Oran ve Regresyon Tahminleyicileri Practice Questions — KPSS İstatistik — Page 2

Question 21Question →

Bir kitledeki ilgilenilen değişken ( $y$ ) ile yardımcı değişken ( $x$ ) arasındaki korelasyon katsayısının $\rho = 0,80$ olduğu bilinmektedir. $N = 2000$ birimlik bu kitleden $n = 200$ birimlik bir örneklem iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçilmiştir. İlgilenilen değişkenin kitle varyansı $S_y^2 = 500$ olduğuna göre, kitle ortalamasının regresyon tahminleyicisinin ( $\bar{y}_{reg}$ ) yaklaşık varyansı kaçtır?

0,81

0,90

2,25

0,45

1,44

Show answer & explanation

Answer: 0,81

Answer

Regresyon tahminleyicisinin yaklaşık varyansı

0,81

olarak hesaplanır.

Regresyon tahminleyicisinin varyansı

V(\bar{y}_{reg}) \approx \frac{1-f}{n} S_y^2 (1 - \rho^2)

formülüyle hesaplanır. Verilen değerler yerine konulduğunda

0,90/200 \times 500 \times (1 - 0,64)

işlemi bizi

0,81

sonucuna ulaştırır. Bu tahminleyici, basit rastgele örneklemeye göre %36 oranında daha etkindir.

Step-by-Step Solution

1

Örnekleme kesrini (

f

) ve Sonlu Kitle Düzeltme (SKD) çarpanını hesaplayın.

f = \frac{n}{N} = \frac{200}{2000} = 0,10

; SKD çarpanı:

1 - f = 1 - 0,10 = 0,90

İadesiz seçim yapıldığından sonlu kitle düzeltmesi varyans hesabına dahil edilmelidir.

2

Basit rastgele örnekleme altındaki kitle ortalaması tahminleyicisinin varyansını (

V(\bar{y})

) hesaplayın.

V(\bar{y}) = \frac{1-f}{n} S_y^2 = \frac{0,90}{200} \times 500 = 0,90 \times 2,5 = 2,25

Regresyon tahminleyicisinin varyansı, basit rastgele örnekleme varyansı üzerinden türetilir.

3

Regresyon tahminleyicisinin yaklaşık varyans formülünü uygulayın.

V(\bar{y}_{reg}) \approx V(\bar{y}) \times (1 - \rho^2) = 2,25 \times (1 - 0,80^2)

Regresyon tahminleyicisi, yardımcı değişkenle olan korelasyon ölçüsünde varyansı azaltır.

4

Nihai matematiksel işlemi gerçekleştirin.

2,25 \times (1 - 0,64) = 2,25 \times 0,36 = 0,81

Sonuç, regresyon tahminleyicisinin varyans değeridir.

Key Concept

Regresyon tahminleyicisinin varyansı, ilgilenilen değişken ile yardımcı değişken arasındaki korelasyonun karesi oranında basit rastgele örnekleme varyansından daha düşüktür.

Estimated Time:1m 30s

Question 22Question →

Basit rastgele örnekleme yönteminde, kitle oranını ( $R$ ) tahmin etmek amacıyla kullanılan $\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}}$ oran tahminleyicisinin yanlılığı ve varyansı (hata karesi ortalaması) ile ilgili özellikler dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Oran tahminleyicisi genellikle yanlı bir tahminleyicidir; ancak örneklem hacmi (

n

) arttıkça bu yanlılık azalır ve tahminleyici asimptotik olarak yansız hale gelir.

Oran tahminleyicisi, örneklem hacminden bağımsız olarak her zaman kitle parametresi (

R

) için tam yansız (unbiased) bir tahmin edicidir.

İadesiz basit rastgele örnekleme kullanıldığında, oran tahminleyicisinin varyans formülünde sonlu kitle düzeltme çarpanı (

1-f

) kullanılmaz.

Yardımcı değişken (

x

) ile ilgilenilen değişken (

y

) arasındaki korelasyon katsayısı (

\rho

) arttıkça, oran tahminleyicisinin varyansı da her zaman artış gösterir.

Oran tahminleyicisinin yanlılığı sadece kitledeki birim sayısına (

N

) bağlıdır ve örneklem hacmindeki değişimlerden etkilenmez.

Show answer & explanation

Answer: Oran tahminleyicisi genellikle yanlı bir tahminleyicidir; ancak örneklem hacmi ( $n$ ) arttıkça bu yanlılık azalır ve tahminleyici asimptotik olarak yansız hale gelir.

Answer

Oran tahminleyicisi genellikle yanlıdır ve büyük örneklemlerde bu yanlılık azalmaktadır.

Oran tahminleyicisi (

\hat{R}

), pay ve paydasındaki değerlerin her ikisi de örneklemden örnekleme değişen rassal değişkenler olduğu için matematiksel olarak yanlı bir tahminleyicidir. Ancak istatistiksel literatürde bu tahminleyicinin yanlılığı örneklem hacmi (

n

) arttıkça azalmakta ve büyük örneklemlerde ihmal edilebilir bir düzeye inmektedir. Bu durum, tahminleyicinin 'asimptotik olarak yansız' olduğu anlamına gelir.

Step-by-Step Solution

1

Tahminleyicinin yapısını incelemek

\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}}

İki rassal değişkenin oranının matematiksel beklentisinin (

E[\hat{R}]

), oranların beklentisine (

R = \frac{\bar{Y}}{\bar{X}}

) her zaman eşit olup olmadığını anlamak gerekir.

2

Yanlılık durumunu değerlendirmek

Bias(\hat{R}) \approx \frac{1-f}{n\bar{X}^2} (RS_x^2 - \rho S_x S_y)

Bu formül, tahminleyicinin örneklem hacmi (

n

) küçük olduğunda yanlı olduğunu, ancak

n

arttıkça paydadaki değer nedeniyle yanlılığın sıfıra yaklaştığını gösterir.

3

Varyans ve Hata Karesi Ortalaması (HKO) ilişkisini kurmak

HKO(\hat{R}) = V(\hat{R}) + [Bias(\hat{R})]^2

Büyük örneklemlerde yanlılığın karesi, varyansın yanında çok küçük kaldığı için varyans yaklaşık olarak HKO'ya eşit kabul edilir.

Key Concept

Oran tahminleyicisinin asimptotik yansızlığı ve varyans özellikleri

Hints

1

Oran tahminleyicisinin paydasındaki değişkenin de rassal olduğunu hatırlayın.

2

Büyük örneklem teorisine göre (Merkezi Limit Teoremi bağlamında) tahminleyicilerin davranışı nasıl değişir?

3

Yanlılık (Bias) formülündeki n çarpanının paydada yer alması, örneklem büyüdükçe yanlılığın nasıl değişeceğini gösterir.

Practice More

Regresyon tahminleyicisinin yansızlık ve varyans özelliklerini oran tahminleyicisi ile karşılaştırın.

Estimated Time:1m 30s

Question 23Question →

Basit rastgele örnekleme yönteminde, kitle ortalamasını tahmin etmek amacıyla yardımcı değişken ( $X$ ) kullanılarak geliştirilen oran ( $\bar{y}_R$ ) ve doğrusal regresyon ( $\bar{y}_{lr}$ ) tahminleyicilerinin etkinliği ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Doğrusal regresyon tahminleyicisinin varyansı, oran tahminleyicisinin varyansına her zaman eşit veya ondan küçüktür.

\rho < \frac{C_x}{2C_y}

koşulu sağlandığında oran tahminleyicisi, basit aritmetik ortalama tahminleyicisinden (

\bar{y}

) daha etkindir.

Oran tahminleyicisi, yardımcı değişken ile ilgilenilen değişken arasındaki ilişkinin orijinden geçmediği durumlarda regresyon tahminleyicisinden daha etkindir.

Regresyon tahminleyicisinin varyansı, yardımcı değişken ile ilgilenilen değişken arasındaki korelasyon (

\rho

) negatif olduğunda basit aritmetik ortalamanın varyansından daha büyüktür.

\rho = \frac{C_y}{2C_x}

olduğunda oran tahminleyicisi ve regresyon tahminleyicisi aynı varyansa sahiptir.

Show answer & explanation

Answer: Doğrusal regresyon tahminleyicisinin varyansı, oran tahminleyicisinin varyansına her zaman eşit veya ondan küçüktür.

Answer

Doğrusal regresyon tahminleyicisinin varyansı, oran tahminleyicisinin varyansına her zaman eşit veya ondan küçüktür.

Doğrusal regresyon tahminleyicisi, ilgilenilen değişken ile yardımcı değişken arasındaki doğrusal ilişkiyi en iyi açıklayan katsayıyı kullandığı için, bu ilişkiyi sabit bir oran (R) üzerinden modelleyen oran tahminleyicisinden her zaman daha etkin (veya eşit) sonuç verir. Matematiksel fark her zaman pozitif bir kare ifadedir.

Step-by-Step Solution

1

Tahminleyicilerin varyans (hata kareler ortalaması) formüllerini karşılaştırın.

\text{Var}(\bar{y}_{lr}) \approx \frac{1-f}{n} S_y^2 (1 - \rho^2)

ve

\text{Var}(\bar{y}_R) \approx \frac{1-f}{n} (S_y^2 + R^2 S_x^2 - 2R \rho S_x S_y)

olduğu bilinmektedir.

Etkinlik kıyaslaması yapmak için tahminleyicilerin varyans değerlerinin matematiksel yapısını anlamak gerekir.

2

Varyanslar arasındaki farkı inceleyin.

\text{Var}(\bar{y}_R) - \text{Var}(\bar{y}_{lr}) \approx \frac{1-f}{n} (R S_x - \rho S_y)^2

İki tahminleyici arasındaki varyans farkının tam kare bir ifadeye (her zaman

\geq 0

) dönüştürülebilmesi, birinin diğerinden her zaman daha etkin olduğunu gösterir.

3

Kesinlik sonucuna ulaşın.

Tam kare ifade sıfıra eşit veya büyük olduğundan, regresyon tahminleyicisinin varyansı her zaman oran tahminleyicisinden küçük veya eşittir.

Matematiksel olarak

(R S_x - \rho S_y)^2 \geq 0

olması, doğrusal regresyonun oran tahminleyicisinden daha az varyansa sahip olduğunu ispatlar.

Key Concept

Tahminleyicilerin Etkinlik Hiyerarşisi

Question 24Question →

Bir kamu kurumu araştırmasında, personelin hizmet içi eğitim puanları ( $y$ ) ile işe giriş sınavı puanları ( $x$ ) arasındaki korelasyon katsayısı $\rho = 0,60$ olarak belirlenmiştir. $N = 1000$ personelden oluşan bu kurumda, kitle ortalamasını tahmin etmek amacıyla $n = 100$ personel iadesiz basit rastgele örnekleme ile seçilmiştir. Eğitim puanlarının kitle varyansı $S_y^2 = 200$ olduğuna göre, kitle ortalaması için doğrusal regresyon tahminleyicisinin varyansı yaklaşık olarak kaçtır?

1,152

1,800

1,280

0,720

0,648

Show answer & explanation

Answer: $1,152$

Answer

Doğrusal regresyon tahminleyicisinin yaklaşık varyansı

1,152

olarak hesaplanır.

Doğrusal regresyon tahminleyicisinin varyansı, basit rastgele örnekleme varyansı ile kitle korelasyon katsayısına bağlı olan

(1-\rho^2)

ifadesinin çarpımına eşittir. Verilen değerler yerine konulduğunda

V(\bar{y}) = 1,8

ve

(1-\rho^2) = 0,64

bulunarak çarpım sonucunda

1,152

değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Örnekleme oranı (

f

) ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) hesaplanır.

f = \frac{100}{1000} = 0,10

;

SKD = 1 - 0,10 = 0,90

İadesiz seçim yapıldığı için kitle büyüklüğünün örnekleme hatası üzerindeki etkisi dikkate alınmalıdır.

2

Basit rastgele örnekleme altındaki kitle ortalaması tahminleyicisinin varyansı (

V(\bar{y})

) hesaplanır.

V(\bar{y}) = \frac{1-f}{n} S_y^2 = \frac{0,90}{100} \times 200 = 1,8

Regresyon tahminleyicisinin varyansını bulmak için temel alınan basit rastgele örnekleme varyansı başlangıç noktasıdır.

3

Doğrusal regresyon tahminleyicisinin yaklaşık varyansı (

V(\bar{y}_{reg})

) korelasyon katsayısı kullanılarak hesaplanır.

V(\bar{y}_{reg}) \approx V(\bar{y})(1-\rho^2) = 1,8 \times (1 - 0,60^2) = 1,8 \times 0,64 = 1,152

Yardımcı değişken ile ilgilenilen değişken arasındaki doğrusal ilişki (

\rho

), tahminleyicinin varyansını

(1-\rho^2)

oranında azaltarak tahmini daha etkin hale getirir.

Key Concept

Doğrusal Regresyon Tahminleyicisinin Varyansı

Estimated Time:1m 30s

Question 25Question →

Bir sanayi bölgesindeki fabrikaların yıllık üretim miktarları ( $y$ ) ile elektrik tüketimleri ( $x$ ) arasındaki ilişkiyi inceleyen bir araştırmacı, $N = 1000$ birimlik bir kitleden iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 100$ birimlik bir örneklem seçmiştir. Kitledeki üretim miktarlarına ait varyans $S_y^2 = 500$ ve iki değişken arasındaki korelasyon katsayısı $\rho = 0,60$ olarak belirlenmiştir. Bu verilere göre, kitle ortalamasının tahmini için kullanılan regresyon tahminleyicisinin yaklaşık varyansı ( $V(\bar{y}_{reg})$ ) kaçtır?

4,50

3,20

2,88

1,62

1,80

Show answer & explanation

Answer: 2,88

Answer

Regresyon tahminleyicisinin yaklaşık varyansı

2,88

olarak hesaplanır.

Regresyon tahminleyicisinin varyansı, basit rastgele örneklemede ortalamanın varyansının yardımcı değişken ile olan korelasyonun karesine bağlı olarak azaldığı formül olan

V(\bar{y}_{reg}) \approx \frac{1-f}{n} S_y^2 (1 - \rho^2)

ile bulunur. Verilen değerler yerine konduğunda

\frac{0,9}{100} \times 500 \times 0,64 = 2,88

sonucuna ulaşılmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Örnekleme oranının (

f

) ve sonlu kitle düzeltme çarpanının (

1-f

) belirlenmesi

f = \frac{n}{N} = \frac{100}{1000} = 0,10

ve

1-f = 1 - 0,10 = 0,90

İadesiz basit rastgele örneklemede varyans hesaplanırken kitle büyüklüğü sonlu olduğu için düzeltme çarpanı kullanılmalıdır.

2

Regresyon tahminleyicisinin varyans formülünün yazılması

V(\bar{y}_{reg}) \approx \frac{1-f}{n} S_y^2 (1 - \rho^2)

Regresyon tahminleyicisi, yardımcı değişkenle olan korelasyonu kullanarak varyansı

(1-\rho^2)

oranında düşürür.

3

Verilen değerlerin formülde yerine konulması

V(\bar{y}_{reg}) \approx \frac{0,90}{100} \times 500 \times (1 - 0,60^2)

Varyans ve korelasyon katsayısı değerleri analitik hesaplama için gereklidir.

4

Matematiksel işlemin sonuçlandırılması

V(\bar{y}_{reg}) \approx 0,009 \times 500 \times (1 - 0,36) = 4,5 \times 0,64 = 2,88

Basit aritmetik işlemlerle nihai varyans değerine ulaşılır.

Key Concept

Regresyon tahminleyicisinin varyansı, basit rastgele örnekleme varyansının

(1-\rho^2)

katıdır ve korelasyon arttıkça etkinlik artar.

Practice More

Regresyon tahminleyicisinin, oran tahminleyicisine göre hangi durumlarda daha etkin olduğunu tartışınız.

Alternative Method

Önce basit rastgele örnekleme varyansı

V(\bar{y}) = \frac{0,9 \times 500}{100} = 4,5

bulunur. Ardından bu değer, regresyonun sağladığı avantaj olan

(1-\rho^2)

ile çarpılır:

4,5 \times (1-0,36) = 4,5 \times 0,64 = 2,88

.

Estimated Time:1m 30s

Question 26Question →

Bir araştırmacı, iki farklı sosyo-ekonomik bölgeden (Kent ve Kırsal) oluşan bir kitlede hane halkı tüketim harcamasını ( $Y$ ) tahmin etmek amacıyla tabakalı örnekleme yöntemini kullanmıştır. Hane halkı büyüklüğü ( $X$ ) yardımcı değişken olarak belirlenmiş ve her iki tabaka için kitle ortalamaları bilinmektedir. Tabakalara ait veriler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka ( $h$ )	Ağırlık ( $W_h$ )	$\bar{y}_h$	$\bar{x}_h$	$\bar{X}_h$	$b_h$
Kent	$0,40$	$5000$	$4,2$	$4,0$	$800$
Kırsal	$0,60$	$3000$	$5,5$	$5,8$	$400$

Buna göre, ayrı regresyon tahminleyicisi (separate regression estimator) kullanılarak kitle ortalaması ( $\bar{y}_{lr,s}$ ) kaç olarak tahmin edilir?

3800

3808

3860

3936

3980

Show answer & explanation

Answer: 3808

Answer

Ayrı regresyon tahminleyicisi kullanılarak hesaplanan kitle ortalaması tahmini 3808'dir.

Doğru yanıt olan 3808 değeri, her iki tabaka için ayrı ayrı hesaplanan

\bar{y}_{lr,h} = \bar{y}_h + b_h(\bar{X}_h - \bar{x}_h)

değerlerinin kitledeki tabaka ağırlıklarıyla (0,40 ve 0,60) çarpılması sonucunda elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Kent tabakası için regresyon düzeltmesi yapılmış ortalamayı hesapla.

\bar{y}_{lr,1} = 5000 + 800(4,0 - 4,2) = 5000 - 160 = 4840

Ayrı regresyon tahminleyicisinde her tabakanın kendi regresyon katsayısı ve yardımcı değişken farkı kullanılarak düzeltme yapılır.

2

Kırsal tabaka için regresyon düzeltmesi yapılmış ortalamayı hesapla.

\bar{y}_{lr,2} = 3000 + 400(5,8 - 5,5) = 3000 + 120 = 3120

İkinci tabaka için de aynı regresyon düzeltme formülü uygulanır.

3

Tabaka ağırlıklarını kullanarak kitle ortalamasını tahmin et.

\bar{y}_{lr,s} = W_1 \bar{y}_{lr,1} + W_2 \bar{y}_{lr,2} = 0,40(4840) + 0,60(3120) = 1936 + 1872 = 3808

Tabakalı örneklemede genel tahmin, tabaka tahminlerinin kitledeki ağırlıklarıyla (Wh) çarpılmasıyla elde edilir.

Key Concept

Ayrı regresyon tahminleyicisi, her tabakanın regresyon katsayısının (bh) farklı olabileceği varsayımıyla, her tabaka için ayrı bir regresyon düzeltmesi yaparak bu değerleri tabaka ağırlıklarıyla birleştirir.

Question 27Question →

Bir tarım bölgesinde bulunan $N = 400$ adet elma bahçesinin toplam elma üretimini ( $y$ ) tahmin etmek amacıyla bir araştırma planlanmıştır. Bahçe büyüklüğü ( $x$ ) yardımcı değişken olarak kullanılmış ve bölgedeki tüm bahçelerin toplam alanının $8000$ dekar olduğu saptanmıştır. $n = 40$ bahçeden oluşan bir basit rastgele örneklem seçilerek elde edilen özet istatistikler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

İstatistik / Parametre	Değer
Örneklem Ortalama Üretim ( $\bar{y}$ )	$1500$ kg
Örneklem Ortalama Alan ( $\bar{x}$ )	$22$ dekar
Regresyon Katsayısı ( $b$ )	$60$

Buna göre, regresyon tahminleyicisi kullanılarak bölgedeki toplam elma üretimi ( $\hat{Y}_{reg}$ ) kaç kg olarak tahmin edilir?

552.000

600.000

545.455

648.000

1.380

Show answer & explanation

Answer: 552.000

Answer

Regresyon tahminleyicisi kullanılarak hesaplanan kitle toplamı tahmini 552.000 kg'dır.

Doğru yanıt olan 552.000 değeri, önce kitle ortalamasının

\bar{y}_{reg} = 1500 + 60(20 - 22) = 1380

olarak bulunması ve ardından bu değerin kitle büyüklüğü olan

400

ile çarpılmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Yardımcı değişkenin kitle ortalamasını (

\bar{X}

) hesaplayın.

\bar{X} = \frac{X_{toplam}}{N} = \frac{8000}{400} = 20

dekar

Regresyon tahminleyicisi formülünde kitle ortalaması parametresine ihtiyaç duyulur.

2

Kitle ortalaması için regresyon tahminini (

\bar{y}_{reg}

) hesaplayın.

\bar{y}_{reg} = \bar{y} + b(\bar{X} - \bar{x}) = 1500 + 60(20 - 22) = 1500 - 120 = 1380

kg

Regresyon tahminleyicisi, örneklem ortalamasını yardımcı değişkenin sapmasına göre düzeltir.

3

Kitle toplamı tahminine (

\hat{Y}_{reg}

) ulaşmak için ortalama tahminini kitle büyüklüğü ile çarpın.

\hat{Y}_{reg} = N \times \bar{y}_{reg} = 400 \times 1380 = 552.000

kg

Kitle toplamı, kitle büyüklüğü ile kitle ortalaması tahmininin çarpımına eşittir.

Key Concept

Regresyon tahminleyicisi, ilgilenilen değişken ile yardımcı değişken arasındaki doğrusal ilişkiyi kullanarak kitle parametrelerini daha etkin bir şekilde tahmin etmemizi sağlar.

Estimated Time:1m 30s

Question 28Question →

Örnekleme teorisinde yardımcı değişken bilgisinden yararlanılarak oluşturulan oran tahminleyicisi ( $\hat{R}$ ), her zaman kitle parametresini tam olarak yansıtmayabilir. Bu tahminleyicinin yanlılık (yanlılık) ve hata karesi ortalaması (HKO) bileşenleri arasındaki ilişki ve genel özellikleri düşünüldüğünde, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Oran tahminleyicisi, örneklem hacmi ne olursa olsun kitle oranı (

R

) için her zaman yansız bir tahminleyicidir.

Tahminleyicinin yanlılığı yaklaşık olarak

1/n

ile orantılıdır ve örneklem hacmi arttıkça bu yanlılık ihmal edilebilir düzeye iner.

Hata karesi ortalaması hesaplanırken iadesiz seçimde kullanılan sonlu kitle düzeltme çarpanı (

1-f

), varyansı etkilemez.

Yardımcı değişken (

X

) ile ilgilenilen değişken (

Y

) arasındaki korelasyon katsayısı sıfır olduğunda, oran tahminleyicisi en etkin sonucu verir.

Tahminleyicinin yanlılığı, sadece veri toplama aşamasındaki ölçüm hataları gibi örnekleme dışı hatalardan kaynaklanır.

Show answer & explanation

Answer: Tahminleyicinin yanlılığı yaklaşık olarak $1/n$ ile orantılıdır ve örneklem hacmi arttıkça bu yanlılık ihmal edilebilir düzeye iner.

Answer

Tahminleyicinin yanlılığının yaklaşık olarak örneklem hacmiyle (

n

) ters orantılı olduğu ve büyük örneklemlerde ihmal edilebileceğini belirten ifade doğrudur.

Doğru olan ifade, oran tahminleyicisinin yanlılığının örneklem hacmi (

n

) ile ters orantılı (

1/n

) olduğunu ve örneklem hacmi büyüdükçe bu yanlılığın azalarak ihmal edilebilir bir seviyeye geldiğini belirtmektedir. Bu özellik literatürde 'asimptotik yansızlık' olarak adlandırılır.

Step-by-Step Solution

1

Oran tahminleyicisinin tanımını hatırla.

\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}}

Tahminleyicinin yapısını anlamak, yanlılık ve varyans özelliklerini belirlemek için gereklidir.

2

Tahminleyicinin yanlılık özelliğini analiz et.

Bias(\hat{R}) \approx \frac{1-f}{n\bar{X}^2} (R S_x^2 - \rho S_x S_y)

Yanlılık terimi formülde görüldüğü üzere

1/n

ile orantılıdır, bu da büyük örneklemlerde yanlılığın azaldığını gösterir.

3

Hata Karesi Ortalaması (HKO) ve varyans ilişkisini kur.

HKO(\hat{R}) = V(\hat{R}) + [Bias(\hat{R})]^2

Oran tahminleyicisi yanlı olduğu için toplam hata HKO üzerinden ölçülür ancak büyük örneklemlerde yanlılık karesi varyansa göre çok küçük kalır.

Key Concept

Oran tahminleyicisi asimptotik olarak yansız bir tahminleyicidir ve yanlılığı örneklem hacmi (

n

) arttıkça

1/n

oranında azalır.

Practice More

Oran tahminleyicisinin hangi korelasyon düzeyinde (

\rho > C_x / 2C_y

) basit aritmetik ortalamadan daha etkin olduğunu inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 29Question →

Örnekleme teorisinde, yardımcı değişken bilgisinden yararlanılarak oluşturulan oran tahminleyicisinin ( $\hat{R} = \bar{y}/\bar{x}$ ) yanlılığı ve varyansı (Hata Karesi Ortalaması) ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Büyük örneklemlerde oran tahminleyicisinin yanlılığı standart hatadan daha hızlı küçüldüğü için Hata Karesi Ortalaması varyansa yaklaşık olarak eşittir.

Oran tahminleyicisi, değişkenler arasındaki ilişki ne olursa olsun küçük örneklemlerde de her zaman yansız (unbiased) bir tahminleyicidir.

İadesiz basit rastgele örneklemede oran tahminleyicisinin varyansı hesaplanırken sonlu kitle düzeltme çarpanının (SKD) kullanılması gerekmez.

Oran tahminleyicisinin Hata Karesi Ortalaması, varyans ile yanlılığın mutlak değerinin toplamına eşittir.

Oran tahminleyicisinin varyansı sadece ilgilenilen değişkenin (

y

) varyansına bağlıdır ve yardımcı değişkenin (

x

) varyansından bağımsızdır.

Show answer & explanation

Answer: Büyük örneklemlerde oran tahminleyicisinin yanlılığı standart hatadan daha hızlı küçüldüğü için Hata Karesi Ortalaması varyansa yaklaşık olarak eşittir.

Answer

Büyük örneklemlerde oran tahminleyicisinin yanlılığı standart hatadan daha hızlı küçüldüğü için Hata Karesi Ortalaması varyansa yaklaşık olarak eşittir.

Oran tahminleyicisi (

\\hat{R}

) yanlı bir tahminleyici olmasına rağmen, asimptotik olarak yansızdır. Örneklem hacmi (

n

) arttıkça, yanlılık

1/n

mertebesinde azalırken varyans

1/n

ve standart hata

1/\\sqrt{n}

mertebesinde azalır. Bu durum, büyük örneklemlerde yanlılığın standart hataya oranla çok daha küçük kalmasına ve Hata Karesi Ortalaması'nın (

MSE = Var + Bias^2

) yaklaşık olarak varyansa eşit kabul edilmesine olanak tanır.

Step-by-Step Solution

1

Oran tahminleyicisinin yanlılık (bias) özelliğinin tanımlanması

Bias(\hat{R}) \approx O(1/n)

Oran tahminleyicisi genellikle yanlıdır ve bu yanlılık örneklem hacmi ile ters orantılıdır.

2

Hata Karesi Ortalaması (HKO) ve Varyans arasındaki ilişkinin belirlenmesi

HKO(\hat{R}) = Varyans(\hat{R}) + [Yanlılık(\hat{R})]^2

MSE tanımı gereği varyans ve yanlılık karesinin toplamından oluşur.

3

Asimptotik durumun analiz edilmesi

n \rightarrow \infty

iken

[Yanlılık]^2

değeri

1/n^2

hızında sıfıra yaklaşırken Varyans

1/n

hızında yaklaşır.

Yanlılığın karesi, varyanstan çok daha hızlı küçüldüğü için büyük örneklemlerde ihmal edilebilir ve

HKO \approx Varyans

olur.

Key Concept

Oran tahminleyicisinin asimptotik yansızlığı ve Hata Karesi Ortalaması bileşenleri

Practice More

Regresyon tahminleyicisinin varyansı ile oran tahminleyicisinin varyansını hangi korelasyon koşullarında karşılaştırmak gerektiğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 30Question →

Örnekleme teorisinde, ilgilenilen ana değişken ( $Y$ ) ile ilişkili olan ve kitle ortalaması ( $\bar{X}$ ) veya kitle toplamı ( $X$ ) tam olarak bilinen yardımcı bir değişkenin ( $X$ ) oran veya regresyon tahminleyicilerinde kullanılmasının temel amacına ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Yardımcı değişken ile ana değişken arasındaki korelasyonun yüksek olması durumunda, tahminleyicinin varyansını küçülterek tahminin etkinliğini artırmak.

Yardımcı değişkenin sadece örneklem değerlerini kullanarak, kitle parametrelerinin bilinmediği durumlarda yansız bir oran tahmini gerçekleştirmek.

Araştırma sürecinde ortaya çıkabilecek çerçeve hatası ve cevapsızlık gibi örnekleme dışı hataların etkisini tamamen ortadan kaldırmak.

Tahminleme sürecinde yardımcı değişken ile ilgilenilen değişken arasında zayıf bir doğrusal ilişki bulunmasını sağlayarak modelin karmaşıklığını azaltmak.

Yardımcı değişkeni sadece örnekleme birimlerini listelemek ve çerçeveyi oluşturmak için kullanıp tahmin formüllerine dahil etmemek.

Show answer & explanation

Answer: Yardımcı değişken ile ana değişken arasındaki korelasyonun yüksek olması durumunda, tahminleyicinin varyansını küçülterek tahminin etkinliğini artırmak.

Answer

Yardımcı değişken ile ana değişken arasındaki korelasyonun yüksek olması durumunda, tahminleyicinin varyansını küçülterek tahminin etkinliğini artıran ifade doğrudur.

Yardımcı değişken (

X

) kullanımının temel amacı, ilgilenilen ana değişken (

Y

) ile arasındaki yüksek korelasyondan yararlanarak tahmin edicinin varyansını azaltmaktır. Bu sayede, aynı örneklem hacmiyle daha düşük standart hataya sahip, yani daha etkin (efficient) tahminler elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Yardımcı değişken (

X

) ve ilgilenilen değişken (

Y

) arasındaki ilişkiyi tanımla.

X

ve

Y

arasında yüksek bir korelasyon (

\rho

) olmalıdır.

Tahminleyicinin varyansı bu korelasyon miktarına bağlı olarak azalır.

2

Yardımcı değişkenin kitle bilgisini kontrol et.

\bar{X}

(kitle ortalaması) veya

X

(kitle toplamı) bilinmelidir.

Oran (

R = \bar{y}/\bar{x}

) veya regresyon tahminleyicisi bu bilinen parametreyi kullanarak örneklem sonucunu düzeltir.

3

Kullanım amacını belirle.

Tahminleyicinin varyansı

Var(\hat{\theta})

küçülür.

Varyansın küçülmesi, tahminin daha etkin ve hassas olması anlamına gelir.

Key Concept

Örnekleme araştırmalarında yardımcı değişken kullanımı, ek bilgi (prior knowledge) yoluyla örnekleme hatasını (varyansı) azaltarak tahminin etkinliğini artırmayı amaçlar.

