Küme Örneklemesinde Oran Tahmini Practice Questions — KPSS İstatistik

Question 1Question →

Tarım ve Orman Bakanlığı, bir tarım bölgesindeki seralarda 'Tuta absoluta' (domates güvesi) zararlısının görülme oranını tahmin etmek istemektedir. Bölgede toplam $N = 40$ sera işletmesi (küme) bulunmaktadır. Rastgele seçilen $n = 4$ işletmede yapılan incelemelerde, incelenen toplam domates fidesi sayısı ( $M_i$ ) ve zararlı tespit edilen fide sayısı ( $a_i$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

İşletme ( $i$ )	İncelenen Fide Sayısı ( $M_i$ )	Zararlı Tespit Edilen Fide Sayısı ( $a_i$ )
1	100	20
2	150	30
3	200	50
4	50	20

Buna göre, kitle oranının küme örneklemesi oran tahminleyicisi ( $p$ ) ve bu tahminleyicinin varyans tahmini ( $\hat{V}(p)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

0,2400

ve

0,000576

0,2400

ve

0,000640

0,2625

ve

0,000576

0,2625

ve

0,000640

0,2400

ve

0,000432

Show answer & explanation

Answer: $0,2400$ ve $0,000576$

Answer

Doğru cevap

0,2400

ve

0,000576

değerlerini içeren seçenektir.

Kümeler (seralar) farklı sayıda fide (eleman) içerdiğinden, kitle oranı ayrı oranların ortalaması ile değil, kümelerdeki toplam hastalıklı fide sayısının toplam fide sayısına bölümü olan

p = \frac{\sum a_i}{\sum M_i} = \frac{120}{500} = 0,24

formülüyle bulunur. Varyans hesaplamasında ise örneklem oranının

f = 0,1

olması dolayısıyla SKD çarpanı

(1-f) = 0,9

eklenir ve sapma kareleri toplamı

n-1 = 3

'e bölünerek

s_c^2 = 40

elde edilir. Formül gereği varyans

\frac{0,9}{4 \times 125^2} \times 40 = 0,000576

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Oran tahminleyicisini (

p

) hesapla.

p = \frac{\sum a_i}{\sum M_i} = \frac{20 + 30 + 50 + 20}{100 + 150 + 200 + 50} = \frac{120}{500} = 0,2400

Küme büyüklükleri birbirinden farklı olduğu için oran tahmini, toplam ilgilenilen özellik sayısının toplam eleman sayısına bölünmesiyle (ağırlıklı) elde edilir.

2

Varyans formülü için gerekli temel parametreleri (SKD ve

\bar{M}

) bul.

f = \frac{n}{N} = \frac{4}{40} = 0,1 \implies (1-f) = 0,9

\bar{M} = \frac{\sum M_i}{n} = \frac{500}{4} = 125

Varyans tahmin formülü olan

\hat{V}(p) = \frac{1-f}{n \bar{M}^2} s_c^2

eşitliğini kullanabilmek için Sonlu Kitle Düzeltme çarpanı ve ortalama küme büyüklüğü gereklidir.

3

Örneklem içi sapma karesi ortalamasını (

s_c^2

) hesapla.

a_1 - pM_1 = 20 - (0,24)(100) = -4 \implies (-4)^2 = 16

a_2 - pM_2 = 30 - (0,24)(150) = -6 \implies (-6)^2 = 36

a_3 - pM_3 = 50 - (0,24)(200) = 2 \implies 2^2 = 4

a_4 - pM_4 = 20 - (0,24)(50) = 8 \implies 8^2 = 64

\sum (a_i - pM_i)^2 = 16 + 36 + 4 + 64 = 120

s_c^2 = \frac{120}{n-1} = \frac{120}{3} = 40

Oran tahminleyicisinin varyansı, her bir kümedeki gözlenen değer ile beklenen değer (oran x küme hacmi) arasındaki farkların kareleri toplamı üzerinden bulunur.

4

Oran tahminleyicisinin varyansını (

\hat{V}(p)

) nihai formülde yerine koyarak bul.

\hat{V}(p) = \frac{0,9}{4 \times 125^2} \times 40 = \frac{0,9 \times 40}{4 \times 15625} = \frac{36}{62500} = 0,000576

Kümelerin oran tahmininin standart varyans formülü uygulanarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Farklı Büyüklüklü Kümelerde Oran Tahmini ve Varyansı

Question 2Question →

Bir ilçe milli eğitim müdürlüğü, ilçedeki okullarda görev yapan öğretmenlerin dijital materyal kullanım durumlarını belirlemek amacıyla bir araştırma yapmaktadır. İlçedeki toplam $50$ okul ( $N=50$ ) küme olarak tanımlanmış ve bu okullardan basit rastgele örnekleme ile $5$ okul ( $n=5$ ) seçilmiştir. Seçilen okullardaki toplam öğretmen sayıları ( $M_i$ ) ve dijital materyal kullanan öğretmen sayıları ( $a_i$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Okul No	Öğretmen Sayısı ( $M_i$ )	Dijital Materyal Kullanan ( $a_i$ )
1	60	24
2	100	30
3	40	10
4	120	54
5	80	32

Bu verilere göre, ilçedeki tüm öğretmenler arasında dijital materyal kullananların kitle oran tahmini ( $\hat{p}$ ) ve bu tahminin varyansı hesaplanırken kullanılması gereken sonlu kitle düzeltme çarpanı ( $SKD$ ) sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

0,375

ve

0,90

0,360

ve

0,90

0,375

ve

1,00

0,360

ve

1,00

0,375

ve

0,10

Show answer & explanation

Answer: $0,375$ ve $0,90$

Answer

Kitle oran tahmini

0,375

ve sonlu kitle düzeltme çarpanı

0,90

olarak hesaplanır.

Küme örneklemesinde kitle oran tahmini, örnekleme giren tüm kümelerdeki ilgili birimlerin toplamı (

150

) ile bu kümelerdeki toplam öğretmen sayısının (

400

) birbirine bölünmesiyle

0,375

olarak bulunur. Sonlu kitle düzeltme çarpanı (

SKD

) ise iadesiz seçim durumunda

1 - (n/N)

formülünden

1 - (5/50) = 0,90

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Örneklemdeki toplam öğretmen sayısı (

\sum M_i

) ve dijital materyal kullanan toplam öğretmen sayısı (

\sum a_i

) hesaplanır.

\sum M_i = 60 + 100 + 40 + 120 + 80 = 400

ve

\sum a_i = 24 + 30 + 10 + 54 + 32 = 150

Küme örneklemesinde oran tahmini için ağırlıklı toplamlar kullanılmalıdır.

2

Küme örneklemesi kitle oran tahmin edicisi formülü uygulanır.

\hat{p} = \frac{\sum a_i}{\sum M_i} = \frac{150}{400} = 0,375

Kümelerin büyüklükleri farklı olduğunda oran tahmini, toplam birimlerin birbirine oranıyla (oranlı tahminleyici) bulunur.

3

Örnekleme oranı (

f

) belirlenir ve varyans formülünde kullanılacak sonlu kitle düzeltme çarpanı (

SKD

) hesaplanır.

f = \frac{n}{N} = \frac{5}{50} = 0,10

ve

SKD = 1 - f = 1 - 0,10 = 0,90

İadesiz seçim yapılan sonlu kitlelerde, tahminin hassasiyeti SKD ile düzeltilmelidir.

Key Concept

Küme örneklemesinde küme büyüklükleri farklı olduğunda, kitle oranı tahmini her bir kümenin oranının ortalaması alınarak değil, örneklemdeki tüm ilgili birimlerin toplamının toplam gözlem sayısına bölünmesiyle (oranlı tahminleyici) elde edilir.

Question 3Question →

Bir ildeki $100$ farklı yerleşim biriminden ( $N=100$ ) rastgele $4$ yerleşim birimi ( $n=4$ ) küme örneklemesi yöntemiyle seçilmiştir. Her bir yerleşim birimindeki toplam konut sayısı ( $M_i$ ) ve güneş enerjisi paneli bulunan konut sayısı ( $a_i$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir. Kitledeki ortalama küme büyüklüğünün $\bar{M} = 10$ olduğu bilinmektedir.

Yerleşim Birimi	Toplam Konut ( $M_i$ )	Panelli Konut ( $a_i$ )
1	5	1
2	15	5
3	10	3
4	10	3

Buna göre, bu ildeki konutların güneş enerjisi paneline sahip olma oranının nokta tahmini ( $\hat{p}$ ) ve bu tahminin varyansı ( $\hat{V}(\hat{p})$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,300

ve

0,00040

0,300

ve

0,00042

0,283

ve

0,00040

0,120

ve

0,00040

0,300

ve

0,00120

Show answer & explanation

Answer: $0,300$ ve $0,00040$

Answer

Nokta tahmini

0,300

ve tahminin varyansı

0,00040

olarak hesaplanır.

Nokta tahmini, örneklemdeki toplam karakteristikli birim sayısının toplam gözlem birimi sayısına bölünmesiyle (

12/40 = 0,30

) bulunur. Varyans ise kümeler arası farkları esas alan formülün SKD çarpanı (

0,96

) ile işleme sokulması sonucu

0,00040

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Örneklemdeki toplam konut sayısını ve panelli konut sayısını toplayınız.

\sum a_i = 1 + 5 + 3 + 3 = 12

ve

\sum M_i = 5 + 15 + 10 + 10 = 40

Küme örneklemesinde oran tahmini, kümelerin toplamlarının birbirine oranı (oran tahminleyicisi) ile hesaplanır.

2

Kitle oranı nokta tahminini (

\hat{p}

) hesaplayınız.

\hat{p} = \frac{\sum a_i}{\sum M_i} = \frac{12}{40} = 0,30

Oran tahminleyicisi formülü

\hat{p} = \frac{\sum a_i}{\sum M_i}

şeklindedir.

3

Kümeler arası varyans bileşeni olan

s_c^2

değerini hesaplayınız.

s_c^2 = \frac{1}{n-1} \sum (a_i - \hat{p}M_i)^2 = \frac{1}{3} [ (1 - 0,3 \times 5)^2 + (5 - 0,3 \times 15)^2 + (3 - 0,3 \times 10)^2 + (3 - 0,3 \times 10)^2 ] = \frac{1}{3} [ (-0,5)^2 + (0,5)^2 + 0^2 + 0^2 ] = \frac{0,25 + 0,25}{3} = \frac{0,5}{3} = \frac{1}{6}

Varyans tahmini için küme toplamlarının tahmin edilen orandan sapmalarının kareleri toplamı gereklidir.

4

Varyans tahmini formülünü sonlu kitle düzeltme faktörü ile birlikte uygulayınız.

\hat{V}(\hat{p}) = \frac{1-f}{n \bar{M}^2} s_c^2 = \frac{1 - 4/100}{4 \times 10^2} \times \frac{1}{6} = \frac{0,96}{400} \times \frac{1}{6} = 0,0024 \times \frac{1}{6} = 0,0004

İadesiz seçim yapıldığında varyansa sonlu kitle düzeltme çarpanı (

1-f

) eklenmelidir.

Key Concept

Küme Örneklemesinde Oran Tahminleyicisi ve Varyansı

Question 4Question →

Bir ilçe sağlık müdürlüğü, ilçedeki 50 mahalleden ( $N=50$ ) rastgele seçtiği 5 mahallede ( $n=5$ ) çocukluk dönemi aşılarının tamamlanma oranını araştırmaktadır. Seçilen mahallelerdeki toplam hane sayıları ( $M_i$ ) ve aşıları tam olan hane sayıları ( $a_i$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Mahalle No	Hane Sayısı ( $M_i$ )	Aşılı Hane Sayısı ( $a_i$ )
1	10	2
2	20	6
3	20	8
4	30	12
5	20	12

Buna göre, ilçedeki çocukluk dönemi aşılarının tamamlanma oranı tahmini ( $\hat{p}$ ) ve bu tahminin varyansı ( $V(\hat{p})$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,40

ve

0,0027

0,38

ve

0,0027

0,40

ve

0,0030

0,38

ve

0,0030

0,40

ve

0,0480

Show answer & explanation

Answer: $0,40$ ve $0,0027$

Answer

İlçedeki çocukluk dönemi aşılarının tamamlanma oranı tahmini

0,40

ve varyansı

0,0027

olarak bulunur.

Kitle oranı tahmini, örneklemdeki toplam başarılı sonuçların toplam birim sayısına bölünmesiyle (

40/100 = 0,40

) elde edilir. Varyans ise kümeler arası değişkenliği ve küme büyüklüklerini dikkate alan

V(\hat{p}) = \frac{1-f}{n \bar{m}^2} s_r^2

formülüyle hesaplanır ve

0,0027

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Toplam hane ve aşılı hane sayılarını toplayarak oran tahminini (

\hat{p}

) hesapla.

\sum M_i = 100

,

\sum a_i = 40 \Rightarrow \hat{p} = 40/100 = 0,40

Küme örneklemesinde kitle oranı, toplam ilgilenilen birim sayısının toplam gözlem birimi sayısına oranıyla (oran tahminleyicisi) bulunur.

2

Küme içi farkların kareler toplamını (

\sum (a_i - \hat{p} M_i)^2

) hesapla.

(-2)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 0^2 + 4^2 = 4 + 4 + 0 + 0 + 16 = 24

Varyans formülündeki kareler toplamı bileşenini elde etmek için her kümenin aşılı sayısı ile tahmini aşılı sayısı arasındaki farkın karesi alınır.

3

Kümeler arası varyans tahmin edicisi (

s_r^2

) ve ortalama küme büyüklüğünü (

\bar{m}

) hesapla.

s_r^2 = 24 / (5-1) = 6

ve

\bar{m} = 100/5 = 20

Serbestlik derecesine bölerek varyans tahmincisini ve örneklemdeki ortalama küme büyüklüğünü buluruz.

4

Sonlu kitle düzeltme çarpanı (

1-f

) değerini belirle.

f = 5/50 = 0,1 \Rightarrow 1-f = 0,9

Örnekleme oranı %5'ten büyük olduğu için iadesiz seçimde varyansı düzeltmek gerekir.

5

Tüm değerleri varyans formülünde yerine koyarak

V(\hat{p})

hesapla.

V(\hat{p}) = \frac{0,9}{5 \cdot 20^2} \cdot 6 = \frac{0,9}{2000} \cdot 6 = 0,00045 \cdot 6 = 0,0027

Küme örneklemesinde oran varyansı formülü uygulanarak sonuç elde edilir.

Key Concept

Farklı büyüklükteki kümelerde oran tahmini ve varyansının hesaplanması.

Practice More

Küme içi korelasyon katsayısının (ICC) bu varyans üzerindeki etkisini inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 5Question →

Bir tekstil fabrikasında üretilen ürünlerin hatalı olma oranını tahmin etmek amacıyla, depodaki $N=100$ adet koli arasından küme örneklemesi yöntemiyle $n=5$ koli rastgele seçilmiştir. Seçilen kolilerdeki toplam ürün sayıları ( $M_i$ ) ve içlerindeki kusurlu ürün sayıları ( $a_i$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Koli No	Ürün Sayısı ( $M_i$ )	Kusurlu Ürün Sayısı ( $a_i$ )
1	20	4
2	25	6
3	15	3
4	20	2
5	20	5

Buna göre, kitle oran tahmini ( $\hat{p}$ ) ve bu tahminin varyansı $\hat{V}(\hat{p})$ değerleri aşağıdakilerden hangisidir?

0,200

ve

0,0007125

0,198

ve

0,0007125

0,200

ve

0,0007500

0,198

ve

0,0007500

0,200

ve

0,0035625

Show answer & explanation

Answer: $0,200$ ve $0,0007125$

Answer

0,200

oran tahmini ve

0,0007125

varyans değerini içeren seçenek doğrudur.

Küme örneklemesinde oran tahmini, örneklemdeki toplam kusurlu birim sayısının (

20

) toplam birim sayısına (

100

) bölünmesiyle

0,20

olarak bulunur. Varyans hesaplanırken küme büyüklüklerinin farklılığı dikkate alınarak sapmalar üzerinden işlem yapılır ve iadesiz seçim yapıldığı için

0,95

olan sonlu kitle düzeltme çarpanı kullanılır. Bu işlemler sonucunda varyans

0,0007125

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kitle oran tahmininin (

\hat{p}

) hesaplanması.

\hat{p} = \frac{\sum a_i}{\sum M_i} = \frac{4+6+3+2+5}{20+25+15+20+20} = \frac{20}{100} = 0,20

Küme örneklemesinde oran tahmini, örneklemdeki toplam özellikli birim sayısının toplam gözlem birimi sayısına bölünmesiyle elde edilen oran tahminleyicisi (ratio estimator) ile yapılır.

2

Küme içi sapmaların karesinin hesaplanması.

\sum (a_i - \hat{p}M_i)^2 = (4-0,2\cdot 20)^2 + (6-0,2\cdot 25)^2 + (3-0,2\cdot 15)^2 + (2-0,2\cdot 20)^2 + (5-0,2\cdot 20)^2 = 0^2 + 1^2 + 0^2 + (-2)^2 + 1^2 = 6

Varyans formülünde kullanılan toplam kareler ifadesini elde etmek için her küme için beklenen değerden sapmalar bulunur.

3

Ortalama küme büyüklüğünün (

\bar{M}

) hesaplanması.

\bar{M} = \frac{\sum M_i}{n} = \frac{100}{5} = 20

Varyans formülünde paydada yer alan ortalama küme büyüklüğü değerini bulmak gerekir.

4

Tahminin varyansının (

\hat{V}(\hat{p})

) hesaplanması.

\hat{V}(\hat{p}) = \frac{1-f}{n \bar{M}^2} \frac{\sum (a_i - \hat{p}M_i)^2}{n-1} = \frac{1-0,05}{5 \cdot 20^2} \cdot \frac{6}{4} = \frac{0,95}{2000} \cdot 1,5 = 0,000475 \cdot 1,5 = 0,0007125

Sonlu kitle düzeltme çarpanı (

1-f = 1 - 5/100 = 0,95

) dahil edilerek varyans formülü uygulanır.

Key Concept

Küme Örneklemesinde Oran Tahminleyicisi ve Varyansı

Alternative Method

Varyans hesabında

\sum (a_i - \hat{p}M_i)^2

yerine

\sum a_i^2 - 2\hat{p}\sum a_i M_i + \hat{p}^2\sum M_i^2

açılımı da kullanılabilir, ancak sapmalar üzerinden gitmek genellikle işlem kolaylığı sağlar.

Estimated Time:2m 30s

Question 6Question →

Bir esnaf odası, bir ilçedeki $N=20$ iş hanında bulunan dükkanların dijital ödeme yöntemlerini kullanma oranını belirlemek istemektedir. Bu amaçla küme örneklemesi yöntemiyle rastgele $n=4$ iş hanı seçilmiş ve elde edilen veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Seçilen İş Hanı	Toplam Dükkan Sayısı ( $M_i$ )	Dijital Ödeme Kullanan ( $a_i$ )
1. İş Hanı	10	2
2. İş Hanı	15	6
3. İş Hanı	10	4
4. İş Hanı	15	8

Bu verilere göre, ilçedeki tüm iş hanlarındaki dükkanların dijital ödeme yöntemi kullanma oranına ilişkin küme örneklemesi tahmin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

0,40

0,38

0,50

0,60

0,45

Show answer & explanation

Answer: $0,40$

Answer

Küme örneklemesinde oran tahmini

0,40

olarak hesaplanır.

Küme örneklemesinde oran tahmini, seçilen

n

adet kümedeki toplam başarı sayısının (

\sum a_i

), bu kümelerdeki toplam birim sayısına (

\sum M_i

) bölünmesiyle elde edilir. Bu soruda toplam

20

dükkan dijital ödeme kullanmakta ve toplam

50

dükkan incelenmektedir. Dolayısıyla oran

20/50 = 0,40

olur.

Step-by-Step Solution

1

Örnekleme seçilen tüm kümelerdeki (iş hanlarındaki) toplam dükkan sayısını (

\sum M_i

) hesaplayın.

10 + 15 + 10 + 15 = 50

Oran tahminleyicisinin paydasını oluşturmak için toplam gözlem birimi sayısı gereklidir.

2

Seçilen kümelerde dijital ödeme yöntemi kullanan toplam dükkan sayısını (

\sum a_i

) hesaplayın.

2 + 6 + 4 + 8 = 20

Oran tahminleyicisinin payını oluşturmak için ilgilenilen niteliğe sahip toplam birim sayısı gereklidir.

3

Küme örneklemesi oran tahmini formülünü (

\hat{P} = \frac{\sum a_i}{\sum M_i}

) uygulayın.

\hat{P} = \frac{20}{50} = 0,40

Kitle oranının yansız olmayan ancak tutarlı tahminleyicisi bu oran formülü ile elde edilir.

Key Concept

Küme Örneklemesinde Oran Tahminleyicisi

Practice More

Kümelerin tamamının eşit büyüklükte olduğu (

M_i = M

) durumu için oran tahmininin basit bir ortalamaya dönüşüp dönüşmediğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 7Question →

Bir belediye, $N=200$ apartman bloğundan (küme) oluşan bir bölgede "akıllı su sayacı" kullanan dairelerin oranını tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla rastgele seçilen $n=5$ blokta yapılan inceleme sonucunda aşağıdaki veriler elde edilmiştir:

Seçilen Blok	Toplam Daire Sayısı ( $M_i$ )	Akıllı Sayaçlı Daire Sayısı ( $a_i$ )
1	20	4
2	25	10
3	15	3
4	30	6
5	10	2

Buna göre, bölge genelindeki akıllı sayaç kullanım oranına ilişkin küme örneklemesi nokta tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

0,25

0,24

0,244

0,125

0,20

Show answer & explanation

Answer: 0,25

Answer

Kitle oranının nokta tahmini, örneklemdeki toplam akıllı sayaçlı daire sayısının toplam daire sayısına bölünmesiyle elde edilen

0,25

değeridir.

Küme örneklemesinde oran tahmini, seçilen tüm kümelerdeki toplam özellikli birim sayısının, bu kümelerdeki toplam gözlem birimi sayısına bölünmesiyle hesaplanır. Bu örnekte toplam

25

akıllı sayaçlı daire, toplam

100

daire içerisinde bulunduğu için oran

0,25

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Örneklemdeki toplam akıllı sayaçlı daire sayısını (

\sum a_i

) hesaplayın.

\sum a_i = 4 + 10 + 3 + 6 + 2 = 25

Oran tahminleyicisinin pay kısmını oluşturmak için ilgilenilen özellikli birimlerin toplamı gereklidir.

2

Örneklemdeki toplam gözlem birimi (daire) sayısını (

\sum M_i

) hesaplayın.

\sum M_i = 20 + 25 + 15 + 30 + 10 = 100

Oran tahminleyicisinin payda kısmını oluşturmak için toplam birim sayısı gereklidir.

3

Küme örneklemesi oran tahminleyicisi formülünü uygulayın.

\hat{p} = \frac{\sum a_i}{\sum M_i} = \frac{25}{100} = 0,25

Kitle oranı, örneklem toplamlarının birbirine oranı (oran tahminleyicisi) ile tahmin edilir.

Key Concept

Küme örneklemesinde kitle oranı tahmini, kümelerin toplamları üzerinden yapılan bir oran (ratio) tahminidir.

Alternative Method

Eğer tüm kümeler eşit büyüklükte (

M

) olsaydı, küme oranlarının aritmetik ortalaması ile bu yöntem aynı sonucu verirdi. Ancak küme büyüklükleri farklı olduğunda daima toplamların oranı kullanılmalıdır.

Estimated Time:45s

Question 8Question →

Bir insan kaynakları departmanı, ülke genelinde bulunan $N=50$ farklı bölge müdürlüğündeki personelin yeni başlatılan "Kurumsal Esenlik Programı"na katılım oranını tahmin etmek istemektedir. Bölgeler birer küme olarak kabul edilmiş ve basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n=5$ bölge müdürlüğü seçilmiştir.

Seçilen bölge müdürlüklerindeki toplam personel sayıları ( $m_i$ ) ve programa katılan personel sayıları ( $a_i$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Bölge	Toplam Personel ( $m_i$ )	Katılımcı Sayısı ( $a_i$ )
1	40	16
2	50	11
3	30	9
4	60	18
5	20	6

Buna göre, Kurumsal Esenlik Programı'na katılım oranının küme örneklemesi tahmincisi ( $p_c$ ) ve bu tahmincinin varyans tahmini ( $\hat{V}(p_c)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

0,300

ve

0,0009

0,300

ve

0,0010

0,304

ve

0,0009

0,304

ve

0,0010

0,300

ve

0,0045

Show answer & explanation

Answer: $0,300$ ve $0,0009$

Answer

Kurumsal Esenlik Programına katılım oranı

0,300

ve varyans tahmini

0,0009

'dur.

Küme örneklemesinde oran tahmini, elde edilen tüm başarılı gözlem sayısının incelenen toplam birim sayısına bölünmesi ile

\frac{60}{200} = 0,300

olarak bulunur. Bu tahminin varyansı hesaplanırken, kümelerin farklı büyüklükte olması dikkate alınarak

s_c^2

terimi hesaplanır ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı kullanılarak

\frac{1-0,1}{5 \times 40^2} \times 8 = 0,0009

elde edilir. Bu nedenle hem oran hem de varyans tahmini doğru verilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Kitle oran tahmini (

p_c

) değerini hesapla.

p_c = \frac{\sum a_i}{\sum m_i} = \frac{16 + 11 + 9 + 18 + 6}{40 + 50 + 30 + 60 + 20} = \frac{60}{200} = 0,300

Küme örneklemesinde oran tahmini, seçilen kümelerdeki ilgilenilen özelliğe sahip elemanların toplamının, seçilen kümelerdeki toplam eleman sayısına bölünmesiyle elde edilir.

2

Örneklemdeki ortalama küme büyüklüğünü (

\bar{m}

) belirle.

\bar{m} = \frac{\sum m_i}{n} = \frac{200}{5} = 40

Farklı büyüklükteki kümelerde varyans tahmini formülü hesaplanırken ortalama küme büyüklüğüne (

\bar{m}

) ihtiyaç duyulur.

3

Varyans formülünün pay kısmında kullanılacak kareler toplamını

s_c^2

için hesapla.

1. Bölge:

16 - 0,3(40) = 4 \Rightarrow 4^2 = 16

2. Bölge:

11 - 0,3(50) = -4 \Rightarrow (-4)^2 = 16

3. Bölge:

9 - 0,3(30) = 0 \Rightarrow 0^2 = 0

4. Bölge:

18 - 0,3(60) = 0 \Rightarrow 0^2 = 0

5. Bölge:

6 - 0,3(20) = 0 \Rightarrow 0^2 = 0

Toplam:

16 + 16 + 0 + 0 + 0 = 32

. Buradan

s_c^2 = \frac{32}{5-1} = 8

bulunur.

Tahminin varyansı, her kümeden elde edilen farklılıkların karesel ortalamasını yansıtan

s_c^2 = \frac{\sum (a_i - p_c m_i)^2}{n-1}

değerini temel alır.

4

Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) ile birlikte varyans tahmini (

\hat{V}(p_c)

) formülünü uygula.

\hat{V}(p_c) = \frac{1-f}{n \bar{m}^2} s_c^2 = \frac{1 - \frac{5}{50}}{5 \times 40^2} \times 8 = \frac{0,9}{8000} \times 8 = 0,0009

Örneklem hacmi kitlenin %10'una ulaştığı için SKD (

1-f

) uygulanmalıdır. Tüm bileşenler formüle yerleştirilerek nihai varyans bulunur.

Key Concept

Küme Örneklemesinde Oran Tahmini ve Varyansı

Question 9Question →

Bir büyükşehir belediyesi, kent genelinde bulunan $N = 50$ otobüs garajında (küme) faal olarak kullanılan otobüslerin '10 yıllık ekonomik ömrünü doldurma' oranını tahmin etmek istemektedir.

Bu amaçla rastgele $n = 5$ garaj seçilmiş ve bu garajlardaki toplam otobüs sayıları ( $M_i$ ) ile ekonomik ömrünü dolduran otobüs sayıları ( $a_i$ ) aşağıdaki gibi belirlenmiştir:

Garaj ( $i$ )	Toplam Otobüs Sayısı ( $M_i$ )	10 Yılını Dolduran Otobüs Sayısı ( $a_i$ )
1	50	15
2	30	6
3	40	16
4	50	10
5	80	28

Buna göre, otobüslerin ekonomik ömrünü doldurma oranının küme örneklemesi tahminleyicisi ( $\hat{p}$ ) ve bu tahminleyicinin varyans tahmini ( $v(\hat{p})$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

0,30

ve

0,001188

0,30

ve

0,001320

0,29

ve

0,001188

0,29

ve

0,001440

0,30

ve

0,000950

Show answer & explanation

Answer: $0,30$ ve $0,001188$

Answer

Doğru cevap

0,30

ve

0,001188

değerlerini veren seçenektir.

Küme örneklemesinde oran tahmini, gözlenen tüm ilgilenilen birimlerin (

\sum a_i=75

), örneklemdeki toplam birim sayısına (

\sum M_i=250

) bölünmesi ile bulunur (

\hat{p} = 0,30

). Kümeler farklı büyüklükte olduğunda, oranın varyans tahmini her kümenin orana sapmasını dikkate alan

s_c^2 = \frac{\sum (a_i - \hat{p}M_i)^2}{n-1}

istatistiği yardımıyla hesaplanır. Formülde SKD (

1-f = 0,90

) ve paydadaki küme başı ortalama büyüklüğün karesi (

n\bar{M}^2

) kullanılarak işlem tamamlandığında nihai varyans

0,001188

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kitle oranının tahminini (

\hat{p}

) hesapla.

\sum M_i = 50 + 30 + 40 + 50 + 80 = 250

\sum a_i = 15 + 6 + 16 + 10 + 28 = 75

\hat{p} = \frac{\sum a_i}{\sum M_i} = \frac{75}{250} = 0,30

Küme örneklemesinde oran tahmini, gözlenen ilgilenilen özellik sayısının toplam örneklemdeki birim sayısına bölünmesiyle (ağırlıklı oran) bulunur.

2

Varyans hesabında kullanılacak küme başına düşen ortalama birim sayısını (

\bar{M}

) hesapla.

\bar{M} = \frac{\sum M_i}{n} = \frac{250}{5} = 50

Varyans formülünün paydasında, örnekleme giren kümelerin ortalama büyüklüğünün karesi (

\bar{M}^2

) kullanılmalıdır.

3

Kümeler arası değişim için

s_c^2 = \frac{\sum (a_i - \hat{p}M_i)^2}{n-1}

değerini hesapla.

1. Garaj:

15 - (0,30 \times 50) = 0 \implies 0^2 = 0

2. Garaj:

6 - (0,30 \times 30) = -3 \implies (-3)^2 = 9

3. Garaj:

16 - (0,30 \times 40) = 4 \implies 4^2 = 16

4. Garaj:

10 - (0,30 \times 50) = -5 \implies (-5)^2 = 25

5. Garaj:

28 - (0,30 \times 80) = 4 \implies 4^2 = 16

Toplam

= 0 + 9 + 16 + 25 + 16 = 66

s_c^2 = \frac{66}{5-1} = \frac{66}{4} = 16,5

Küme örneklemesinde varyans tahmini, her bir kümenin beklenen ilgilenilen değerden ne kadar saptığının kareleri toplamına dayanır.

4

Sonlu kitle düzeltme çarpanını (SKD) belirle.

f = \frac{n}{N} = \frac{5}{50} = 0,10

SKD = 1 - f = 1 - 0,10 = 0,90

Örnekleme iadesiz yapıldığı ve örnekleme kesri ihmal edilemeyecek düzeyde olduğu için varyans hesabında

1-f

kullanılmalıdır.

5

Varyans tahminini (

v(\hat{p})

) nihai formülde hesapla.

v(\hat{p}) = \frac{1-f}{n \bar{M}^2} \times s_c^2

v(\hat{p}) = \frac{0,90}{5 \times 50^2} \times 16,5 = \frac{0,90 \times 16,5}{12500} = \frac{14,85}{12500} = 0,001188

Küme örneklemesinde oran tahmininin varyansı, hata kareler ortalamasının ortalama küme büyüklüğü ve SKD dikkate alınarak düzeltilmesiyle bulunur.

Key Concept

Farklı büyüklüklü kümelerde oran tahmini ve varyansı

Question 10Question →

Bir enerji denetim firması, belirli bir Organize Sanayi Bölgesi'ndeki (OSB) endüstriyel üretim tesislerinde kullanılan aydınlatma armatürleri içinde LED armatürlerin oranını tahmin etmek istemektedir.

Bu OSB'de toplam $N = 50$ üretim tesisi (küme) bulunmaktadır. Firma, bu tesisler arasından $n = 5$ tesisi basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçmiş ve bu tesislerdeki toplam aydınlatma armatürü sayısını ( $M_i$ ) ile LED armatür sayısını ( $a_i$ ) aşağıdaki gibi belirlemiştir:

Tesis (Küme)	Toplam Armatür ( $M_i$ )	LED Armatür ( $a_i$ )
1	40	24
2	40	34
3	50	40
4	60	50
5	60	52

Buna göre, bu organize sanayi bölgesindeki tüm tesisler için LED aydınlatma armatürü oranının küme örneklemesi nokta tahmini ve bu tahminin varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

0,79

ve

0,001760

0,80

ve

0,001760

0,79

ve

0,001584

0,80

ve

0,001584

0,80

ve

0,007920

Show answer & explanation

Answer: $0,80$ ve $0,001584$

Answer

Doğru nokta tahmini 0,80 ve doğru varyans değeri 0,001584'tür.

Küme örneklemesinde oran tahmini, örnekleme çıkan tüm kümelerdeki ilgilenilen eleman sayılarının toplamının (

\sum a_i

), kümelerin toplam büyüklüğüne (

\sum M_i

) bölünmesiyle bulunur. Burada nokta tahmini

\hat{P} = \frac{200}{250} = 0,80

'dir. Oran tahminleyicisinin varyansı hesaplanırken her küme için

y_i = a_i - \hat{P}M_i

farkları bulunur ve bu farkların kareleri toplamından

s_c^2 = \frac{88}{4} = 22

elde edilir. Sonlu kitle düzeltme çarpanı (

1-f = 1 - \frac{5}{50} = 0,9

) formüle dahil edilerek

\hat{V}(\hat{P}) = \frac{1-f}{n \bar{M}^2} s_c^2

işlemi sonucunda varyans

\frac{0,9}{5 \times 50^2} \times 22 = 0,001584

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Toplam gözlem sayısının ve örneklemdeki ilgilenilen özelliğe sahip birim sayısının bulunması.

\sum M_i = 40+40+50+60+60 = 250

ve

\sum a_i = 24+34+40+50+52 = 200

.

Küme örneklemesinde oran tahminleyicisi

\hat{P} = \frac{\sum a_i}{\sum M_i}

formülüyle hesaplanır.

2

Nokta tahmininin (kitle oranının) hesaplanması.

\hat{P} = \frac{200}{250} = 0,80

.

Örnekleme alınan kümelerdeki ilgilenilen toplam birim sayısının, kümelerdeki toplam eleman sayısına bölünmesi ağırlıklandırılmış oran tahminini verir.

3

Varyans hesabı için kümelerin ortalama büyüklüğünün (

\bar{M}

) ve

y_i = a_i - \hat{P}M_i

değerlerinin hesaplanması.

\bar{M} = \frac{250}{5} = 50

.

y_i

değerleri sırasıyla:

24 - 0,8(40) = -8

;

34 - 32 = 2

;

40 - 40 = 0

;

50 - 48 = 2

;

52 - 48 = 4

.

Varyans formülünde kümeler arası değişim, oran tahminine göre düzeltilmiş hata terimleri (

y_i

) üzerinden bulunur.

4

Örneklem varyansının (

s_c^2

) hesaplanması.

\sum y_i^2 = (-8)^2 + 2^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2 = 64 + 4 + 0 + 4 + 16 = 88

.

s_c^2 = \frac{88}{5-1} = 22

.

s_c^2 = \frac{\sum (a_i - \hat{P}M_i)^2}{n-1}

formülü kullanılarak küme içi kareler toplamı elde edilir.

5

SKD (Sonlu Kitle Düzeltme) çarpanının ve varyansın hesaplanması.

f = \frac{5}{50} = 0,1

ve

SKD = 1 - 0,1 = 0,9

.

\hat{V}(\hat{P}) = \frac{0,9}{5 \times 50^2} \times 22 = \frac{0,9}{12500} \times 22 = 0,001584

.

Küme örneklemesinde oran tahmininin varyansı

\hat{V}(\hat{P}) = \frac{1-f}{n \bar{M}^2} s_c^2

formülü ile bulunur.

Key Concept

Küme Örneklemesinde Oran Tahmini ve Varyansı

Estimated Time:2m 0s

Question 11Question →

Bir İl Kültür ve Turizm Müdürlüğü, il genelinde bulunan $N = 40$ halk kütüphanesindeki (küme) kitapların yıpranma durumunu incelemek ve onarım (ciltleme) gerektiren kitapların oranını tahmin etmek istemektedir.

Bu amaçla rastgele $n = 4$ kütüphane seçilmiş ve bu kütüphanelerdeki toplam kitap sayıları ( $M_i$ ) ile onarım gerektiren kitap sayıları ( $a_i$ ) aşağıdaki gibi tespit edilmiştir:

Kütüphane ( $i$ )	Toplam Kitap Sayısı ( $M_i$ )	Onarım Gerektiren Kitap Sayısı ( $a_i$ )
1	400	60
2	600	60
3	200	60
4	800	120

Buna göre, il genelindeki halk kütüphanelerinde onarım gerektiren kitap oranının tahmini ( $\hat{P}$ ) ve bu tahminin varyansı ( $V(\hat{P})$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

0,150

ve

0,000540

0,150

ve

0,000600

0,175

ve

0,000540

0,175

ve

0,001688

0,150

ve

0,000405

Show answer & explanation

Answer: $0,150$ ve $0,000540$

Answer

İl genelindeki kütüphanelerdeki kitaplar için onarım gerektiren kitap oranının tahmini

0,150

ve bu tahminin varyansı

0,000540

'tır.

Küme örneklemesinde eleman sayıları farklı (

M_i

) olduğunda kitle oranın tahmini ağırlıklı bir şekilde

\hat{P} = \frac{\sum a_i}{\sum M_i}

formülüyle hesaplanır ve

300/2000 = 0,150

bulunur. Varyans hesabında ise kümeler arası değişim dikkate alınarak

s_c^2 = \frac{\sum (a_i - \hat{P}M_i)^2}{n-1} = \frac{1800}{3} = 600

bulunur ve sonlu kitle düzeltme çarpanı (

1-f

) eklenerek

V(\hat{P}) = \frac{1-f}{n\bar{M}^2} s_c^2 = \frac{0,9}{4 \times 250000} \times 600 = 0,000540

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Örneklemdeki toplam kitap sayısını (

\sum M_i

) ve toplam onarım gerektiren kitap sayısını (

\sum a_i

) hesaplayın.

\sum M_i = 400 + 600 + 200 + 800 = 2000

\sum a_i = 60 + 60 + 60 + 120 = 300

Küme örneklemesinde oran tahmini, gözlem birimlerinin toplam sayısına göre ağırlıklandırılarak bulunur.

2

Kitle oranının tahminini (

\hat{P}

) hesaplayın.

\hat{P} = \frac{\sum a_i}{\sum M_i} = \frac{300}{2000} = 0,150

Kümeler farklı büyüklükte olduğu için basit ortalama yerine yığınsal (oran) tahminleyici kullanılmalıdır.

3

Varyans hesabında kullanılacak kümeler arası değişim için

a_i - \hat{P}M_i

sapmalarını bulun ve kareleri toplamını hesaplayın.

1. Küme:

60 - 0,15(400) = 60 - 60 = 0 \implies 0^2 = 0

2. Küme:

60 - 0,15(600) = 60 - 90 = -30 \implies (-30)^2 = 900

3. Küme:

60 - 0,15(200) = 60 - 30 = 30 \implies 30^2 = 900

4. Küme:

120 - 0,15(800) = 120 - 120 = 0 \implies 0^2 = 0

Kareler Toplamı =

0 + 900 + 900 + 0 = 1800

Küme örneklemesinde oran varyansı, her bir kümenin hedeflenen orandan ne kadar saptığını ölçen artıklar üzerinden bulunur.

4

Sapma kareleri üzerinden

s_c^2

değerini hesaplayın.

s_c^2 = \frac{\sum (a_i - \hat{P}M_i)^2}{n - 1} = \frac{1800}{4 - 1} = \frac{1800}{3} = 600

Örneklem üzerinden hesaplanan kümeler arası varyans tahmini, serbestlik derecesine (

n-1

) bölünerek elde edilir.

5

Sonlu kitle düzeltme çarpanını (

1-f

) ve ortalama küme büyüklüğünü (

\bar{M}

) kullanarak varyans tahminini (

V(\hat{P})

) hesaplayın.

f = \frac{n}{N} = \frac{4}{40} = 0,1 \implies 1 - f = 0,9

\bar{M} = \frac{\sum M_i}{n} = \frac{2000}{4} = 500

V(\hat{P}) = \frac{1-f}{n\bar{M}^2} s_c^2 = \frac{0,9}{4 \times 500^2} \times 600 = \frac{0,9}{1.000.000} \times 600 = \frac{540}{1.000.000} = 0,000540

N=40 bilindiği için fpc uygulanmalıdır ve oranın varyansı küme büyüklüklerinin karesiyle ters orantılıdır.

Key Concept

Farklı Büyüklüklü Kümelerde Oran Tahmini ve Varyansı

Alternative Method

Varyans hesabında

a_i - \hat{P}M_i

farklarının karesini almak yerine,

p_i = a_i/M_i

alt oranlarını hesaplayıp formülü

M_i^2 (p_i - \hat{P})^2

şeklinde dönüştürerek de aynı

s_c^2

sonucuna ulaşılabilir.

Küme Örneklemesinde Oran Tahmini

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method