + n - 1} \max(x_0, X_{(n)})

\frac{\alpha + n - 1}{\alpha + n} \max(x_0, X_{(n)})

\frac{\alpha}{\alpha - 1} \max(x_0, X_{(n)})

\frac{\alpha + n + 1}{\alpha + n} \max(x_0, X_{(n)})

\frac{\alpha + n}{\alpha + n - 1} X_{(n)}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\alpha + n}{\alpha + n - 1} \max(x_0, X_{(n)})$

Answer

Karesel hata kayıp fonksiyonu altında Bayes tahmin edicisi sonsal dağılımın beklenen değerine eşittir ve bu değer

\frac{\alpha + n}{\alpha + n - 1} \max(x_0, X_{(n)})

olarak bulunur.

Karesel hata kayıp fonksiyonu (squared error loss) altında Bayes tahmin edicisi, sonsal (posterior) dağılımın beklenen değeridir.

U(0, \theta)

dağılımı için olabilirlik fonksiyonu

L(\theta|X) \propto \theta^{-n} I(\theta \ge X_{(n)})

şeklindedir. Önsel dağılım olan Pareto dağılımı

\pi(\theta) \propto \theta^{-(\alpha+1)} I(\theta \ge x_0)

ile çarpıldığında sonsal dağılım

\pi(\theta|X) \propto \theta^{-(n+\alpha+1)} I(\theta \ge \max(x_0, X_{(n)}))

elde edilir. Bu ifade, şekil parametresi

\alpha + n

ve alt sınır parametresi

\max(x_0, X_{(n)})

olan yeni bir Pareto dağılımını belirtir. Pareto

(\alpha^*, y)

dağılımının beklenen değeri

\frac{\alpha^*}{\alpha^* - 1} y

olduğundan, doğru cevap

\frac{\alpha + n}{\alpha + n - 1} \max(x_0, X_{(n)})

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturmak.

L(\theta|X) = \frac{1}{\theta^n} I(\theta \ge X_{(n)})

Uniform dağılımda

n

hacimli örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, örneklem maksimumunun

\theta

'dan küçük veya eşit olması koşuluna bağlıdır.

2

Sonsal (posterior) dağılımı elde etmek için önsel dağılım ile olabilirlik fonksiyonunu çarpmak.

\pi(\theta|X) \propto \frac{1}{\theta^n} I(\theta \ge X_{(n)}) \cdot \frac{\alpha x_0^\alpha}{\theta^{\alpha+1}} I(\theta \ge x_0) \propto \frac{1}{\theta^{n+\alpha+1}} I(\theta \ge \max(x_0, X_{(n)}))

Bayes teoremine göre sonsal dağılım, olabilirlik fonksiyonu ile önsel dağılımın çarpımı ile orantılıdır. İki alt sınır koşulu birleşerek

\max(x_0, X_{(n)})

sınırını oluşturur.

3

Sonsal dağılımın türünü ve parametrelerini belirlemek.

Sonsal dağılım, şekil parametresi

\alpha^* = \alpha + n

ve ölçek (alt sınır) parametresi

y = \max(x_0, X_{(n)})

olan Pareto dağılımıdır.

Elde edilen ifade, Pareto(

\alpha^*, y

) dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu yapısına birebir uymaktadır.

4

Karesel hata kayıp fonksiyonu için Bayes tahmin edicisini hesaplamak.

E[\theta|X] = \frac{\alpha^*}{\alpha^* - 1} y = \frac{\alpha + n}{\alpha + n - 1} \max(x_0, X_{(n)})

Karesel hata kayıp fonksiyonu (squared error loss) altında Bayes tahmin edicisi, sonsal dağılımın beklenen değeridir.

Key Concept

Pareto Önsel Dağılımı ile Uniform Dağılımın Sonsal Dağılımı ve Bayes Tahmin Edicisi

Question 35Question →

Bir rüzgâr enerjisi santralinde, türbin kanatlarında oluşan mikro çatlakların kritik boyuta ulaşma süresi (yıl cinsinden) $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Bir araştırmacı, bu sürenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun aşağıdaki gibi olduğunu belirlemiştir:

f(x; \theta) = \frac{3x^2}{\theta^3} e^{-(x/\theta)^3}, \quad x > 0

Burada $\theta > 0$ , malzemenin direncini ifade eden bilinmeyen bir parametredir.

Araştırmacı, $n$ adet türbinden bağımsız olarak elde edilen $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemini kullanarak $\theta$ parametresi için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem) yardımıyla bir yeterli istatistik elde etmek istemektedir.

Buna göre, $\theta$ parametresi için yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{\theta^3} \sum_{i=1}^n X_i^3

\sum_{i=1}^n X_i

\sum_{i=1}^n X_i^3

\prod_{i=1}^n X_i^2

\max_{1 \leq i \leq n} X_i

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^n X_i^3$

Answer

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre

\theta

parametresi için yeterli istatistik

\sum_{i=1}^n X_i^3

fonksiyonudur.

Olabilirlik fonksiyonu (likelihood function) oluşturulup Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uygulandığında, örneklem ile bilinmeyen

\theta

parametresinin birlikte yer aldığı tek çarpan

\exp\left( -\frac{1}{\theta^3} \sum_{i=1}^n x_i^3 \right)

kısmıdır. Bu ifadede örnekleme ait veriler sadece

\sum_{i=1}^n X_i^3

formu üzerinden parametre ile etkileşime girdiği için,

\theta

parametresine ait yeterli istatistik budur.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (olabilirlik fonksiyonu) oluşturun.

L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{3x_i^2}{\theta^3} e^{-(x_i/\theta)^3} \right)

Yeterli istatistiği bulmanın ilk adımı tüm örneklemin aynı anda gerçekleşme olasılığını gösteren ortak dağılımı yazmaktır.

2

Olabilirlik fonksiyonunu matematiksel olarak düzenleyip çarpım sembolünü dağıtın.

L(\theta; \mathbf{x}) = \frac{3^n \prod_{i=1}^n x_i^2}{\theta^{3n}} \exp\left( -\sum_{i=1}^n \frac{x_i^3}{\theta^3} \right)

Teoremi uygulayabilmek için ifadeyi parametreye bağlı olan ve olmayan kısımlar şeklinde organize etmemiz gerekir.

3

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kuralını (

L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

) uygulayın.

g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^{3n}} \exp\left( -\frac{1}{\theta^3} \sum_{i=1}^n x_i^3 \right)

ve

h(\mathbf{x}) = 3^n \prod_{i=1}^n x_i^2

olarak ayrılır.

Parametreyi (

\theta

) içeren kısım

g

fonksiyonunu, sadece gözlemleri içeren ve parametreden bağımsız kısım ise

h

fonksiyonunu oluşturur. (

x>0

şartı da parametreden bağımsız olduğu için

h

'nin içindedir.)

4

g(T(\mathbf{x}), \theta)

fonksiyonu üzerinden yeterli istatistiği (

T(\mathbf{x})

) teşhis edin.

T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n X_i^3

olarak bulunur.

g

fonksiyonu, örneklem değerlerine yalnızca

\sum x_i^3

terimi üzerinden bağlıdır. Örneklem istatistiği bilinmeyen parametreyi içeremeyeceği için sadece bu toplam yeterli istatistiktir.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Yeterlilik

Question 36Question →

$X_1, X_2, \dots, X_n$ ( $n > 1$ ) rastgele değişkenleri, $(0, \theta)$ aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahip bir kitleyi temsil eden bir örneklem olsun. $\theta$ parametresi için yansız bir tahmin edici olarak $T_1 = 2X_1$ alınmıştır.

Bu kitle için yeterli (sufficient) istatistiğin $S = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)$ olduğu bilinmektedir. Bir istatistikçi, Rao-Blackwell teoremini kullanarak $T_1$ tahmin edicisini $S$ yeterli istatistiği üzerinden koşullandırıp ( $T^* = E[T_1 \mid S]$ ) daha iyi bir $T^*$ tahmin edicisi elde etmiştir.

Buna göre, orijinal tahmin edicinin varyansı ile Rao-Blackwell teoremi sonucunda elde edilen yeni tahmin edicinin varyansı arasındaki fark ( $Var(T_1) - Var(T^*)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\theta^2}{n(n+2)}

\frac{\theta^2(n-1)}{3n}

\frac{\theta^2(n^2+2n-3)}{3n(n+2)}

\frac{\theta^2}{3}

\frac{\theta^2(n^2+2n+3)}{3n(n+2)}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\theta^2(n^2+2n-3)}{3n(n+2)}$

Answer

Rao-Blackwell teoremi uygulanarak elde edilen yeni tahmin edicinin varyansı ile orijinal tahmin edicinin varyansı arasındaki fark

\frac{\theta^2(n^2+2n-3)}{3n(n+2)}

ifadesine eşittir.

Rao-Blackwell teoremine göre

T^* = E[2X_1 \mid S]

hesaplanmalıdır. Pratik olarak,

S = \max(X_1, \dots, X_n)

tam (complete) ve yeterli bir istatistik olduğundan, Lehmann-Scheffe teoremi gereği

S

'nin beklenen değeri

E(S) = \frac{n}{n+1}\theta

kullanılarak doğrudan yansız tahmin edici (UMVUE) olan

T^* = \frac{n+1}{n}S

elde edilebilir. Orijinal tahmin edicinin varyansı

Var(2X_1) = \frac{\theta^2}{3}

'tür. Yeni tahmin edicinin varyansı ise

Var(T^*) = \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 Var(S) = \frac{\theta^2}{n(n+2)}

olarak bulunur. Bu iki değerin farkı alındığında elde edilen iyileştirme miktarı

\frac{\theta^2(n^2+2n-3)}{3n(n+2)}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

T_1 = 2X_1

tahmin edicisinin varyansını hesaplamak.

Var(T_1) = 4 Var(X_1) = 4 \left(\frac{\theta^2}{12}\right) = \frac{\theta^2}{3}

olarak bulunur.

Varyans farkını bulabilmek için öncelikle orijinal tahmin edicinin varyansına ihtiyacımız vardır.

2

Rao-Blackwell teoremi ile

T^* = E[2X_1 \mid S]

koşullu beklenen değerini bulmak (veya tamlık özelliğini kullanmak).

S = \max(X_1, \dots, X_n)

istatistiğinin beklenen değeri

E(S) = \frac{n}{n+1}\theta

'dır.

S

tam ve yeterli istatistik olduğundan, UMVUE doğrudan

T^* = \frac{n+1}{n}S

olarak elde edilir.

Teorem gereği, yeterli istatistik üzerinden koşullandırma yapılarak daha düşük varyanslı yansız tahmin edici elde edilir.

3

T^* = \frac{n+1}{n}S

tahmin edicisinin varyansını hesaplamak.

S

'nin varyansı

Var(S) = \frac{n\theta^2}{(n+2)(n+1)^2}

formülüyle bulunur. Buradan

Var(T^*) = \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 Var(S) = \frac{\theta^2}{n(n+2)}

sonucu çıkar.

Yeni tahmin edicinin varyansını elde edip ilk varyans ile karşılaştırmak hedeflenmektedir.

4

İki varyans arasındaki farkı bulmak.

\frac{\theta^2}{3} - \frac{\theta^2}{n(n+2)} = \frac{\theta^2 n(n+2) - 3\theta^2}{3n(n+2)} = \frac{\theta^2(n^2+2n-3)}{3n(n+2)}

şeklinde hesaplanır.

Soru bizden iyileştirme miktarını (varyans farkını) istemektedir.

Key Concept

Rao-Blackwell Teoremi ve Varyans İyileştirmesi

Question 37Question →

Bir gümrük müdürlüğünde incelenen belirli bir ürün grubuna ait beyannamelerdeki hata oranı $\theta$ parametresi ile ifade edilmektedir. Uzmanlar, geçmiş verilere dayanarak $\theta$ parametresinin önsel (prior) dağılımının $\alpha=2$ ve $\beta=2$ parametreli Beta dağılımına uyduğunu varsaymaktadır.

