Examkin

Question

Difficulty: MediumKosinüs Teoremi

Bir ABCABC üçgeninde DD noktası [AC][AC] kenarı üzerindedir.

∣AB∣=6 birim|AB| = 6\text{ birim}
∣AD∣=4 birim|AD| = 4\text{ birim}
∣BD∣=∣DC∣=5 birim|BD| = |DC| = 5\text{ birim}

olduğuna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç birimdir?

  1. A
    77
  2. B
    572\frac{5\sqrt{7}}{2}
  3. 152\frac{15}{2}Answer
  4. D
    525\sqrt{2}
  5. E
    88

Answer

15/2 birim
Doğru olan 15/2 değeri, birinci üçgende Kosinüs Teoremi uygulanarak elde edilen kosinüs değerinin, ikinci üçgende bütünler açı kuralı (−cos⁡(α)-\cos(\alpha)) ile yerine yazılması ve Kosinüs Teoremi'nin ikinci kez doğru bir şekilde uygulanmasıyla hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
ABDABD üçgeninde m(ADB^)=αm(\widehat{ADB}) = \alpha açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AB∣2=∣AD∣2+∣BD∣2−2⋅∣AD∣⋅∣BD∣⋅cos⁡(α)|AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |BD| \cdot \cos(\alpha)
62=42+52−2⋅4⋅5⋅cos⁡(α)6^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos(\alpha)
36=16+25−40cos⁡(α)36 = 16 + 25 - 40\cos(\alpha)
40cos⁡(α)=5  ⟹  cos⁡(α)=1840\cos(\alpha) = 5 \implies \cos(\alpha) = \frac{1}{8}
Bilinmeyen ∣BC∣|BC| uzunluğunu bulmak için komşu BDCBDC üçgeninde kullanılacak açının kosinüs değerini elde etmek.
2
AA, DD ve CC noktaları doğrusal olduğundan, m(CDB^)=180∘−αm(\widehat{CDB}) = 180^\circ - \alpha açısının kosinüs değeri bulunur.
cos⁡(180∘−α)=−cos⁡(α)=−18\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha) = -\frac{1}{8}
Bütünler açıların kosinüslerinin zıt işaretli olması kuralını uygulamak.
3
BCDBCD üçgeninde m(CDB^)=180∘−αm(\widehat{CDB}) = 180^\circ - \alpha açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣BC∣=x|BC| = x uzunluğu hesaplanır.
x2=∣BD∣2+∣CD∣2−2⋅∣BD∣⋅∣CD∣⋅cos⁡(180∘−α)x^2 = |BD|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |BD| \cdot |CD| \cdot \cos(180^\circ - \alpha)
x2=52+52−2⋅5⋅5⋅(−18)x^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right)
x2=25+25+508=50+254=2254x^2 = 25 + 25 + \frac{50}{8} = 50 + \frac{25}{4} = \frac{225}{4}
x=2254=152x = \sqrt{\frac{225}{4}} = \frac{15}{2}
BCDBCD üçgeninin iki kenarı ve aralarındaki açının kosinüsü bilindiğinden Kosinüs Teoremi ile üçüncü kenarı bulmak.

Key Concept

Bir üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açının kosinüsü biliniyorsa, karşı kenarın uzunluğu Kosinüs Teoremi ile hesaplanabilir. Ayrıca doğrusal bir çizgi üzerindeki komşu iki açının kosinüs değerleri birbirinin zıt işaretlisidir.

Alternative Method

Bu soru Stewart Teoremi kullanılarak da çözülebilir. Stewart Teoremi formülü:

∣BD∣2=∣AB∣2⋅∣DC∣+∣BC∣2⋅∣AD∣∣AC∣−∣AD∣⋅∣DC∣|BD|^2 = \frac{|AB|^2 \cdot |DC| + |BC|^2 \cdot |AD|}{|AC|} - |AD| \cdot |DC|

Değerler formülde yerine yazılırsa:

52=62⋅5+x2⋅49−4⋅55^2 = \frac{6^2 \cdot 5 + x^2 \cdot 4}{9} - 4 \cdot 5
25=180+4x29−2025 = \frac{180 + 4x^2}{9} - 20
45=180+4x2945 = \frac{180 + 4x^2}{9}
405=180+4x2  ⟹  4x2=225  ⟹  x=152405 = 180 + 4x^2 \implies 4x^2 = 225 \implies x = \frac{15}{2} elde edilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Kosinüs Teoremi

More questions from this topic