Examkin

Question

Difficulty: MediumÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
(x2−4x)⋅(x−3)2x2−2x−15≤0 \frac{(x^2 - 4x) \cdot (x - 3)^2}{x^2 - 2x - 15} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    -3
  2. B
    1
  3. 4Answer
  4. D
    6
  5. E
    7

Answer

E��itsizliği sağlayan tam sayıların toplamı 4'tür.
Çözüm kümesi doğru biçimde belirlendiğinde eşitsizliği sağlayan tam sayıların −2,−1,0,3-2, -1, 0, 3 ve 44 olduğu görülür. Bu sayıların toplamı 44 değerini vermektedir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizlikte yer alan tüm çarpanların kökleri bulunur ve köklerin türleri belirlenir.
Payın kökleri: x(x−4)=0⇒x=0x(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0 ve x=4x = 4 (tek katlı kökler), (x−3)2=0⇒x=3(x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3 (çift katlı kök). Paydanın kökleri: x2−2x−15=(x−5)(x+3)=0⇒x=5x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = 5 ve x=−3x = -3 (tek katlı kökler).
İşaret tablosunun sınırlarını belirlemek ve çift katlı köklerin davranışını tespit etmek amacıyla her bir çarpan sıfıra eşitlenir.
2
Bulunan kökler sayı doğrusu sırasına göre dizilerek işaret tablosu oluşturulur.
Kök sıralaması: −3<0<3<4<5-3 < 0 < 3 < 4 < 5. En sağdaki aralık olan (5,∞)(5, \infty) aralığında ifadenin işareti ++ ile başlar. İşaretler tek katlı köklerde değişirken, çift katlı kök olan 33 değerinde değişmeden korunur. Tablo:
- (5,∞)→+(5, \infty) \rightarrow +
- (4,5)→−(4, 5) \rightarrow -
- (3,4)→+(3, 4) \rightarrow +
- (0,3)→+(0, 3) \rightarrow +
- (−3,0)→−(-3, 0) \rightarrow -
- (−∞,−3)→+(-\infty, -3) \rightarrow +
Değişken aralıklarına göre tüm ifadenin işaret değişimlerini incelemek için işaret tablosu yöntemi uygulanır.
3
Eşitsizliği sağlayan aralıklar belirlenerek çözüm kümesi yazılır.
Eşitsizlik ≤0\leq 0 ko��ulunu aradığından negatif bölgeler seçilir. Eşitlik durumu nedeniyle payın kökleri (0,3,40, 3, 4) çözüm kümesine dahil edilirken, paydayı sıfır yapan kökler (−3,5-3, 5) hariç tutulur. Çözüm kümesi: C\cK=(−3,0]∪{3}∪[4,5)ÇK = (-3, 0] \cup \{3\} \cup [4, 5) olarak elde edilir.
Payı sıfır yapan kökler eşitsizliği sağlar ancak paydanın kökleri ifadeyi tanımsız yaptığı için her zaman çözüm kümesinden çıkarılmalıdır.
4
Çözüm kümesindeki tam sayılar belirlenir ve toplanır.
Çözüm kümesindeki tam sayılar: −2,−1,0,3,4-2, -1, 0, 3, 4 değerleridir. Bu sayıların toplamı: (−2)+(−1)+0+3+4=4(-2) + (-1) + 0 + 3 + 4 = 4 bulunur.
Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamına ulaşılması amaçlanmıştır.

Key Concept

Çarpım ve bölüm durumundaki rasyonel eşitsizliklerde pay ve payda köklerinin ayrı ayrı bulunması, çift katlı köklerde işaretin değişmemesi ve payda köklerinin çözüm kümesine dahil edilmemesi kuralları.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

More questions from this topic