Examkin

Question

Difficulty: HardÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı
f(x)=x2−4x−3f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 3}
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre,
f(x−2)⋅f(x+1)≤0f(x - 2) \cdot f(x + 1) \leq 0
eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Answer: -1

Answer

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı −1-1 olarak bulunur.
Yapılan fonksiyon dönüşümleri ve işaret tablosu analizi sonucunda, paydanın tanımsızlık noktaları hariç tutulup eşitsizliği negatif yapan tüm tam sayıların toplanmasıyla doğru cevaba ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
f(x−2)f(x - 2) ve f(x+1)f(x + 1) fonksiyonlarının kurallarını belirleyin.
f(x−2)=(x−2)2−4x−2−3=x2−4xx−5=x(x−4)x−5f(x-2) = \frac{(x-2)^2-4}{x-2-3} = \frac{x^2-4x}{x-5} = \frac{x(x-4)}{x-5} ve f(x+1)=(x+1)2−4x+1−3=x2+2x−3x−2=(x+3)(x−1)x−2f(x+1) = \frac{(x+1)^2-4}{x+1-3} = \frac{x^2+2x-3}{x-2} = \frac{(x+3)(x-1)}{x-2}
Eşitsizlikte yer alan fonksiyonların xx cinsinden açık kurallarını bulmak için.
2
Eşitsizlikteki iki ifadeyi çarparak tek bir rasyonel eşitsizlik elde edin.
x(x−4)(x+3)(x−1)(x−5)(x−2)≤0\frac{x(x-4)(x+3)(x-1)}{(x-5)(x-2)} \leq 0
Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin işaret incelemesini tek bir tablo üzerinde yapabilmek için.
3
Pay ve paydanın köklerini bularak işaret tablosunu oluşturun.
Pay��n kökleri: −3,0,1,4-3, 0, 1, 4. Paydanın kökleri: 2,52, 5. Köklerin sıralaması: −3<0<1<2<4<5-3 < 0 < 1 < 2 < 4 < 5. İşaret tablosunda en sağ aralık (+)(+) ile başlar ve her tek katlı kökte işaret değişir: (5,∞)→(+)(5, \infty) \rightarrow (+), (4,5)→(−)(4, 5) \rightarrow (-), (2,4]→(+)(2, 4] \rightarrow (+), (1,2)→(−)(1, 2) \rightarrow (-), [0,1]→(+)[0, 1] \rightarrow (+), [−3,0]→(−)[-3, 0] \rightarrow (-), (−∞,−3]→(+)(-\infty, -3] \rightarrow (+).
Eşitsizliği sıfırdan küçük veya eşit yapan aralıkları doğru bir şekilde tespit etmek için.
4
Çözüm kümesindeki tam sayılar�� listeleyin ve toplayın.
Çözüm kümesi [−3,0]∪[1,2)∪[4,5)[-3, 0] \cup [1, 2) \cup [4, 5) aralıklarından oluşur. Bu aralıklardaki tam sayılar: −3,−2,−1,0,1,4-3, -2, -1, 0, 1, 4. Bu sayıların toplam�� ise (−3)+(−2)+(−1)+0+1+4=−1(-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 4 = -1 olur.
Bizden istenen sağlayan tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Key Concept

Çarpım ve bölüm durumundaki rasyonel eşitsizliklerde payda köklerinin çözüm kümesine dahil edilmemesi, fonksiyon ötelemelerinde köklerin doğru kaydırılması ve işaret tablosu analizi.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

More questions from this topic