Rastgele seçilen $4$ beyanname incelendiğinde, sadece $1$ beyannamede hata tespit edilmiştir. Kurum, hata sürecindeki belirsizliği ölçmek amacıyla $g(\theta) = \theta(1-\theta)$ fonksiyonunun karesel hata (squared error) kayıp fonksiyonu altındaki Bayes tahmin edicisini elde etmek istemektedir.

Buna göre, $g(\theta)$ fonksiyonunun Bayes tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{15}{64}

\frac{2}{9}

\frac{5}{24}

\frac{3}{16}

\frac{1}{4}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{5}{24}$

Answer

Bayes tahmini, karesel hata kayıp fonksiyonu altında parametrenin sonsal (posterior) beklenen değerine eşittir. Sonuç

\frac{5}{24}

olarak bulunur.

Karesel hata (squared error) kayıp fonksiyonu kullanıldığında, herhangi bir

g(\theta)

fonksiyonunun Bayes tahmini, o fonksiyonun sonsal dağılım altındaki beklenen değeridir (

E[g(\theta)|X]

). Beta(2,2) önsel dağılımı ve 4 denemede 1 başarı veren Binom olabilirlik fonksiyonu birleştirildiğinde sonsal dağılım Beta(3,5) olur. Bu dağılım altında

E[\theta(1-\theta)|X]

değeri, Beta dağılımının moment özellikleri gereği

\frac{3 \times 5}{(3+5)(3+5+1)} = \frac{15}{72} = \frac{5}{24}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Önsel dağılım ve olabilirlik fonksiyonunu belirle.

Önsel dağılım

\theta \sim Beta(2,2)

'dir.

n=4

denemede

x=1

başarı gözlendiği için olabilirlik fonksiyonu

L(\theta) \propto \theta^1 (1-\theta)^3

şeklindedir.

Sonsal dağılımı bulmak için Bayes teoremi gereği önsel dağılım ile olabilirlik fonksiyonu çarpılmalıdır.

2

Sonsal (posterior) dağılımı elde et.

f(\theta|X) \propto \theta^{2-1}(1-\theta)^{2-1} \cdot \theta^1(1-\theta)^3 = \theta^{3-1}(1-\theta)^{5-1}

. Buradan sonsal dağılımın

Beta(3, 5)

olduğu görülür.

Eşlenik (conjugate) önsel kullanıldığından,

Beta(\alpha, \beta)

ile Binom çarpımı

Beta(\alpha+x, \beta+n-x)

dağılımını verir.

3

Karesel hata kayıp fonksiyonu için Bayes tahmin edicisinin kuralını uygula.

Karesel hata kayıp fonksiyonu altında

g(\theta)

fonksiyonunun Bayes tahmin edicisi,

g(\theta)

'nın sonsal beklenen değeridir:

\hat{g}_{Bayes} = E[\theta(1-\theta)|X]

.

Parametrenin kendisinin değil, lineer olmayan bir fonksiyonunun (

g(\theta)

) tahmini istenmektedir.

E[g(\theta)] \neq g(E[\theta])

eşitsizliği dikkate alınmalıdır.

4

Beta(3,5)

dağılımı altında beklenen değeri hesapla.

E[\theta(1-\theta)|X] = \int_0^1 \theta(1-\theta) \frac{\theta^{3-1}(1-\theta)^{5-1}}{B(3,5)} d\theta = \frac{B(4,6)}{B(3,5)} = \frac{\Gamma(4)\Gamma(6)/\Gamma(10)}{\Gamma(3)\Gamma(5)/\Gamma(8)} = \frac{3 \times 5}{8 \times 9} = \frac{15}{72} = \frac{5}{24}

.

Beta(\alpha^*, \beta^*)

dağılımında

E[\theta(1-\theta)] = \frac{\alpha^* \beta^*}{(\alpha^*+\beta^*)(\alpha^*+\beta^*+1)}

formülüyle integral doğrudan çözülebilir.

Key Concept

Bayes Tahmin Yöntemi (Karesel Hata Kayıp Fonksiyonu ve Parametrik Fonksiyonların Tahmini)

Question 38Question →

Standart varsayımların geçerli olduğu iki değişkenli (basit) doğrusal regresyon modelinde ( $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i$ ), parametreler En Küçük Kareler (EKK) yöntemi kullanılarak tahmin edilmiştir. Bu tahminleme işlemi sonucunda elde edilen kalıntılar (artıklar) $e_i$ ve bağımlı değişkene ait tahmin değerleri $\hat{Y}_i$ olarak ifade edilmiştir.

EKK yönteminin normal denklemleri ve kalıntıların cebirsel özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki eşitliklerden hangisi genel olarak sıfıra eşit olmaz?

\sum_{i=1}^n e_i

\sum_{i=1}^n X_i e_i

\sum_{i=1}^n \hat{Y}_i e_i

\sum_{i=1}^n Y_i e_i

\sum_{i=1}^n (\hat{Y}_i - \bar{Y}) e_i

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^n Y_i e_i$

Answer

\sum_{i=1}^n Y_i e_i

ifadesi genel olarak sıfıra eşit değildir, hata kareler toplamına (SSE) eşittir.

Doğrusal regresyonda gözlemlenen bağımlı değişken değerleri (

Y_i

) ile kalıntıların (

e_i

) çarpımlarının toplamı, hata kareler toplamına (

SSE

) eşittir. Matematiksel olarak

\sum Y_i e_i = \sum (\hat{Y}_i + e_i) e_i = \sum \hat{Y}_i e_i + \sum e_i^2

şeklinde ifade edilir. Burada

\sum \hat{Y}_i e_i = 0

olduğundan sonuç

\sum e_i^2

(SSE) olur. Model veriye kusursuz bir şekilde uymadığı sürece

SSE > 0

'dır ve bu ifade sıfıra eşit olmaz.

Step-by-Step Solution

1

En küçük kareler yönteminin normal denklemlerinin sonuçlarını belirle.

Hata kareler toplamının

\beta_0

ve

\beta_1

'e göre türevlerinin sıfıra eşitlenmesiyle

\sum e_i = 0

ve

\sum X_i e_i = 0

eşitlikleri elde edilir.

Bu iki eşitlik, modelin parametrelerinin EKK ile tahmin edilmesinin doğrudan sonucudur.

2

Tahmin değerleri (

\hat{Y}_i

) ile kalıntılar (

e_i

) arasındaki cebirsel ilişkiyi analiz et.

\hat{Y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_i

olduğundan,

\sum \hat{Y}_i e_i = \hat{\beta}_0 \sum e_i + \hat{\beta}_1 \sum X_i e_i

yazılır. Her iki toplam da sıfır olduğu için

\sum \hat{Y}_i e_i = 0

olur.

Tahmin vektörü ile kalıntı vektörü veri uzayında birbirine diktir (ortogonaldir).

3

Gözlenen

Y_i

değerleri ile kalıntıların çarpımını incele.

Y_i = \hat{Y}_i + e_i

formülünü kullanarak, hedeflenen ifadeyi

\sum Y_i e_i = \sum (\hat{Y}_i + e_i)e_i

şeklinde genişlet.

Gerçek değerler, tahmin edilen değerler ile kalıntıların toplamından oluşur.

4

Çarpım toplamını basitleştirerek sonucu değerlendir.

\sum \hat{Y}_i e_i + \sum e_i^2 = 0 + \sum e_i^2 = SSE

(Hata Kareler Toplamı). EKK'da

SSE > 0

olacağından bu ifade sıfıra eşit olmaz.

Ortogonalite kuralı

Y_i

'nin kendisi için değil, sadece regresörler ve tahmin değerleri (

\hat{Y}_i

) için geçerlidir.

Key Concept

En Küçük Kareler Tahmin Edicilerinin Cebirsel Özellikleri ve Ortogonalite

Alternative Method

Vektörel (Matris) yaklaşımı kullanarak ispat: EKK'da tahminler

\hat{Y} = HY

ve kalıntılar

e = (I-H)Y

olarak yazılır (H = Hat matrisi).

Y'e = Y'(I-H)Y = e'e = SSE

sonucuna doğrudan ulaşılır ve bu değerin sıfır olmadığı açıkça görülür.

Estimated Time:1m 15s

Question 39Question →

Bir araştırmacı, bir çağrı merkezine belirli bir zaman aralığında gelen çağrı sayısını modellemek için Poisson dağılımını kullanmaktadır. Süreçteki hiç çağrı gelmeme olasılığı olan $\theta = e^{-\lambda}$ parametresini tahmin etmek amacıyla, $n$ çaplı rastgele örneklemin ortalaması olan $\bar{X}$ kullanılarak $T_n = e^{-\bar{X}}$ tahmin edicisi önerilmiştir.

Buna göre, $T_n$ tahmin edicisinin yansızlık ve tutarlılık özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

T_n

,

\theta

için yansız ancak tutarsız bir tahmin edicidir.

T_n

,

\theta

için hem yansız hem de tutarlı bir tahmin edicidir.

T_n

,

\theta

için yanlı ancak tutarlı bir tahmin edicidir.

T_n

,

\theta

için yanlı ve tutarsız bir tahmin edicidir.

T_n

'nin tutarlı olabilmesi için yansızlık şartı zorunlu olduğundan

T_n

tutarsızdır.

Show answer & explanation

Answer: $T_n$ , $\theta$ için yanlı ancak tutarlı bir tahmin edicidir.

Answer

T_n

,

\theta

için yanlı ancak tutarlı bir tahmin edicidir.

Doğru yanıt, tahmin edicinin yanlı ancak tutarlı olduğunu ifade eden seçenektir. Yansızlık analizi yapıldığında,

e^{-x}

dışbükey bir fonksiyon olduğu için Jensen eşitsizliği gereği

E[e^{-\bar{X}}] > e^{-E[\bar{X}]} = e^{-\lambda}

olur, dolayısıyla tahmin edici yanlıdır. Ancak tutarlılık açısından bakıldığında; örneklem ortalaması

\bar{X}

, kitle ortalaması

\lambda

için tutarlı bir tahmin edicidir (Zayıf Büyük Sayılar Yasası).

e^{-x}

sürekli bir fonksiyon olduğundan, sürekli dönüşüm teoremi (continuous mapping theorem) gereğince

e^{-\bar{X}}

de

e^{-\lambda}

için tutarlı bir tahmin edicidir.

Step-by-Step Solution

1

Yansızlık durumunu Jensen eşitsizliği kullanarak analiz etme

g(x) = e^{-x}

fonksiyonu kesin dışbükey (strictly convex) bir fonksiyondur. Jensen eşitsizliğine göre

E[g(X)] > g(E[X])

olur. Dolayısıyla

E[e^{-\bar{X}}] > e^{-E[\bar{X}]} = e^{-\lambda}

'dır.

Bir tahmin edicinin fonksiyonunun beklenen değerinin, fonksiyonun beklenen değerine eşit olup olmadığını test etmek için dışbükeylik analizi yapılmalıdır. Eşitlik sağlanmadığı için

T_n

yanlı bir tahmin edicidir.

2

Tutarlılık durumunu sürekli dönüşüm teoremi (Continuous Mapping Theorem) ile inceleme

Zayıf Büyük Sayılar Yasası'na göre

\bar{X} \xrightarrow{p} \lambda

'dır.

g(x) = e^{-x}

sürekli bir fonksiyon olduğundan,

e^{-\bar{X}} \xrightarrow{p} e^{-\lambda}

gerçekleşir.

Olasılıkta yakınsama özelliği, sürekli fonksiyonlar altında korunur. Bu durum

T_n

'nin

\theta

için tutarlı bir tahmin edici olduğunu kanıtlar.

3

Elde edilen sonuçları birleştirme

T_n

, küçük örneklemlerde yanlı bir tahmin edici olmasına rağmen, örneklem çapı sonsuza giderken gerçek parametre değerine olasılıkta yakınsadığı için tutarlıdır.

Yansızlık ve tutarlılık birbirinden farklı kavramlardır; yanlı bir tahmin edici pekâlâ tutarlı olabilir.

Key Concept

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency) ve Jensen Eşitsizliği

Question 40Question →

Bir işletmenin farklı şubelerindeki reklam harcamaları ( $X$ ) ile haftalık satış gelirleri ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla $n = 5$ şubeden veri derlenmiştir.

Hesaplanan bazı özet istatistikler aşağıda verilmiştir:

\sum_{i=1}^{5} X_i = 20

\sum_{i=1}^{5} Y_i = 50

\sum_{i=1}^{5} X_i^2 = 130

\sum_{i=1}^{5} X_i Y_i = 390

Hata terimlerinin kareleri toplamını ( $S = \sum \epsilon_i^2$ ) minimize etme prensibine dayanan En Küçük Kareler (EKK) yöntemi kullanıldığında, $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i$ basit doğrusal regresyon modelinin tahmin denklemi ( $\hat{Y}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\hat{Y} = -5.2 + 3.8X

\hat{Y} = -2 + 3X

\hat{Y} = 25.2 + 3.8X

\hat{Y} = 25.2 - 3.8X

\hat{Y} = 10 + 3.8X

Show answer & explanation

Answer: $\hat{Y} = -5.2 + 3.8X$

Answer

Modelin doğru tahmin denklemi

\hat{Y} = -5.2 + 3.8X

olmalıdır.

EKK tahmin edicileri, hata terimlerinin kareleri toplamını minimize eden normal denklemlerin ortak çözümünden elde edilir. Standart basit doğrusal regresyonda eğim katsayısı

\hat{\beta}_1 = \frac{n\sum XY - \sum X \sum Y}{n\sum X^2 - (\sum X)^2}

(veya eşdeğer merkezileştirilmiş haliyle

\frac{S_{xy}}{S_{xx}}

) olarak bulunur. Değerler yerine konulduğunda

\hat{\beta}_1 = \frac{190}{50} = 3.8

elde edilir. Sabit terim ise regresyon doğrusunun ortalamalar noktasından geçmesi gerektiği için

\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1\bar{X} = 10 - 3.8(4) = -5.2

şeklinde hesaplanır. Bu nedenle doğru tahmin denklemi

\hat{Y} = -5.2 + 3.8X

olur.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem ortalamalarını hesaplama

\bar{X} = 20 / 5 = 4

ve

\bar{Y} = 50 / 5 = 10

Eğim ve sabit terim hesaplamalarında merkezi (düzeltilmiş) değerlere ihtiyaç duyulur.

2

Düzeltilmiş kareler ve çarpımlar toplamlarını (

S_{xx}

ve

S_{xy}

) bulma

S_{xx} = \sum X_i^2 - n\bar{X}^2 = 130 - 5(16) = 50

S_{xy} = \sum X_i Y_i - n\bar{X}\bar{Y} = 390 - 5(4)(10) = 190

En Küçük Kareler tahmin edicisinde eğim, kovaryansın varyansa oranını yansıtan bu iki terimin bölümüyle elde edilir.

3

Eğim katsayısını (

\hat{\beta}_1

) hesaplama

\hat{\beta}_1 = S_{xy} / S_{xx} = 190 / 50 = 3.8

Değişkenler arasındaki doğrusal ilişkinin yönü ve büyüklüğü belirlenir.

4

Sabit terimi (

\hat{\beta}_0

) hesaplama

\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1\bar{X} = 10 - 3.8(4) = 10 - 15.2 = -5.2

EKK prensibine göre elde edilen regresyon doğrusu

(\bar{X}, \bar{Y})

ortalama noktasından geçmek zorundadır.

Key Concept

En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi ile Basit Doğrusal Regresyon

Parametre Tahmin Yöntemleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution