Examkin

Question

Difficulty: HardÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡3(x−2)⋅log⁡x(x2−5)=log⁡3(x−2)\log_3(x-2) \cdot \log_x(x^2 - 5) = \log_3(x-2)

denklemini sağlayan xx gerçel say��larının toplamı kaçtır?

  1. 7+212\frac{7+\sqrt{21}}{2}Answer
  2. B
    1+212\frac{1+\sqrt{21}}{2}
  3. C
    4
  4. D
    3+63+\sqrt{6}
  5. E
    11+212\frac{11+\sqrt{21}}{2}

Answer

Denklemi sağlayan gerçel sayıların toplamı \frac{7+\sqrt{21}}{2} değeridir.
Denklemin sol tarafındaki ortak terim paranteze alındığında elde edilen iki ayrı denklemin kökleri bulunur. Bu köklerden logaritma tanım kümesini (tabanın 0'dan büyük ve 1'den farklı, argümanın 0'dan büyük olması) sağlayanlar sırasıyla 33 ve 1+212\frac{1+\sqrt{21}}{2} sayılarıdır. Bu iki sayının toplamı ise istenen sonucu verir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemdeki tüm terimleri sol tarafta toplayıp ortak çarpan parantezine alalım.
log⁡3(x−2)⋅[log⁡x(x2−5)−1]=0\log_3(x-2) \cdot [\log_x(x^2 - 5) - 1] = 0
Denklemi çarpanlarına ayırarak olası tüm kökleri belirlemek.
2
Eşitliğin sıfır olabilmesi için her bir çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleyelim.
1. Durum: log⁡3(x−2)=0\log_3(x-2) = 0
2. Durum: log⁡x(x2−5)=1\log_x(x^2 - 5) = 1
Çarpımın sıfır olma özelliğini kullanmak.
3
Birinci durumu çözelim.
x−2=30⇒x−2=1⇒x=3x - 2 = 3^0 \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3
İlk çarpanı sıfır yapan xx değerini bulmak.
4
İkinci durumu ç��zelim.
x2−5=x1⇒x2−x−5=0x^2 - 5 = x^1 \Rightarrow x^2 - x - 5 = 0
İkinci çarpanı sıfır yapan xx değerini bulmak.
5
Elde edilen ikinci derece denklemi diskriminant yöntemiyle çözelim.
Δ=(−1)2−4(1)(−5)=21\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-5) = 21
x1,2=1±212x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}
İkinci derece denklemin gerçel köklerini bulmak.
6
Logaritma tanım k��mesi kurallarını (taban > 0, taban != 1, argüman > 0) uygulayalım.
Tanım kümesi: x−2>0⇒x>2x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 ve x2−5>0x^2 - 5 > 0. Dolayısıyla x>5≈2,24x > \sqrt{5} \approx 2,24 olmalıdır.
Bulunan köklerin logaritma fonksiyonunu tanımlı yapıp yapmadığını denetlemek.
7
Kök adaylarını tanım kümesi sınırlarına göre kontrol edelim.
- x=3x = 3 kökü 3>2,243 > 2,24 koşulunu sağladığı için geçerlidir.
- x=1+212≈2,79x = \frac{1+\sqrt{21}}{2} \approx 2,79 kökü 2,79>2,242,79 > 2,24 koşulunu sağladığı için geçerlidir.
- x=1−212≈−1,79x = \frac{1-\sqrt{21}}{2} \approx -1,79 kökü koşulu sağlamadığı için elenir.
Sadece geçerli olan gerçel kökleri belirlemek.
8
Geçerli köklerin toplamını bulalım.
3+1+212=7+2123 + \frac{1+\sqrt{21}}{2} = \frac{7+\sqrt{21}}{2}
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Key Concept

Logaritmik denklemlerin çözümünde ortak çarpan parantezine alma ve logaritmanın tanım kümesi sınırlamalarına göre köklerin kontrol edilmesi.

Alternative Method

Denklemde log⁡3(x−2)=A\log_3(x-2) = A ve log⁡x(x2−5)=B\log_x(x^2 - 5) = B değişken dönüşümleri yapıldığında denklem A⋅B=AA \cdot B = A şekline dönüşür. Buradan A(B−1)=0A(B-1) = 0 elde edilerek A=0A = 0 veya B=1B = 1 durumları ayrı ayrı incelenebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Denklemler

More questions from this topic