Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡x−3(x−1)+log⁡x−1(x−3)=52\log_{x-3}(x-1) + \log_{x-1}(x-3) = \frac{5}{2} denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
  1. \{5\}Answer
  2. B
    \{2, 5\}
  3. C
    \{4, 5\}
  4. D
    \{2, 4, 5\}
  5. E
    \{2\}

Answer

Sadece 5 elemanını içeren küme
Çözüm kümesinde yalnızca 5 elemanının bulunması doğrudur. Denklemin çözümünden elde edilen 2 ve 5 aday köklerinden 2 değeri logaritmanın tabanını negatif yaptığından elenir, geriye yalnızca 5 değeri kalır.

Step-by-Step Solution

1
Logaritmik ifadelerin tanımlı olabilmesi için gerekli olan tanım kümesi koşullarını belirlemek.
x>3x > 3 ve x≠4x \neq 4 olmalıdır.
Logaritmanın tabanı pozitif ve 1'den farklı, logaritmanın içi ise pozitif olmalıdır.
2
Taban değiştirme özelliğini kullanarak denklemi aynı tabanda yazmak ve değişken dönüştürmek.
log⁡x−3(x−1)=t\log_{x-3}(x-1) = t denilirse, log⁡x−1(x−3)=1t\log_{x-1}(x-3) = \frac{1}{t} olur. Buradan t+1t=52t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} denklemi elde edilir.
Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri tek bir değişken cinsinden ifade ederek çözümü kolaylaştırmak.
3
t+1t=52t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} denklemini payda eşitleyerek ikinci dereceden denklem formuna getirmek ve çözmek.
2t2−5t+2=0  ⟹  (2t−1)(t−2)=02t^2 - 5t + 2 = 0 \implies (2t - 1)(t - 2) = 0 elde edilir. Buradan t=2t = 2 veya t=12t = \frac{1}{2} bulunur.
Rasyonel denklemi standart ikinci dereceden denkleme dönüştürüp köklerini bulmak.
4
Bulunan tt değerlerini kullanarak xx değişkenini elde etmek.
t=2t = 2 için (x−3)2=x−1  ⟹  x2−7x+10=0  ⟹  x=2(x-3)^2 = x-1 \implies x^2 - 7x + 10 = 0 \implies x=2 veya x=5x=5 bulunur. t=12t = \frac{1}{2} için (x−1)2=x−3  ⟹  x2−3x+4=0(x-1)^2 = x-3 \implies x^2 - 3x + 4 = 0 denkleminin gerçel kökü yoktur (Δ<0\Delta < 0).
Değişken dönüşümünü geri alarak xx aday köklerini bulmak.
5
Aday köklerin 1. adımda belirlenen tanım kümesi şartını (x>3x > 3 ve x≠4x \neq 4) sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.
x=2x = 2 değeri x>3x > 3 şartını sağlamadığı için elenir. x=5x = 5 değeri ise tüm şartları sağlar. Çözüm kümesi {5}\{5\} olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kurallarına uymayan kökleri elemek.

Key Concept

Logaritma denklemlerinde taban değiştirme özelliği ve tanım kümesi sınırlamaları
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Denklemler

More questions from this topic