Examkin

Question

Difficulty: HardPermütasyon

Bir okulun yıl sonu gösterisinde sunum yapacak olan 3 öğretmen (Aylin, Bülent, Ceyda) ve 4 öğrenci (Deniz, Elif, Fatih, Gizem) sahnedeki yan yana dizilmiş 7 sandalyeye oturacaklardır.

Oturma düzeniyle ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:
- Her bir öğretmenin hem sağındaki hem de solundaki sandalyede birer öğrenci oturacaktır.
- Aylin Öğretmen ile Deniz isimli öğrenci yan yana oturmayacaktır.

Buna göre, bu öğretmen ve öğrenciler sandalyelere kaç farklı şekilde oturabilirler?

  1. A
    48
  2. 72Answer
  3. C
    96
  4. D
    108
  5. E
    144

Answer

72 farklı şekilde oturabilirler.
Doğru cevap 72'dir. Öğretmenlerin her birinin sağında ve solunda birer öğrenci olması koşuluyla oturma düzeni yalnızca Ö-G-Ö-G-Ö-G-Ö (Ö: Öğrenci, G: Öğretmen) biçiminde olabilir. Bu durumda 4 öğrenci 4! = 24, 3 öğretmen 3! = 6 farklı şekilde sıralanabilir ve toplam 144 durum oluşur. Aylin Öğretmen ile Deniz'in yan yana oturduğu durumlar incelendiğinde; Aylin Öğretmen'in oturabileceği 3 koltuk (2, 4, 6) vardır ve her biri için Deniz'in oturabileceği 2 yan koltuk bulunur. Kalan 3 öğrenci kendi arasında 3! = 6, kalan 2 öğretmen kendi arasında 2! = 2 şekilde sıralanır. Böylece yan yana oturdukları durum sayısı 3 * 2 * 6 * 2 = 72 olur. Tüm durumlardan bu değer çıkarıldığında istenen durum sayısı 144 - 72 = 72 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Öğretmen ve öğrencilerin oturabileceği koltuk düzenini belirlemek.
Öğretmenler sadece 2, 4 ve 6. koltuklara; öğrenciler ise 1, 3, 5 ve 7. koltuklara oturabilir. Bu durum Ö-G-Ö-G-Ö-G-Ö şeklinde tek bir şablon oluşturur (Ö: Öğrenci, G: Öğretmen).
Her öğretmenin sağında ve solunda birer öğrenci bulunması gerektiğinden, hiçbir öğretmen uçlardaki (1 ve 7) koltuklara oturamaz ve hiçbir iki öğretmen yan yana gelemez.
2
Herhangi bir kısıtlama olmaksızın öğretmen ve öğrencilerin kendi aralarındaki tüm dizilim sayılarını hesaplamak.
4 öğrenci kendi arasında 4! = 24 farklı şekilde, 3 öğretmen kendi arasında 3! = 6 farklı şekilde sıralanabilir. Toplam dizilim sayısı: 24 * 6 = 144 olur.
Kişiler farklı olduğu için belirlenen koltuk tiplerine göre kendi aralarında permütasyon yapılır.
3
Aylin Öğretmen ile Deniz'in yan yana oturduğu durumların sayısını hesaplamak.
Aylin Öğretmen 2, 4 veya 6. koltuklara oturabilir (3 durum). Aylin Öğretmen hangi öğretmen koltuğuna oturursa otursun, hemen sağında ve solunda olmak üzere yan yana gelebileceği 2 öğrenci koltuğu vardır. Deniz bu 2 koltuktan birine oturur (2 durum). Geriye kalan 3 öğrenci boşta kalan 3 öğrenci koltuğuna 3! = 6 şekilde, geriye kalan 2 öğretmen ise 2! = 2 şekilde yerleşir. Aylin ile Deniz'in yan yana olduğu toplam durum sayısı: 3 * 2 * 6 * 2 = 72 olur.
İstenmeyen durumların sayısını tüm durumlardan çıkararak istenen sonucu bulmak (tümleyen yöntemi) daha kolaydır.
4
İstenen durumu bulmak için tüm durumlardan yan yana olunan durumları çıkarmak.
144 - 72 = 72 durum elde edilir.
Aylin Öğretmen ile Deniz'in yan yana oturmadığı durum sayısı, toplam dizilim sayısından yan yana oturdukları durum sayısının çıkarılmasıyla bulunur.

Key Concept

Koşullu permütasyon ve tümleyen yöntemi kullanarak istenmeyen durumların elenmesi.

Alternative Method

Aylin Öğretmen'in 2, 4 ve 6 numaralı koltuklara oturduğu durumlar ayrı ayrı incelenerek doğrudan çözüme ulaşılabilir. Aylin Öğretmen 2 veya 6 numaralı koltuğa oturduğunda (2 durum), Deniz bu koltukların yanındaki tek öğrenci koltuğuna oturamaz, dolayısıyla Deniz için kalan 3 öğrenci koltuğundan biri seçilir (3 durum). Kalan 3 öğrenci kendi arasında 3! = 6 şekilde, diğer 2 öğretmen ise 2! = 2 şekilde sıralanır. Buradan 2 * 3 * 6 * 2 = 72 durum gelir. Aylin Öğretmen 4 numaralı koltuğa oturduğunda (1 durum), Deniz bu koltuğun her iki yanındaki (3 ve 5 numaralı) koltuklara oturamaz. Dolayısıyla Deniz için uçlardaki 1 ve 7 numaralı koltuklar kalır (2 durum). Kalan 3 öğrenci kendi arasında 3! = 6 şekilde, diğer 2 öğretmen ise 2! = 2 şekilde sıralanır. Buradan 1 * 2 * 6 * 2 = 24 durum gelir. Toplam istenen durum sayısı ise 48 + 24 = 72 olarak hesaplanır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Permütasyon

More questions from this topic