Examkin

Question

Difficulty: MediumKosinüs Teoremi

Kenar uzunlukları ∣AB∣=7 birim|AB| = 7\text{ birim}, ∣AC∣=8 birim|AC| = 8\text{ birim} ve ∣BC∣=5 birim|BC| = 5\text{ birim} olan bir ABCABC üçgeninin [BC][BC] kenarı üzerinde bir DD noktası belirleniyor.

∣BD∣=2 birim|BD| = 2\text{ birim} olduğuna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç birimdir?

Answer: 7 birim

Answer

AD uzunluğu 7 birimdir.
Doğru cevap 7'dir. İlk olarak büyük ABCABC üçgeninde tüm kenarlar bilindiği için Kosinüs Teoremi ile CC açısının kosinüsü 12\frac{1}{2} olarak bulunur. Ardından DD noktası [BC][BC] kenarını 22 ve 33 birimlik iki parçaya ayırdığı için, ACDACD üçgeninde kenarlar 88 birim ve 33 birim, aralarındaki açının kosinüsü ise 12\frac{1}{2} olur. Bu üçgende tekrar Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣AD∣=7|AD| = 7 birim olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
ABCABC üçgeninde CC açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanarak cos⁡(C^)\cos(\widehat{C}) değeri hesaplanır.
∣AB∣2=∣BC∣2+∣AC∣2−2⋅∣BC∣⋅∣AC∣⋅cos⁡(C^)|AB|^2 = |BC|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |BC| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{C})
72=52+82−2⋅5⋅8⋅cos⁡(C^)7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(\widehat{C})
49=25+64−80⋅cos⁡(C^)49 = 25 + 64 - 80 \cdot \cos(\widehat{C})
80⋅cos⁡(C^)=40⇒cos⁡(C^)=1280 \cdot \cos(\widehat{C}) = 40 \Rightarrow \cos(\widehat{C}) = \frac{1}{2} (Buradan m(C^)=60∘m(\widehat{C}) = 60^\circ bulunur.)
ACDACD üçgeninde ∣AD∣|AD| uzunluğunu hesaplayabilmek için bu iki üçgenin ortak açısı olan CC açısının kosinüs değerine ihtiyaç vardır.
2
ACDACD üçgeninde [AD][AD] kenarını bulmak için Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AD∣2=∣CD∣2+∣AC∣2−2⋅∣CD∣⋅∣AC∣⋅cos⁡(C^)|AD|^2 = |CD|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |CD| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{C})
Burada ∣CD∣=∣BC∣−∣BD∣=5−2=3 birim|CD| = |BC| - |BD| = 5 - 2 = 3\text{ birim}'dir.
∣AD∣2=32+82−2⋅3⋅8⋅12|AD|^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}
∣AD∣2=9+64−24=49|AD|^2 = 9 + 64 - 24 = 49
∣AD∣=7 birim|AD| = 7\text{ birim} bulunur.
ACDACD üçgeninin iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının kosinüs değeri bilindiğinden, bilinmeyen üçüncü kenar doğrudan hesaplanabilir.

Key Concept

Kosinüs Teoremi yardımıyla bir üçgende bilinmeyen kenar uzunluğunun hesaplanması.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Kosinüs Teoremi

More questions from this topic