Examkin

Question

Difficulty: Very hardPermütasyon

Bir tiyatro oyununun sahne duruşu provasında, boyları birbirinden farklı 33 kız ve 44 erkek oyuncu yan yana sıralanacaktır. Bu sıralama ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

- Kız oyuncular kendi aralarında soldan sağa doğru kısadan uzuna do��ru sıralanacaktır.
- Erkek oyuncular kendi aralarında soldan sağa doğru uzundan kısaya doğru sıralanacaktır.
- En kısa kız oyuncu ile en uzun erkek oyuncu yan yana duracaktır.

Buna göre, bu 77 oyuncu sahne üzerinde kaç farklı şekilde sıralanabilir?

  1. A
    1010
  2. B
    1515
  3. 2020Answer
  4. D
    3030
  5. E
    120120

Answer

Doğru cevap 20'dir.
En kısa kız (K1K_1) ve en uzun erkeğin (E1E_1) kendi gruplarının en solundaki elemanlar olması sebebiyle oluşturdukları blok sadece ilk iki sırada yer alabilir. Bu durumda kalan 5 yere diğer 5 oyuncu, kendi içlerindeki sıralamaları sabit olduğundan (52)=10\binom{5}{2} = 10 farklı şekilde yerleşir. Bloğun kendi içindeki 2 farklı durumu ile bu sayı çarpıldığında doğru sonuç olan 20 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Oyuncuları ve boy sıralaması kurallarını sembolik olarak ifade etme
Kız oyuncular boylarına göre kısadan uzuna K1,K2,K3K_1, K_2, K_3 ve erkek oyuncular uzundan kısaya E1,E2,E3,E4E_1, E_2, E_3, E_4 olarak adlandırılır. Bu durumda sıralamadaki konumları açısından pos(K1)<pos(K2)<pos(K3)pos(K_1) < pos(K_2) < pos(K_3) ve pos(E1)<pos(E2)<pos(E3)<pos(E4)pos(E_1) < pos(E_2) < pos(E_3) < pos(E_4) olmalıdır. En kısa kız K1K_1, en uzun erkek ise E1E_1 olur.
Sıralama kısıtlarını matematiksel olarak analiz edebilmek için her bir oyuncuyu tanımlamak gerekir.
2
K1K_1 ve E1E_1 oyuncularının oluşturduğu bloğun konumunu belirleme
K1K_1 ve E1E_1 yan yana duracağından bir blok oluştururlar. K1K_1 tüm kızların en solunda yer almalı, E1E_1 ise tüm erkeklerin en solunda yer almalıdır. Dolayısıyla bu bloğun solunda hiçbir oyuncu bulunamaz. Bu durum bloğun ancak ilk iki sırada (11 ve 22. pozisyonlar) yer alabileceğini gösterir.
Eğer blok daha sağda olsaydı, solundaki yerleri dolduracak hiçbir oyuncu sıralama şartını bozmadan yerleştirilemezdi.
3
Kalan pozisyonlara diğer oyuncuların yerleşim sayısını hesaplama
İlk iki pozisyon blok tarafından doldurulduktan sonra geriye 3,4,5,6,73, 4, 5, 6, 7 numaralı 55 pozisyon kalır. Bu 55 pozisyona yerleştirilecek oyuncular {K2,K3}\{K_2, K_3\} ve {E2,E3,E4}\{E_2, E_3, E_4\} gruplarıdır. Kalan 22 kız oyuncu için bu 55 pozisyondan 22 tanesi (52)=10\binom{5}{2} = 10 farklı şekilde seçilebilir. Seçim yapıldıktan sonra kızlar kendi içinde, kalan 33 yere yerleşen erkekler de kendi içinde tek şekilde sıralanmak zorundadır.
Relative (bağıl) sıralaması sabit olan elemanların yerleşimi kombinasyon seçimiyle benzersiz şekilde belirlenir.
4
Bloğun kendi içindeki dizilim durumlarını hesaba katarak toplam sonucu bulma
Blok, K1E1K_1E_1 veya E1K1E_1K_1 şeklinde 22 farklı sıralamaya sahip olabilir. Buradan toplam durum sayısı 2×10=202 \times 10 = 20 olarak bulunur.
Blok içindeki iki farklı elemanın kendi arasındaki yer değişimi bağımsız bir çarpım durumudur.

Key Concept

Koşullu permütasyonda elemanların bağıl (relative) sıralamasının sabit olduğu durumlarda kombinasyon kullanarak sıralama hesaplama
Rate this question

Topics

Permütasyon

More questions from this topic