Bir ABC üçgeninde |AB| = 6\text{ birim}, |AC| = 8\text{ birim} ve m(\widehat{BAC}) = 120^\… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 6\text{ birim}$ , $|AC| = 8\text{ birim}$ ve $m(\widehat{BAC}) = 120^\circ$ dir. $A$ köşesine ait iç açıortay doğrusu $[BC]$ kenarını $D$ noktasında kestiğine göre, $|AD|$ uzunluğu kaç birimdir?

$\frac{24}{7}$ Answer
B
$\frac{24\sqrt{3}}{7}$
C
$\frac{24\sqrt{2}}{7}$
D
$\frac{48}{7}$
E
$\frac{12}{7}$

Answer

24 bölü 7

İç açıortay teoremi uyarınca köşeden çizilen açıortay karşı kenarı komşu kenarların oranı olan 6/8 = 3/4 oranında böler. Açıortay açıyı 60 derecelik iki eş açıya böldüğünden, oluşan iki alt üçgende Kosinüs Teoremi uygulandığında ortak bilinmeyenler sadeleşerek doğru uzunluk 24 bölü 7 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

İç açıortay teoremini kullanarak kenar oranlarını yazma

|BD| / |CD| = |AB| / |AC| = 6/8 = 3/4. Buradan |BD| = 3k ve |CD| = 4k belirlenir.

Açıortayın karşı kenarda ayırdığı parçaların oranı, komşu kenarların oranına eşittir.

Kosinüs Teoremini ABD ve ACD üçgenlerinde AD = x için uygulama

ABD üçgeninde: 9k^2 = 36 + x^2 - 6x. ACD üçgeninde: 16k^2 = 64 + x^2 - 8x.

Açıortay açıyı iki eşit 60 derecelik açıya böldüğü için her iki üçgende de cos(60) = 1/2 kullanılarak bağıntılar yazılır.

Denklemleri ortak çözerek x değerini yalnız bırakma

16(36 + x^2 - 6x) = 9(64 + x^2 - 8x) ise 7x^2 = 24x ve x = 24/7 bulunur.

k^2 terimini yok etmek için denklemler uygun katsayılarla çarpılıp eşitlenir.

Key Concept

Bir üçgende Kosinüs Teoremi ve İç Açıortay Teoreminin birlikte uygulanması

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic