Bir araştırmacı, bir çağrı merkezine belirli bir zaman aralığında gelen çağrı sayısını mod… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, bir çağrı merkezine belirli bir zaman aralığında gelen çağrı sayısını modellemek için Poisson dağılımını kullanmaktadır. Süreçteki hiç çağrı gelmeme olasılığı olan $\theta = e^{-\lambda}$ parametresini tahmin etmek amacıyla, $n$ çaplı rastgele örneklemin ortalaması olan $\bar{X}$ kullanılarak $T_n = e^{-\bar{X}}$ tahmin edicisi önerilmiştir.

Buna göre, $T_n$ tahmin edicisinin yansızlık ve tutarlılık özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A
$T_n$ , $\theta$ için yansız ancak tutarsız bir tahmin edicidir.
B
$T_n$ , $\theta$ için hem yansız hem de tutarlı bir tahmin edicidir.
$T_n$ , $\theta$ için yanlı ancak tutarlı bir tahmin edicidir.Answer
D
$T_n$ , $\theta$ için yanlı ve tutarsız bir tahmin edicidir.
E
$T_n$ 'nin tutarlı olabilmesi için yansızlık şartı zorunlu olduğundan $T_n$ tutarsızdır.

Answer

T_n

\theta

için yanlı ancak tutarlı bir tahmin edicidir.

Doğru yanıt, tahmin edicinin yanlı ancak tutarlı olduğunu ifade eden seçenektir. Yansızlık analizi yapıldığında,

e^{-x}

dışbükey bir fonksiyon olduğu için Jensen eşitsizliği gereği

E[e^{-\bar{X}}] > e^{-E[\bar{X}]} = e^{-\lambda}

olur, dolayısıyla tahmin edici yanlıdır. Ancak tutarlılık açısından bakıldığında; örneklem ortalaması

\bar{X}

, kitle ortalaması

\lambda

için tutarlı bir tahmin edicidir (Zayıf Büyük Sayılar Yasası).

e^{-x}

sürekli bir fonksiyon olduğundan, sürekli dönüşüm teoremi (continuous mapping theorem) gereğince

e^{-\bar{X}}

e^{-\lambda}

için tutarlı bir tahmin edicidir.

Step-by-Step Solution

Yansızlık durumunu Jensen eşitsizliği kullanarak analiz etme

g(x) = e^{-x}

fonksiyonu kesin dışbükey (strictly convex) bir fonksiyondur. Jensen eşitsizliğine göre

E[g(X)] > g(E[X])

olur. Dolayısıyla

E[e^{-\bar{X}}] > e^{-E[\bar{X}]} = e^{-\lambda}

'dır.

Bir tahmin edicinin fonksiyonunun beklenen değerinin, fonksiyonun beklenen değerine eşit olup olmadığını test etmek için dışbükeylik analizi yapılmalıdır. Eşitlik sağlanmadığı için

T_n

yanlı bir tahmin edicidir.

Tutarlılık durumunu sürekli dönüşüm teoremi (Continuous Mapping Theorem) ile inceleme

Zayıf Büyük Sayılar Yasası'na göre

\bar{X} \xrightarrow{p} \lambda

'dır.

g(x) = e^{-x}

sürekli bir fonksiyon olduğundan,

e^{-\bar{X}} \xrightarrow{p} e^{-\lambda}

gerçekleşir.

Olasılıkta yakınsama özelliği, sürekli fonksiyonlar altında korunur. Bu durum

T_n

'nin

\theta

için tutarlı bir tahmin edici olduğunu kanıtlar.

Elde edilen sonuçları birleştirme

T_n

, küçük örneklemlerde yanlı bir tahmin edici olmasına rağmen, örneklem çapı sonsuza giderken gerçek parametre değerine olasılıkta yakınsadığı için tutarlıdır.

Yansızlık ve tutarlılık birbirinden farklı kavramlardır; yanlı bir tahmin edici pekâlâ tutarlı olabilir.

Key Concept

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency) ve Jensen Eşitsizliği

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic