f(x) = \frac{(x-2)^2 \cdot (x-1) \cdot (x-5)}{(x-2) \cdot (x-3)} olmak üzere, f(x) \leq 0 \neşitsizliğini sa��layan x pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?

f(x) = \frac{(x-2)^2 \cdot (x-1) \cdot (x-5)}{(x-2) \cdot (x-3)} olmak üzere, f(x) \leq 0 … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f(x) = \frac{(x-2)^2 \cdot (x-1) \cdot (x-5)}{(x-2) \cdot (x-3)}

olmak üzere,

f(x) \leq 0

eşitsizliğini sa��layan

x

pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?

A
9
10Answer
C
12
D
13
E
15

Answer

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 10'dur.

Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesini bulmak için öncelikle paydayı sıfır yapan değerlerin (

x = 2

x = 3

) çözüm kümesinde yer alamayacağı belirlenir. Ardından pay ve paydadaki ortak

(x-2)

çarpanları sadeleştirilerek elde edilen ifade için işaret tablosu oluşturulur. Tabloda negatif olan bölgeler ve payı sıfır yapan değerler

[1, 2) \cup (3, 5]

olarak bulunur. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar olan 1, 4 ve 5 toplandığında 10 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

Paydanın sıfır olma durumunun belirlenmesi

x \neq 2

x \neq 3

Bölüm durumundaki eşitsizliklerde paydayı sıfır yapan değerler fonksiyonu tanımsız yapacağından çözüm kümesine dahil edilemez.

Ortak çarpanların sadeleştirilmesi ve yeni eşitsizliğin yazılması

x \neq 2

olmak üzere,

\frac{(x-2)(x-1)(x-5)}{x-3} \leq 0

İşaret incelemesini kolaylaştırmak amacıyla ortak çarpanlar sadeleştirilir, ancak başlangıçtaki tanımsızlık koşulu (

x \neq 2

) saklı tutulur.

Yeni ifadenin köklerinin bulunması ve işaret tablosunun oluşturulması

Kökler:

x = 1

x = 2

x = 5

(payın kökleri) ve

x = 3

(paydanın kökü). İşaret tablosunda sağdan sola doğru işaretler:

(5, \infty) \rightarrow +

(3, 5) \rightarrow -

(2, 3) \rightarrow +

(1, 2) \rightarrow -

(-\infty, 1) \rightarrow +

Köklerin her biri tek katlı olduğundan, tablodaki her kökten geçildiğinde işaret değişir. Baş katsayıların çarpımı pozitif olduğundan en sağdan artı (+) işareti ile başlanır.

Çözüm kümesinin belirlenmesi ve pozitif tam sayıların toplanması

Çözüm Kümesi:

[1, 2) \cup (3, 5]

. Pozitif tam sayılar:

1, 4, 5

. Toplam:

1 + 4 + 5 = 10

İfadenin sıfırdan küçük veya eşit olması istendiğinden negatif bölgeler seçilir. Eşitlik durumundan ötürü payın kökleri dahil edilirken, paydayı sıfır yapan

x = 2

x = 3

değerleri kümeden çıkarılır.

Key Concept

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerde Payda Köklerinin Hariç Tutulması ve Sadeleştirmede Tanım Kümesinin Korunması

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic