Examkin

Question

Difficulty: MediumKosinüs Teoremi

Bir ABCDABCD konveks dörtgeninde [AC][AC] köşegendir. ∣AB∣=3 birim|AB| = 3\text{ birim}, ∣BC∣=5 birim|BC| = 5\text{ birim}, ∣AD∣=5 birim|AD| = 5\text{ birim}, m(ABC^)=120∘m(\widehat{ABC}) = 120^\circ ve m(ADC^)=60∘m(\widehat{ADC}) = 60^\circ olduğuna göre, ∣CD∣|CD| uzunluğu kaç birimdir?

Answer: 8 birim

Answer

CD uzunluğu 8 birimdir.
ABCABC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında ∣AC∣=7 birim|AC| = 7\text{ birim} bulunur. ADCADC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında ise x2−5x−24=0x^2 - 5x - 24 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif kökü 88 olduğundan ∣CD∣|CD| uzunluğu 8 birim8\text{ birim} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
ABCABC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣AC∣|AC| uzunluğu hesaplanır.
∣AC∣=7 birim|AC| = 7\text{ birim}
∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2−2∣AB∣∣BC∣cos⁡(120∘)|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2|AB||BC|\cos(120^\circ) formülünde bilinenler yerine yazıldığında ∣AC∣2=32+52−2⋅3⋅5⋅(−1/2)=9+25+15=49|AC|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (-1/2) = 9 + 25 + 15 = 49 elde edilir.
2
ADCADC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣CD∣=x|CD| = x uzunluğu hesaplanır.
x=8 birimx = 8\text{ birim}
∣AC∣2=∣AD∣2+∣CD∣2−2∣AD∣∣CD∣cos⁡(60∘)|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 - 2|AD||CD|\cos(60^\circ) formülünde bilinenler yerine yazıldığında 72=52+x2−2⋅5⋅x⋅(1/2)  ⟹  49=25+x2−5x  ⟹  x2−5x−24=07^2 = 5^2 + x^2 - 2 \cdot 5 \cdot x \cdot (1/2) \implies 49 = 25 + x^2 - 5x \implies x^2 - 5x - 24 = 0 elde edilir. Bu denklem (x−8)(x+3)=0(x-8)(x+3) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Uzunluk negatif olamayacağından x=8x = 8 bulunur.

Key Concept

Kosinüs Teoremi'nin ardışık iki üçgende uygulanması ve elde edilen denklemin çözülmesi

Alternative Method

ADCADC üçgeninde CC köşesinden [AD][AD] kenarına dikme indirilerek 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ özel üçgeni ve Pisagor teoremi yardımıyla da ∣CD∣|CD| uzunluğu hesaplanabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Kosinüs Teoremi

More questions from this topic