Question 31Question →

Bir ilçede mısır üretimi yapan $N = 400$ işletmenin toplam arazi büyüklüğü $\tau_x = 40.000$ dekar olarak bilinmektedir. Bu işletmeler arasından iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçilen $n = 40$ işletme üzerinde yapılan bir araştırmada; örneklemdeki toplam arazi büyüklüğü $\sum x_i = 4.800$ dekar ve toplam mısır üretimi $\sum y_i = 1.200$ ton olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, oran tahminleyicisi yöntemi kullanılarak bu ilçedeki toplam mısır üretimi tahmini kaç tondur?

10.000

12.000

25

1.000

160.000

Show answer & explanation

Answer: 10.000

Answer

Oran tahminleyicisi kullanılarak yapılan kitle toplamı tahmini 10.000 tondur.

Doğru cevap olan 10.000 değeri; örneklemdeki mısır üretiminin arazi büyüklüğüne oranı olan 0,25 katsayısının, ilçedeki toplam arazi büyüklüğü olan 40.000 ile çarpılması sonucunda elde edilir (

\hat{\tau}_R = 0,25 \times 40.000

).

Step-by-Step Solution

1

Örneklem verilerinden hareketle oran katsayısını (

\hat{R}

) hesaplayın.

\hat{R} = \frac{\sum y_i}{\sum x_i} = \frac{1.200}{4.800} = 0,25

Oran tahminleyicisi, ilgilenilen değişken ile yardımcı değişken arasındaki doğrusal ilişkiyi bu katsayı üzerinden kurar.

2

Bilinen kitle toplam yardımcı değişken değerini (

\tau_x

) belirleyin.

\tau_x = 40.000

dekar

Kitle toplam tahmini için kitleye ait toplam yardımcı değişken bilgisine ihtiyaç duyulur.

3

Oran katsayısını kitle toplam değeri ile çarparak kitle toplam tahminini (

\hat{\tau}_R

) bulun.

\hat{\tau}_R = \hat{R} \times \tau_x = 0,25 \times 40.000 = 10.000

ton

Örneklemden elde edilen oran ilişkisi, tüm kitleye genellenerek toplam üretim tahmin edilir.

Key Concept

Oran tahminleyicisi, yardımcı değişken (

x

) ile ilgilenilen değişken (

y

) arasında orijinden geçen doğrusal bir ilişki ve güçlü bir korelasyon olduğunda basit rastgele örneklemeye göre daha etkin sonuçlar verir.

Estimated Time:1m 30s

Question 32Question →

Kitle ortalamasının tahmininde yardımcı değişken ( $x$ ) bilgisinden yararlanan oran tahminleyicisi ( $\bar{y}_R$ ) kullanılmak istenmektedir. İlgilenilen değişken ( $y$ ) ile yardımcı değişken ( $x$ ) arasındaki korelasyon katsayısı $\rho$ , bu değişkenlere ait değişim katsayıları ise sırasıyla $C_y$ ve $C_x$ ile gösterilmektedir. Bu durumda, oran tahminleyicisinin basit aritmetik ortalama tahminleyicisine ( $\bar{y}$ ) göre istatistiksel olarak daha etkin (daha küçük varyanslı) bir sonuç verebilmesi için sağlanması gereken temel koşul aşağıdakilerden hangisidir?

\rho > \frac{C_y}{2C_x}

\rho > \frac{2C_x}{C_y}

\rho > 0,5

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

\rho > \frac{C_x}{C_y}

Show answer & explanation

Answer: $\rho > \frac{C_x}{2C_y}$

Answer

Oran tahminleyicisinin daha etkin olması için korelasyon katsayısının, yardımcı değişkenin değişim katsayısının ilgilenilen değişkenin değişim katsayısının iki katına oranından büyük olması (

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

) gerekir.

Oran tahminleyicisi, ilgilenilen değişken ile yardımcı değişken arasında güçlü ve pozitif bir doğrusal ilişki olduğunda etkindir. Matematiksel olarak

V(\bar{y}_R) < V(\bar{y})

eşitsizliği çözüldüğünde, korelasyon katsayısının

\frac{C_x}{2C_y}

değerinden büyük olması gerektiği sonucuna varılır.

Step-by-Step Solution

1

Tahminleyicilerin varyans formülleri arasındaki ilişkiyi kurun.

V(\bar{y}_R) < V(\bar{y})

koşulu incelenmelidir.

Etkinlik, bir tahminleyicinin diğerine göre daha küçük varyansa sahip olması durumudur.

2

Oran tahminleyicisinin yaklaşık varyans formülünü açın.

\frac{1-f}{n} (S_y^2 + R^2 S_x^2 - 2R \rho S_y S_x) < \frac{1-f}{n} S_y^2

Varyansların karşılaştırılabilmesi için Taylor serisi genişlemesi ile elde edilen yaklaşık varyans ifadesi kullanılır.

3

Eşitsizliği sadeleştirerek korelasyon katsayısını yalnız bırakın.

R^2 S_x^2 < 2R \rho S_y S_x \Rightarrow R S_x < 2 \rho S_y \Rightarrow \frac{\bar{Y}}{\bar{X}} S_x < 2 \rho S_y \Rightarrow \frac{S_x/\bar{X}}{S_y/\bar{Y}} < 2 \rho \Rightarrow \rho > \frac{C_x}{2C_y}

R = \bar{Y}/\bar{X}

ve

C = S/\text{ortalama}

tanımları kullanılarak nihai koşula ulaşılır.

Key Concept

Oran Tahminleyicisi Etkinlik Koşulu

Hints

1

Oran tahminleyicisinin varyans formülünü, basit aritmetik ortalamanın varyans formülüyle karşılaştırın.

2

Eşitsizliği sadeleştirirken yardımcı değişken ve ilgilenilen değişkenin değişim katsayılarını (

C = S/\text{ortalama}

) yalnız bırakmaya çalışın.

Practice More

Regresyon tahminleyicisinin her zaman oran tahminleyicisinden daha etkin olup olmadığını ve hangi durumda bu iki tahminleyicinin birbirine eşitlendiğini araştırın.

Estimated Time:1m 30s

Question 33Question →

Bir tarım kuruluşu, iki farklı bölgeden (Tabaka 1 ve Tabaka 2) oluşan bir kitlede ortalama ürün verimini ( $Y$ ) tahmin etmek istemektedir. Geçmiş yıllara ait verim değerleri ( $X$ ) yardımcı değişken olarak kullanılmıştır. Aşağıdaki tabloda bu iki tabakaya ilişkin örneklem ve kitle bilgileri verilmiştir:

Değişken	Tabaka 1 ( $h=1$ )	Tabaka 2 ( $h=2$ )
Tabaka Ağırlığı ( $W_h$ )	$0,60$	$0,40$
Örneklem Ortalaması ( $\bar{y}_h$ )	$50$	$70$
Örneklem Ortalaması ( $\bar{x}_h$ )	$40$	$60$
Kitle Ortalaması ( $\bar{X}_h$ )	$45$	$65$
Regresyon Katsayısı ( $b_h$ )	$0,80$	$1,20$

Buna göre, tabakalı örnekleme yönteminde ayrı regresyon tahminleyicisi ( $\bar{y}_{ls}$ ) kullanılarak kitle ortalaması tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

62,8

58,0

65,0

63,2

60,4

Show answer & explanation

Answer: $62,8$

Answer

Ayrı regresyon tahminleyicisi kullanılarak hesaplanan kitle ortalaması tahmini

62,8

'dir.

Ayrı regresyon tahminleyicisi formülü

\bar{y}_{ls} = \sum W_h [\bar{y}_h + b_h(\bar{X}_h - \bar{x}_h)]

şeklindedir. Tabaka 1 için

54

, Tabaka 2 için

76

değerleri bulunur. Bu değerlerin ağırlıklı toplamı olan

62,8

doğru tahmindir.

Step-by-Step Solution

1

Her bir tabaka için ayrı regresyon tahmini (

\bar{y}_{lh}

) değerlerini hesaplayın.

Tabaka 1:

\bar{y}_{l1} = 50 + 0,8(45 - 40) = 54

; Tabaka 2:

\bar{y}_{l2} = 70 + 1,2(65 - 60) = 76

Ayrı regresyon tahminleyicisinde her tabakanın kendi regresyon katsayısı kullanılarak o tabaka için düzeltilmiş bir ortalama bulunur.

2

Tabakalardan elde edilen bu tahminleri kitledeki tabaka ağırlıklarıyla (

W_h

) çarpın.

0,6 \times 54 = 32,4

ve

0,4 \times 76 = 30,4

Kitle geneline ulaşmak için tabaka bazlı tahminlerin kitle içindeki temsil oranlarıyla (ağırlıklarla) birleştirilmesi gerekir.

3

Ağırlıklı değerleri toplayarak kitle ortalaması tahminine (

\bar{y}_{ls}

) ulaşın.

32,4 + 30,4 = 62,8

Ayrı regresyon tahminleyicisi, tabaka bazlı tahminlerin toplam ağırlıklı sonucudur.

Key Concept

Tabakalı örneklemede ayrı regresyon tahminleyicisi, her tabakanın kendi regresyon katsayısı (

b_h

) kullanılarak hesaplanan tahminlerin ağırlıklı toplamıdır.

Hints

1

Önce her tabaka için kendi verilerini kullanarak

\bar{y}_h + b_h(\bar{X}_h - \bar{x}_h)

formülünü uygulayın.

2

Ayrı regresyon tahminleyicisinde tabakaların regresyon katsayıları (

b_1, b_2

) birbirinden farklıdır ve her biri kendi tabakasına uygulanır.

Practice More

Aynı verilerle 'Birleşik Regresyon Tahminleyicisi' (Combined Regression Estimator) hesaplamasını deneyerek farkı gözlemleyin.

Estimated Time:1m 30s

Question 34Question →

Bir zeytin üreticileri birliği, üyelerinin sahip olduğu toplam zeytin ağacı sayısı ( $X$ ) ile yıllık zeytinyağı üretim miktarları ( $Y$ ) arasındaki kitle oranını ( $R = Y/X$ ) tahmin etmek istemektedir. Birliğe kayıtlı $N = 500$ üretici bulunmaktadır. Basit rastgele örnekleme ile seçilen $n = 50$ üreticiden elde edilen özet veriler aşağıda verilmiştir:

* Örneklemdeki toplam zeytinyağı üretimi: $\sum y_i = 1000$ litre
* Örneklemdeki toplam ağaç sayısı: $\sum x_i = 200$ adet
* Tahmin edilen oran etrafındaki kalıntı kareler toplamı: $\sum (y_i - r x_i)^2 = 196$

Buna göre, kitle oranının tahmini ( $\hat{R}$ ) ve bu tahminin varyansının yaklaşık değeri $\hat{V}(\hat{R})$ aşağıdakilerden hangisidir?

5

ve

0,0045

5

ve

0,0050

0,2

ve

0,0045

5

ve

0,0180

5

ve

0,0044

Show answer & explanation

Answer: $5$ ve $0,0045$

Answer

Kitle oranının tahmini

5

ve bu tahminin varyansı

0,0045

olarak hesaplanmıştır.

Tahmin edilen kitle oranı

r = \sum y_i / \sum x_i

formülüyle

5

olarak bulunur. Varyans hesaplanırken

n/N = 0,10

olduğu için sonlu kitle düzeltme çarpanı olan

0,9

işleme dahil edilmelidir. Gerekli istatistikler yerine konulduğunda varyans

0,0045

çıkmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Kitle oran tahmin edicisinin (r) hesaplanması

r = \frac{\sum y_i}{\sum x_i} = \frac{1000}{200} = 5

Oran tahminleyicisi, iki değişkenin toplamlarının veya ortalamalarının birbirine oranıdır.

2

Yardımcı değişkenin örneklem ortalamasının hesaplanması

\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{200}{50} = 4

Varyans formülünde paydada ölçekleme birimi olarak yardımcı değişkenin ortalamasının karesi kullanılır.

3

Oran tahminleyicisi için örneklem varyansının (

s_r^2

) hesaplanması

s_r^2 = \frac{\sum (y_i - r x_i)^2}{n-1} = \frac{196}{49} = 4

Varyans tahmini için kalıntı kareler toplamı serbestlik derecesine bölünür.

4

Örnekleme oranının ve sonlu kitle düzeltme çarpanının (SKD) belirlenmesi

f = \frac{n}{N} = \frac{50}{500} = 0,1 \Rightarrow (1-f) = 0,9

n/N > 0,05

olduğu için iadesiz seçimde SKD kullanılmalıdır.

5

Tahmin edicinin varyansının hesaplanması

\hat{V}(r) = \frac{1-f}{n \bar{x}^2} s_r^2 = \frac{0,9}{50 \times 4^2} \times 4 = \frac{0,9 \times 4}{800} = \frac{3,6}{800} = 0,0045

Tüm bileşenler birleştirilerek oran tahminleyicisinin yaklaşık varyansına ulaşılır.

Key Concept

Oran Tahminleyicisinin Varyansı ve SKD Kullanımı

Question 35Question →

Bir kitledeki ilgilenilen değişken ( $y$ ) ile yardımcı değişken ( $x$ ) arasındaki korelasyon katsayısının $\rho = 0,60$ olduğu bilinmektedir. $N = 5000$ birimlik bu kitleden $n = 500$ birimlik bir örneklem iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçilmiştir. İlgilenilen değişkenin kitle varyansı $S_y^2 = 400$ olduğuna göre, kitle ortalaması için regresyon tahminleyicisinin yaklaşık varyansı kaçtır?

0,4608

0,5120

0,7200

0,2880

0,8000

Show answer & explanation

Answer: 0,4608

Answer

Regresyon tahminleyicisinin yaklaşık varyansı 0,4608'dir.

Regresyon tahminleyicisinin varyansı hesaplanırken önce iadesiz seçimden kaynaklanan sonlu kitle düzeltme çarpanı (

0,90

) uygulanarak basit rastgele örnekleme varyansı (

0,72

) bulunur. Ardından bu değer, değişkenler arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü temsil eden

(1-\rho^2)

çarpanı ile çarpılır.

\rho = 0,60

olduğu için bu çarpan

0,64

olur ve sonuç

0,72 \times 0,64 = 0,4608

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Örnekleme oranı (

f

) ve sonlu kitle düzeltme çarpanının (

SKD

) belirlenmesi.

f = \frac{n}{N} = \frac{500}{5000} = 0,10

ve

SKD = 1 - f = 1 - 0,10 = 0,90

İadesiz seçim yapıldığı için varyans hesaplamasına sonlu kitle düzeltmesi dahil edilmelidir.

2

Basit rastgele örnekleme varyansının (

V(\bar{y})

) hesaplanması.

V(\bar{y}) = \frac{1-f}{n} S_y^2 = \frac{0,90}{500} \times 400 = 0,72

Regresyon varyansı, basit rastgele örnekleme varyansı üzerinden bir düzeltme çarpanı ile hesaplanır.

3

Regresyon tahminleyicisi varyansının (

V(\bar{y}_{reg})

) hesaplanması.

V(\bar{y}_{reg}) \approx V(\bar{y}) \times (1 - \rho^2) = 0,72 \times (1 - 0,60^2) = 0,72 \times (1 - 0,36) = 0,72 \times 0,64 = 0,4608

Büyük örneklemlerde regresyon tahminleyicisinin varyansı, basit rastgele örnekleme varyansının

(1-\rho^2)

katına eşittir.

Key Concept

Regresyon Tahminleyicisinin Varyansı

Hints

1

İadesiz seçim yapıldığı için formüle

(1 - n/N)

çarpanını eklemeyi unutmayın.

2

Regresyon tahminleyicisinin varyansı, basit rastgele örnekleme varyansının

(1 - \rho^2)

katına yakındır.

3

Önce

0,90 \times 400 / 500

işlemini yapın, ardından bulduğunuz sonucu

1 - 0,36

ile çarpın.

Practice More

Korelasyon katsayısı 0,80 olsaydı varyanstaki azalma miktarı ne kadar daha fazla olurdu?

Estimated Time:1m 30s

Question 36Question →

Bir belediye, sınırları içerisindeki $N = 400$ mahallede toplanan aylık ortalama katı atık miktarının ( $Y$ ) mahallelerdeki toplam hane sayısına ( $X$ ) oranını tahmin etmek amacıyla bir araştırma planlamıştır. Basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçilen $n = 40$ mahalle üzerinden yapılan inceleme sonucunda aşağıdaki özet istatistikler elde edilmiştir:

İstatistik	Değer
Örneklemdeki toplam atık miktarı ( $\sum y_i$ )	$800$ ton
Örneklemdeki toplam hane sayısı ( $\sum x_i$ )	$2.000$ hane
Artıkların kareler toplamı [ $\sum (y_i - \hat{R}x_i)^2$ ]	$39.000$

Bu verilere göre, kitle oranının ( $\hat{R}$ ) tahmin edicisine ait varyans değeri aşağıdakilerden hangisidir?

0,009

0,010

0,045

0,400

0,090

Show answer & explanation

Answer: 0,009

Answer

Kitle oranı tahmini varyansı 0,009 olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan değer, kitle büyüklüğünün örnekleme oranına göre anlamlı olduğu durumlarda (

n/N=0,1

) uygulanması gereken sonlu kitle düzeltme çarpanı (

0,9

) ile birlikte, örneklem ortalamasının karesi (

50^2=2500

) ve hata kareler ortalamasının (

1000

) formülde doğru yerleştirilmesiyle elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Kitle oranı tahminini (

\hat{R}

) hesaplayınız.

\hat{R} = \frac{\sum y_i}{\sum x_i} = \frac{800}{2000} = 0,4

Oran tahminleyicisi, iki değişkenin toplamlarının birbirine oranı olarak tanımlanır.

2

Yardımcı değişkenin (

X

) örneklem ortalamasını (

\bar{x}

) hesaplayınız.

\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2000}{40} = 50

Varyans formülünün paydasında kitle ortalamasının tahmini olarak örneklem ortalaması kullanılır.

3

Örneklem varyansını (

s_R^2

) hesaplayınız.

s_R^2 = \frac{\sum (y_i - \hat{R}x_i)^2}{n - 1} = \frac{39000}{39} = 1000

Oran tahminleyicisinin varyansı için artıkların kareler toplamının serbestlik derecesine bölünmesi gerekir.

4

Sonlu kitle düzeltme çarpanını (SKD) ve nihai varyansı hesaplayınız.

V(\hat{R}) = \frac{1-f}{n \bar{x}^2} s_R^2 = \frac{1 - 0,1}{40 \times 50^2} \times 1000 = \frac{0,9 \times 1000}{100.000} = 0,009

Örnekleme oranı

n/N = 40/400 = 0,1 > 0,05

olduğu için SKD (1-f) kullanılmalıdır.

Key Concept

Oran Tahminleyicisinin Varyansı ve SKD Kullanımı

Practice More

Varyansın karekökünü alarak tahminin standart hatasını hesaplayabilir ve %95 güven düzeyinde bir güven aralığı oluşturabilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 37Question →

Bir tarım kooperatifi, üyelerine ait $N=500$ çiftçiden oluşan bir kitleden iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n=100$ çiftçilik bir örneklem seçmiştir. Araştırmada çiftçilerin toplam arazi büyüklüğü ( $X$ ) yardımcı değişken, bu arazilerden elde edilen buğday rekoltesi ( $Y$ ) ise ilgilenilen değişken olarak tanımlanmıştır. Örneklemden elde edilen veriler şu şekildedir:

Parametre / Toplam	Değer
Yardımcı Değişken Toplamı ( $\sum x_i$ )	$2000$ dekar
İlgilenilen Değişken Toplamı ( $\sum y_i$ )	$100$ ton
Hata Kareleri Toplamı ( $\sum (y_i - \hat{R}x_i)^2$ )	$7920$

Bu bilgilere göre, kitle oranının tahmini ( $\hat{R}$ ) ve bu tahmin edicinin varyansı ( $V(\hat{R})$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\hat{R} = 0,05

ve

V(\hat{R}) = 0,0016

\hat{R} = 0,05

ve

V(\hat{R}) = 0,0020

\hat{R} = 20,00

ve

V(\hat{R}) = 0,0016

\hat{R} = 0,05

ve

V(\hat{R}) = 0,0320

\hat{R} = 0,05

ve

V(\hat{R}) = 0,00032

Show answer & explanation

Answer: $\hat{R} = 0,05$ ve $V(\hat{R}) = 0,0016$

Answer

Kitle oranının tahmini 0,05 ve varyansı 0,0016'dır.

Kitle oranı tahmini, örneklemdeki değişken toplamlarının oranlanmasıyla

0,05

olarak hesaplanır. Varyans hesaplanırken iadesiz seçim ve örnekleme oranının %20 (

>\%5

) olması nedeniyle sonlu kitle düzeltme çarpanı (

0,8

) formüle dahil edilerek

0,0016

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Kitle oranı tahminleyicisini (

\hat{R}

) hesaplayın.

\hat{R} = \frac{\sum y_i}{\sum x_i} = \frac{100}{2000} = 0,05

Oran tahminleyicisi, ilgilenilen değişken toplamının yardımcı değişken toplamına bölünmesiyle elde edilir.

2

Yardımcı değişkenin örneklem ortalamasını (

\bar{x}

) hesaplayın.

\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2000}{100} = 20

Varyans formülünde kullanılmak üzere yardımcı değişkenin birim başına düşen ortalama değeri gereklidir.

3

Artıkların örneklem varyansını (

s_r^2

) tahmin edin.

s_r^2 = \frac{\sum (y_i - \hat{R}x_i)^2}{n - 1} = \frac{7920}{100 - 1} = \frac{7920}{99} = 80

Varyans tahmininde kullanılacak olan hataların kareler ortalaması hesaplanır.

4

Sonlu kitle düzeltme çarpanını (SKD) ve varyans formülünü uygulayın.

V(\hat{R}) = \frac{1 - f}{n \bar{x}^2} s_r^2 = \frac{1 - (100/500)}{100 \cdot 20^2} \cdot 80 = \frac{0,8 \cdot 80}{100 \cdot 400} = \frac{64}{40000} = 0,0016

İadesiz seçim yapıldığında ve örnekleme oranı 0,05'ten büyük olduğunda SKD kullanılmalıdır.

Key Concept

Oran Tahminleyicisinin Varyansı ve SKD Kullanımı

Practice More

Farklı örneklem hacimleri ve SKD gerektirmeyen durumlar için varyans değişimini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 38Question →

Bir ildeki hanehalklarının aylık gıda harcamalarını ( $y$ ) tahmin etmek amacıyla $N = 1.000$ haneden oluşan bir kitle içinden iadesiz basit rastgele örnekleme ile $n = 50$ hane seçilmiştir. Yardımcı değişken olarak hanelerin toplam aylık geliri ( $x$ ) kullanılmıştır. Kitleye ait bazı karakteristikler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Değişken / İstatistik	Değer
$y$ değişkeni kitle varyansı ( $S_y^2$ )	$400$
$x$ değişkeni kitle varyansı ( $S_x^2$ )	$200$
Değişkenler arası kitle kovaryansı ( $S_{xy}$ )	$150$

Buna göre, $k = 1$ katsayısı ile tanımlanan fark tahminleyicisinin ( $\bar{y}_d = \bar{y} + k(\mu_x - \bar{x})$ ) varyansında, kitle ortalamasının yansız bir tahminleyicisi olan basit aritmetik ortalamanın ( $\bar{y}$ ) varyansına göre gerçekleşen azalma miktarı kaçtır?

1,9

2,0

5,7

7,6

0,95

Show answer & explanation

Answer: 1,9

Answer

Fark tahminleyicisi varyansındaki azalma miktarı 1,9'dur.

Basit aritmetik ortalamanın varyansı 7,6 olarak hesaplanırken, yardımcı değişken bilgisini kullanan fark tahminleyicisinin varyansı 5,7 olarak hesaplanmıştır. Aradaki fark olan 1,9 birimlik düşüş, fark tahminleyicisinin sağladığı etkinlik artışını göstermektedir.

Step-by-Step Solution

1

Örnekleme kesri (

f

) ve kitle düzeltme çarpanının hesaplanması.

f = n/N = 50/1000 = 0,05

olup, çarpan değeri

\frac{1-f}{n} = \frac{1-0,05}{50} = 0,019

olarak bulunur.

Varyans hesaplamalarında iadesiz seçim durumunda sonlu kitle düzeltme çarpanı kullanılmalıdır.

2

Basit aritmetik ortalamanın varyansının (

V(\bar{y})

) hesaplanması.

V(\bar{y}) = \frac{1-f}{n} S_y^2 = 0,019 \times 400 = 7,6

Fark tahminleyicisinin etkinliğini kıyaslamak için temel tahminleyicinin varyansına ihtiyaç vardır.

3

Fark tahminleyicisinin varyansının (

V(\bar{y}_d)

) hesaplanması.

V(\bar{y}_d) = \frac{1-f}{n} (S_y^2 + k^2 S_x^2 - 2k S_{xy}) = 0,019 \times (400 + 1^2 \cdot 200 - 2 \cdot 1 \cdot 150) = 0,019 \times 300 = 5,7

Fark tahminleyicisinin varyansı, ilgilenilen ve yardımcı değişkenlerin varyans ve kovaryanslarına bağlıdır.

4

Varyanslar arasındaki farkın (azalma miktarının) hesaplanması.

Azalma = V(\bar{y}) - V(\bar{y}_d) = 7,6 - 5,7 = 1,9

Soruda fark tahminleyicisinin basit ortalamaya göre ne kadarlık bir avantaj sağladığı sorulmuştur.

Key Concept

Fark Tahminleyicisinin Varyansı ve Etkinliği

Estimated Time:2m 0s

Question 39Question →

Bir tarımsal araştırmada, bir bölgedeki $N = 600$ çiftçinin buğday verimi ( $y$ ) ile ektikleri alanın büyüklüğü ( $x$ ) arasındaki ilişki incelenmektedir. Kitledeki alan büyüklüğünün ortalaması ( $\bar{X}$ ) bilinmektedir. İadesiz basit rastgele örnekleme ile seçilen $n = 60$ çiftçiden elde edilen verilerle şu istatistikler hesaplanmıştır:

$S_y^2 = 400$ , $S_x^2 = 100$ ve $S_{xy} = 150$

Kitle ortalamasını tahmin etmek için $k = 1$ sabit değerli fark tahminleyicisi ( $\bar{y}_D = \bar{y} + (\bar{X} - \bar{x})$ ) kullanıldığına göre, bu tahminleyicinin varyansı ( $V(\bar{y}_D)$ ) kaçtır?

3,0

6,0

7,5

12,0

3,33

Show answer & explanation

Answer: 3,0

Answer

Fark tahminleyicisinin varyansı 3,0 olarak hesaplanır.

Verilen

N=600, n=60, S_y^2=400, S_x^2=100, S_{xy}=150

ve

k=1

değerleri

V(\bar{y}_D) = \frac{N-n}{Nn} (S_y^2 + k^2 S_x^2 - 2k S_{xy})

formülünde yerine konulduğunda

0,015 \times (400 + 100 - 300) = 3

sonucu elde edilir. Bu tahminleyici, sadece örneklem ortalamasının kullanıldığı durumdaki varyans değerinden (6,0) daha düşük varyansa sahip olduğu için daha etkindir.

Step-by-Step Solution

1

Sonlu kitle düzeltme çarpanını (SKD) içeren katsayıyı hesaplayın.

\frac{N-n}{Nn} = \frac{600-60}{600 \times 60} = \frac{540}{36000} = 0,015

İadesiz basit rastgele örneklemede varyans hesaplanırken kitlenin sonlu olması dikkate alınmalıdır.

2

Varyans formülündeki parantez içini (

S_y^2 + k^2 S_x^2 - 2k S_{xy}

) hesaplayın.

400 + (1)^2 \times 100 - 2 \times 1 \times 150 = 400 + 100 - 300 = 200

Fark tahminleyicisinin varyansı, ilgili değişkenlerin varyansları ve aralarındaki kovaryansın doğrusal bir fonksiyonudur.

3

Elde edilen katsayı ile toplam varyans değerini çarpın.

0,015 \times 200 = 3,0

Tahminleyicinin nihai varyans değerine ulaşmak için örneklem büyüklüğü ve düzeltme çarpanı ile ağırlıklandırılır.

Key Concept

Fark Tahminleyicisinin Varyansı ve Etkinliği

Alternative Method

Varyans azalmasını doğrudan görmek için şu yol izlenebilir: Basit varyans

V(\bar{y}) = 6

iken, yardımcı değişken kullanımıyla sağlanan azalma

\frac{N-n}{Nn}(2k S_{xy} - k^2 S_x^2) = 0,015 \times (300 - 100) = 3

birimdir.

6 - 3 = 3

sonucuna bu fark üzerinden de ulaşılabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 40Question →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin aylık ulaşım giderlerini ( $y$ ) tahmin etmek amacıyla, personelin geçen yılki ulaşım giderleri ( $x$ ) yardımcı değişken olarak kullanılmaktadır. $N = 800$ personelden oluşan bir kitle içinden iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 80$ kişilik bir örneklem seçilmiştir. Örneklem verilerinden hesaplanan varyans ve kovaryans değerleri şöyledir:

- $S_y^2 = 120$
- $S_x^2 = 100$
- $S_{xy} = 90$

Sabit katsayının $k = 1$ olarak belirlendiği fark tahminleyicisi ( $\bar{y}_d = \bar{y} + k(\bar{X} - \bar{x})$ ) kullanıldığına göre, bu tahminleyicinin varyansı aşağıdakilerden hangisidir?

0,45

0,50

1,46

2,47

4,50

Show answer & explanation

Answer: 0,45

Answer

Fark tahminleyicisinin varyansı 0,45 olarak hesaplanır.

Fark tahminleyicisinin varyansı hesaplanırken iadesiz seçim yapıldığı için öncelikle sonlu kitle düzeltme çarpanı

(1-f)

hesaplanmalıdır.

N=800

ve

n=80

için bu değer

0,9

olur. Ardından

V(\bar{y}_d) = \frac{1-f}{n}(S_y^2 + k^2 S_x^2 - 2k S_{xy})

formülü kullanılarak, verilen varyans ve kovaryans değerleri yerine yerleştirilir.

k=1

için işlem

0,9/80 \times (120 + 100 - 180) = 0,45

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Örnekleme oranını (

f

) ve sonlu kitle düzeltme çarpanını (

1-f

) hesaplayın.

f = 80 / 800 = 0,1

ve

1-f = 1 - 0,1 = 0,9

İadesiz basit rastgele örneklemede varyans hesaplanırken kitlenin sonlu olması nedeniyle düzeltme faktörü kullanılmalıdır.

2

Fark tahminleyicisinin varyans formülünü yazın.

V(\bar{y}_d) = \frac{1-f}{n} (S_y^2 + k^2 S_x^2 - 2k S_{xy})

Sabit

k

katsayılı fark tahminleyicisinin varyansı, iki değişkenin varyansları ve kovaryansı cinsinden bu şekilde tanımlanır.

3

Verilen değerleri formülde yerine koyarak hesaplamayı tamamlayın.

V(\bar{y}_d) = \frac{0,9}{80} (120 + 1^2 \cdot 100 - 2 \cdot 1 \cdot 90) = \frac{0,9}{80} (120 + 100 - 180) = \frac{0,9}{80} (40) = \frac{0,9}{2} = 0,45

Varyans ve kovaryans arasındaki ilişkiyi yansıtan terimlerin doğru matematiksel işlemlerle birleştirilmesi gerekir.

Key Concept

Fark Tahminleyicisinin Varyansı ve SKD Kullanımı

Practice More

Fark tahminleyicisinin yansızlık özelliğini ve hangi korelasyon koşullarında basit ortalamadan daha etkin olduğunu inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Oran ve Regresyon Tahminleyicileri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution