Examkin

Permütasyon

18 questions

Question 1Question →

Bir grafik tasarımcı, bilgisayarının masaüstündeki yatay menü çubuğuna 33 farklı tasarım programının ve 22 farklı oyunun simgesini yan yana sıralayacaktır.

Buna göre, oyun simgelerinin yan yana bulunması koşuluyla bu 55 simge menü çubuğuna kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

Oyun simgelerinin bir blok kabul edilerek tasarım programlarıyla birlikte 4!4! ve oyun simgelerinin kendi arasında 2!2! sıralanmasıyla elde edilen 4848 değeri doğru cevaptır.
Oyun simgeleri tek bir blok olarak düşünüldüğünde, 3 tasarım simgesiyle birlikte toplam 4 nesne elde edilir. Bu 4 nesne 4!=244! = 24 farklı şekilde sıralanabilir. Oyun simgeleri de kendi arasında 2!=22! = 2 farklı şekilde yer değiştirebileceğinden, toplam dizilim sayısı 24×2=4824 \times 2 = 48 olur.

Step-by-Step Solution

1
Oyun simgelerini yan yana tutmak için onları tek bir eleman (blok) olarak kabul edin.
2 oyun simgesi tek bir blok (O1,O2)(O_1, O_2) haline getirilir. Geriye kalan 3 tasarım programı simgesi ile birlikte sıralanacak toplam nesne sayısı 1+3=41 + 3 = 4 olur.
Yan yana olması istenen elemanlar tek bir paket gibi düşünülmelidir.
2
Oluşan 4 nesnenin yan yana sıralanma sayısını hesaplayın.
4!=244! = 24 farklı dizilim elde edilir.
Farklı nesnelerin düz bir hatta sıralanma sayısı permütasyon formülü (n!n!) ile bulunur.
3
Blok içindeki oyun simgelerinin kendi aralarındaki yer değiştirme sayısını hesaplayın.
2!=22! = 2 farklı yer değişim durumu oluşur.
Aynı blok içindeki farklı nesneler de kendi aralarında sıralanabilir.
4
Toplam sıralama sayısını bulmak için elde edilen durumları çarpma yoluyla sayma kuralına göre çarpın.
24×2=4824 \times 2 = 48 farklı sıralama elde edilir.
Birbirine bağlı bağımsız adımların oluşturduğu toplam durum sayısı çarpılarak hesaplanır.

Key Concept

Koşullu Permütasyon (Elemanların yan yana olması durumu)
Question 2Question →

Bir şirketin yönetim kurulunda bulunan 55 kişi, yan yana duran 55 sandalyeye oturacaktır. Bu kişilerden başkan ve başkan yardımcısının yan yana oturması koşuluyla, bu kişiler sandalyelere kaç farklı şekilde oturabilirler?

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

Başkan ve başkan yardımcısının yan yana oturduğu durumların sayısı 48'dir.
Başkan ve başkan yardımcısını tek bir kişi olarak grupladığımızda sıralanacak nesne sayısı 4'e düşer. Bu 4 nesne 4!=244! = 24 farklı şekilde sıralanır. Yan yana olan iki kişi de kendi aralarında 2!=22! = 2 farklı şekilde yer değiştirebileceğinden, toplam sıralama sayısı 24×2=4824 \times 2 = 48 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Koşula uygun gruplama yapılması
Başkan ve başkan yardımcısının yan yana oturması istendiğinden, bu iki kişi tek bir eleman (grup) olarak kabul edilir. Bu durumda geriye kalan 3 üye ile birlikte sıralanacak toplam eleman sayısı 4 olur.
Yan yana oturması istenen elemanlar birlikte hareket ettikleri için tek bir eleman gibi düşünülür.
2
Oluşan yeni grupların ve kişilerin yan yana sıralama sayısının hesaplanması
4 elemanın yan yana sıralanma sayısı 4!=244! = 24 olarak bulunur.
Farklı n eleman yan yana n!n! farklı şekilde sıralanabilir.
3
Grup içindeki elemanların yer değişiminin hesaplanması ve toplam sonucun bulunması
Başkan ve başkan yardımcısı kendi aralarında 2!=22! = 2 farklı şekilde yer değiştirebilir. Çarpma kuralı gereği toplam sıralama sayısı 24×2=4824 \times 2 = 48 olur.
Hem ana grubun sıralanması hem de grup içi elemanların sıralanması bağımsız olaylar olduğundan çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır.

Key Concept

Koşullu permütasyon (belirli elemanların yan yana bulunması durumunda bloklama yöntemi kullanımı)
Question 3Question →

Bir müzede sergilenecek olan 55 farklı kupa, yan yana duran 55 bölmeli bir rafa her bölmede bir kupa olacak şekilde dizilecektir. Bu kupalardan en değerli olan iki kupanın yan yana bölmelerde yer alması istenmektedir. Buna göre, bu kupalar rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

Kupaların rafa dizilebileceği farklı durumların sayısı 48'dir.
Yan yana gelmesi istenen en değerli iki kupa tek bir kupa olarak kabul edilir. Bu durumda rafta dizilmesi gereken nesne sayısı 4'e düşer. 4 nesne yan yana 4!=244! = 24 farklı şekilde dizilebilir. Ayrıca, tek bir kupa olarak kabul ettiğimiz bu iki kupa kendi arasında 2!=22! = 2 farklı şekilde yer değiştirebilir. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre, tüm koşulları sağlayan toplam dizilim sayısı 24×2=4824 \times 2 = 48 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Yan yana durması istenen iki kupayı tek bir eleman olarak gruplandırın.
Bu iki kupa bir bütün olarak kabul edildiğinde, geriye kalan 3 kupa ile birlikte sıralanacak toplam eleman sayısı 4 olur.
Koşullu permütasyon sorularında yan yana olması istenen elemanlar tek bir nesne gibi düşünülerek işlem kolaylaştırılır.
2
Elde edilen 4 elemanın doğrusal bir rafa kaç farklı şekilde dizilebileceğini hesaplayın.
4!=244! = 24 farklı dizilim elde edilir.
Farklı n elemanın doğrusal bir sıra boyunca dizilimlerinin sayısı n! permütasyon formülü ile bulunur.
3
Grup içindeki iki kupanın kendi arasındaki yer değiştirme durumunu hesaplayın ve toplam durum sayısını bulun.
Grup içindeki kupalar kendi aralarında 2!=22! = 2 farklı şekilde sıralanabilir. Toplam dizilim sayısı ise 24×2=4824 \times 2 = 48 olur.
Çarpma yoluyla sayma kuralı gereğince, bağımsız olarak gerçekleşen bu iki sıralama durumunun çarpılması gerekir.

Key Concept

Koşullu Permütasyon

Alternative Method

Alternatif olarak, tüm olası dizilimlerin sayısından (5!=1205! = 120), bu iki değerli kupanın yan yana OLMADIĞI durumların sayısını çıkarabiliriz. İki değerli kupanın yan yana olmadığı durumları bulmak için önce diğer 3 kupayı dizeriz (3!=63! = 6 durum). Bu 3 kupanın oluşturduğu 4 boşluğa 2 değerli kupayı yerleştiririz. İlk değerli kupa için 4 boşluk, ikincisi için 3 boşluk vardır (4×3=124 \times 3 = 12 durum). Buradan yan yana olmadıkları durumlar 6×12=726 \times 12 = 72 olur. Tüm durumlardan çıkarırsak 120−72=48120 - 72 = 48 elde edilir.
Estimated Time:1m 0s
Question 4Question →

Bir tiyatro oyununun sahne duruşu provasında, boyları birbirinden farklı 33 kız ve 44 erkek oyuncu yan yana sıralanacaktır. Bu sıralama ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

- Kız oyuncular kendi aralarında soldan sağa doğru kısadan uzuna do��ru sıralanacaktır.
- Erkek oyuncular kendi aralarında soldan sağa doğru uzundan kısaya doğru sıralanacaktır.
- En kısa kız oyuncu ile en uzun erkek oyuncu yan yana duracaktır.

Buna göre, bu 77 oyuncu sahne üzerinde kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Show answer & explanation

Answer: 2020

Answer

Doğru cevap 20'dir.
En kısa kız (K1K_1) ve en uzun erkeğin (E1E_1) kendi gruplarının en solundaki elemanlar olması sebebiyle oluşturdukları blok sadece ilk iki sırada yer alabilir. Bu durumda kalan 5 yere diğer 5 oyuncu, kendi içlerindeki sıralamaları sabit olduğundan (52)=10\binom{5}{2} = 10 farklı şekilde yerleşir. Bloğun kendi içindeki 2 farklı durumu ile bu sayı çarpıldığında doğru sonuç olan 20 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Oyuncuları ve boy sıralaması kurallarını sembolik olarak ifade etme
Kız oyuncular boylarına göre kısadan uzuna K1,K2,K3K_1, K_2, K_3 ve erkek oyuncular uzundan kısaya E1,E2,E3,E4E_1, E_2, E_3, E_4 olarak adlandırılır. Bu durumda sıralamadaki konumları açısından pos(K1)<pos(K2)<pos(K3)pos(K_1) < pos(K_2) < pos(K_3) ve pos(E1)<pos(E2)<pos(E3)<pos(E4)pos(E_1) < pos(E_2) < pos(E_3) < pos(E_4) olmalıdır. En kısa kız K1K_1, en uzun erkek ise E1E_1 olur.
Sıralama kısıtlarını matematiksel olarak analiz edebilmek için her bir oyuncuyu tanımlamak gerekir.
2
K1K_1 ve E1E_1 oyuncularının oluşturduğu bloğun konumunu belirleme
K1K_1 ve E1E_1 yan yana duracağından bir blok oluştururlar. K1K_1 tüm kızların en solunda yer almalı, E1E_1 ise tüm erkeklerin en solunda yer almalıdır. Dolayısıyla bu bloğun solunda hiçbir oyuncu bulunamaz. Bu durum bloğun ancak ilk iki sırada (11 ve 22. pozisyonlar) yer alabileceğini gösterir.
Eğer blok daha sağda olsaydı, solundaki yerleri dolduracak hiçbir oyuncu sıralama şartını bozmadan yerleştirilemezdi.
3
Kalan pozisyonlara diğer oyuncuların yerleşim sayısını hesaplama
İlk iki pozisyon blok tarafından doldurulduktan sonra geriye 3,4,5,6,73, 4, 5, 6, 7 numaralı 55 pozisyon kalır. Bu 55 pozisyona yerleştirilecek oyuncular {K2,K3}\{K_2, K_3\} ve {E2,E3,E4}\{E_2, E_3, E_4\} gruplarıdır. Kalan 22 kız oyuncu için bu 55 pozisyondan 22 tanesi (52)=10\binom{5}{2} = 10 farklı şekilde seçilebilir. Seçim yapıldıktan sonra kızlar kendi içinde, kalan 33 yere yerleşen erkekler de kendi içinde tek şekilde sıralanmak zorundadır.
Relative (bağıl) sıralaması sabit olan elemanların yerleşimi kombinasyon seçimiyle benzersiz şekilde belirlenir.
4
Bloğun kendi içindeki dizilim durumlarını hesaba katarak toplam sonucu bulma
Blok, K1E1K_1E_1 veya E1K1E_1K_1 şeklinde 22 farklı sıralamaya sahip olabilir. Buradan toplam durum sayısı 2×10=202 \times 10 = 20 olarak bulunur.
Blok içindeki iki farklı elemanın kendi arasındaki yer değişimi bağımsız bir çarpım durumudur.

Key Concept

Koşullu permütasyonda elemanların bağıl (relative) sıralamasının sabit olduğu durumlarda kombinasyon kullanarak sıralama hesaplama
Question 5Question →

Kübra, elindeki 6 farklı renkteki boya kalemini kullanarak yan yana dizilmiş 6 bölmeli bir kutuyu boyayacaktır. Boyama işlemiyle ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:

* Her bölme farklı bir renkle boyanacaktır.
* Mavi ve yeşil renkli bölmeler yan yana olmayacaktır.
* Sarı renkli bölme, kırmızı renkli bölmenin solunda yer alacaktır.
* Turuncu renkli bölme, mor renkli bölmenin hemen sağında yer alacaktır.

Buna göre, Kübra bu kutuyu kaç farklı şekilde boyayabilir?

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Kübra bu kutuyu 36 farklı şekilde boyayabilir.
Mor ve turuncu bölmeler tek bir nesne olarak kabul edildiğinde toplam nesne sayısı 5 olur. Bu nesnelerin kendi aralarındaki diziliminde sarı bölmenin kırmızı bölmenin solunda olduğu 60 farklı durum vardır. Mavi ve yeşilin yan yana geldiği 24 durum bu 60 durumdan çıkarıldığında geriye koşullara uyan 36 farklı sıralama kalır.

Step-by-Step Solution

1
Mor ve turuncu bölmelerin yan yana olma durumunu tek bir blok olarak tanımlama.
Turuncu bölme mor bölmenin hemen sağında olacağı için bu iki bölme (Mor-Turuncu) şeklinde tek bir grup olarak düşünülür. Bu grubun kendi içinde yer değiştirme hakkı yoktur (sadece tek bir sıra mümkündür). Böylece elimizde 5 farklı nesne kalır: Mavi (M), Yeşil (Y), Sarı (S), Kırmızı (K) ve (Mor-Turuncu) grubu.
Koşullardan biri iki elemanın belirli bir sırada yan yana olmasını gerektirmektedir.
2
Sarı ve kırmızı bölmelerin konum ilişkisine göre olası tüm sıralamaları hesaplama.
Mavi ve yeşil bölmelerin yan yana olmama koşulunu şimdilik göz ardı ederek, elimizdeki 5 nesnenin toplam sıralama sayısı 5!=1205! = 120 olur. Sarı bölmenin kırmızı bölmenin solunda yer aldığı durumlar, simetri gereği tüm durumların yarısı kadardır. Dolayısıyla 120/2=60120 / 2 = 60 farklı sıralama elde edilir.
İki nesnenin birbirine göre sağda veya solda olma durumlarının sayısı tüm durumların yarısına eşittir.
3
Mavi ve yeşil bölmelerin yan yana geldiği istenmeyen durumları hesaplama.
Mavi ve yeşil bölmelerin yan yana olduğu durumları bulmak için bu iki bölmeyi de tek bir blok (Mavi-Yeşil) olarak gruplarız. Bu blok kendi içinde (Mavi-Yeşil) veya (Yeşil-Mavi) olmak üzere 2!=22! = 2 farklı şekilde sıralanabilir. Bu durumda elimizde 4 nesne kalır: (Mavi-Yeşil) grubu, Sarı, Kırmızı ve (Mor-Turuncu) grubu. Bu 4 nesnenin sıralanma sayısı 4!=244! = 24'tür. Sarı bölmenin kırmızı bölmenin solunda olduğu durumlar yine simetri gereği yarısı kadardır: 24/2=1224 / 2 = 12. Mavi ve yeşil kendi arasında 22 farklı şekilde yer değiştirebileceği için istenmeyen durumların toplam sayısı 12×2=2412 \times 2 = 24 olur.
Mavi ve yeşil bölmelerin yan yana olmama koşulunu sağlamak amacıyla, yan yana oldukları durumların sayısını tüm durumlardan çıkarmamız gerekir.
4
İstenmeyen durumları tüm durumlardan çıkararak sonucu bulma.
60−24=3660 - 24 = 36 farklı geçerli boyama şekli bulunur.
Kümelerdeki tümleme prensibi kullanılarak istenen koşulun sağlandığı durum sayısı hesaplanır.

Key Concept

Koşullu doğrusal permütasyon ve tümleme yöntemi
Question 6Question →

Bir okulun yıl sonu gösterisinde sunum yapacak olan 3 öğretmen (Aylin, Bülent, Ceyda) ve 4 öğrenci (Deniz, Elif, Fatih, Gizem) sahnedeki yan yana dizilmiş 7 sandalyeye oturacaklardır.

Oturma düzeniyle ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:
- Her bir öğretmenin hem sağındaki hem de solundaki sandalyede birer öğrenci oturacaktır.
- Aylin Öğretmen ile Deniz isimli öğrenci yan yana oturmayacaktır.

Buna göre, bu öğretmen ve öğrenciler sandalyelere kaç farklı şekilde oturabilirler?

Show answer & explanation

Answer: 72

Answer

72 farklı şekilde oturabilirler.
Doğru cevap 72'dir. Öğretmenlerin her birinin sağında ve solunda birer öğrenci olması koşuluyla oturma düzeni yalnızca Ö-G-Ö-G-Ö-G-Ö (Ö: Öğrenci, G: Öğretmen) biçiminde olabilir. Bu durumda 4 öğrenci 4! = 24, 3 öğretmen 3! = 6 farklı şekilde sıralanabilir ve toplam 144 durum oluşur. Aylin Öğretmen ile Deniz'in yan yana oturduğu durumlar incelendiğinde; Aylin Öğretmen'in oturabileceği 3 koltuk (2, 4, 6) vardır ve her biri için Deniz'in oturabileceği 2 yan koltuk bulunur. Kalan 3 öğrenci kendi arasında 3! = 6, kalan 2 öğretmen kendi arasında 2! = 2 şekilde sıralanır. Böylece yan yana oturdukları durum sayısı 3 * 2 * 6 * 2 = 72 olur. Tüm durumlardan bu değer çıkarıldığında istenen durum sayısı 144 - 72 = 72 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Öğretmen ve öğrencilerin oturabileceği koltuk düzenini belirlemek.
Öğretmenler sadece 2, 4 ve 6. koltuklara; öğrenciler ise 1, 3, 5 ve 7. koltuklara oturabilir. Bu durum Ö-G-Ö-G-Ö-G-Ö şeklinde tek bir şablon oluşturur (Ö: Öğrenci, G: Öğretmen).
Her öğretmenin sağında ve solunda birer öğrenci bulunması gerektiğinden, hiçbir öğretmen uçlardaki (1 ve 7) koltuklara oturamaz ve hiçbir iki öğretmen yan yana gelemez.
2
Herhangi bir kısıtlama olmaksızın öğretmen ve öğrencilerin kendi aralarındaki tüm dizilim sayılarını hesaplamak.
4 öğrenci kendi arasında 4! = 24 farklı şekilde, 3 öğretmen kendi arasında 3! = 6 farklı şekilde sıralanabilir. Toplam dizilim sayısı: 24 * 6 = 144 olur.
Kişiler farklı olduğu için belirlenen koltuk tiplerine göre kendi aralarında permütasyon yapılır.
3
Aylin Öğretmen ile Deniz'in yan yana oturduğu durumların sayısını hesaplamak.
Aylin Öğretmen 2, 4 veya 6. koltuklara oturabilir (3 durum). Aylin Öğretmen hangi öğretmen koltuğuna oturursa otursun, hemen sağında ve solunda olmak üzere yan yana gelebileceği 2 öğrenci koltuğu vardır. Deniz bu 2 koltuktan birine oturur (2 durum). Geriye kalan 3 öğrenci boşta kalan 3 öğrenci koltuğuna 3! = 6 şekilde, geriye kalan 2 öğretmen ise 2! = 2 şekilde yerleşir. Aylin ile Deniz'in yan yana olduğu toplam durum sayısı: 3 * 2 * 6 * 2 = 72 olur.
İstenmeyen durumların sayısını tüm durumlardan çıkararak istenen sonucu bulmak (tümleyen yöntemi) daha kolaydır.
4
İstenen durumu bulmak için tüm durumlardan yan yana olunan durumları çıkarmak.
144 - 72 = 72 durum elde edilir.
Aylin Öğretmen ile Deniz'in yan yana oturmadığı durum sayısı, toplam dizilim sayısından yan yana oturdukları durum sayısının çıkarılmasıyla bulunur.

Key Concept

Koşullu permütasyon ve tümleyen yöntemi kullanarak istenmeyen durumların elenmesi.

Alternative Method

Aylin Öğretmen'in 2, 4 ve 6 numaralı koltuklara oturduğu durumlar ayrı ayrı incelenerek doğrudan çözüme ulaşılabilir. Aylin Öğretmen 2 veya 6 numaralı koltuğa oturduğunda (2 durum), Deniz bu koltukların yanındaki tek öğrenci koltuğuna oturamaz, dolayısıyla Deniz için kalan 3 öğrenci koltuğundan biri seçilir (3 durum). Kalan 3 öğrenci kendi arasında 3! = 6 şekilde, diğer 2 öğretmen ise 2! = 2 şekilde sıralanır. Buradan 2 * 3 * 6 * 2 = 72 durum gelir. Aylin Öğretmen 4 numaralı koltuğa oturduğunda (1 durum), Deniz bu koltuğun her iki yanındaki (3 ve 5 numaralı) koltuklara oturamaz. Dolayısıyla Deniz için uçlardaki 1 ve 7 numaralı koltuklar kalır (2 durum). Kalan 3 öğrenci kendi arasında 3! = 6 şekilde, diğer 2 öğretmen ise 2! = 2 şekilde sıralanır. Buradan 1 * 2 * 6 * 2 = 24 durum gelir. Toplam istenen durum sayısı ise 48 + 24 = 72 olarak hesaplanır.
Estimated Time:2m 0s
Question 7Question →

Bir eğitim kurumunda bir günde yapılacak 7 ders saatlik bir seminer programında; 3 farklı kişisel gelişim semineri ve 4 farklı mesleki gelişim semineri verilecektir. Bu seminerlerin programlanmasıyla ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:

- Her ders saatinde yalnızca bir seminer verilecektir.
- Kişisel gelişim seminerlerinin herhangi ikisi ardışık ders saatlerinde verilmeyecektir.
- Mesleki gelişim seminerleri, 1'den 4'e kadar numaralandırılmış olup bu seminerler numaralarına göre küçükten büyüğe doğru kronolojik sırada (yani 1. seminer 2.'den önce, 2. seminer 3.'den önce, 3. seminer de 4.'den önce olacak şekilde) verilecektir (aralarda kişisel gelişim seminerleri bulunabilir).

Buna göre, bu seminer programı kaç farklı şekilde hazırlanabilir?

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

Seminer programı 60 farklı şekilde hazırlanabilir.
Mesleki gelişim seminerlerinin sırası numaralarına göre sabit olduğundan sıralamaya bir etkisi yoktur. Kişisel gelişim seminerlerinin ardışık olmaması için, mesleki gelişim seminerlerinin oluşturduğu 5 boşluktan 3'ü seçilir ve bu 3 seminer seçilen boşluklara sıralanır. Bu işlem (53)×3!=60\binom{5}{3} \times 3! = 60 farklı durum oluşturur.

Step-by-Step Solution

1
Mesleki gelişim seminerlerinin kendi aralarındaki sıralamasının sabit olduğunu belirleme.
4 mesleki gelişim seminerinin kendi içindeki sırası tektir (M1→M2→M3→M4M_1 \rightarrow M_2 \rightarrow M_3 \rightarrow M_4).
Soruda bu seminerlerin numaralarına göre artan sırada (kronolojik olarak) verilmesi gerektiği belirtilmiştir.
2
Kişisel gelişim seminerlerinin ardışık olmaması için yerleştirilebileceği boşlukları tespit etme.
4 mesleki gelişim seminerinin arasında ve uçlarında toplam 5 boşluk bulunur: _ M1 _ M2 _ M3 _ M4 _\_ \, M_1 \, \_ \, M_2 \, \_ \, M_3 \, \_ \, M_4 \, \_.
Herhangi iki kişisel gelişim seminerinin yan yana gelmemesi için bu seminerlerin farklı boşluklara yerleştirilmesi gerekir.
3
Kişisel gelişim seminerleri için boşlukları seçme ve seminerleri sıralama.
5 boşluktan 3 tanesi (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı şekilde seçilir ve 3 farklı kişisel gelişim semineri buralara 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanır.
Kişisel gelişim seminerleri birbirinden farklı olduğu için seçilen boşluklara dizilim sıraları önemlidir.
4
Toplam dizilim sayısını hesaplama.
10×6×1=6010 \times 6 \times 1 = 60 farklı dizilim elde edilir.
Yapılan bağımsız seçim ve sıralama işlemlerinin çarpım kuralı gereğince çarpılması gerekir.

Key Concept

Koşullu permütasyon ve nesnelerin belirli bir sıraya göre dizilimi.
Estimated Time:2m 0s
Question 8Question →

Bir veri tabanı için 7 haneli bir güvenlik kodu oluşturulacaktır. Bu kodda 1,2,3,4,5,6,71, 2, 3, 4, 5, 6, 7 rakamlarının her biri tam olarak birer kez kullanılacaktır.

Güvenlik kodu oluşturulurken şu kurallara uyulacaktır:
- Tek rakamlar (1,3,5,71, 3, 5, 7), kendi aralarında soldan sağa doğru artan sırada olmalıdır.
- Çift rakamların (2,4,62, 4, 6) herhangi ikisi yan yana gelmemelidir.

Buna göre, bu kurallara uygun kaç farklı güvenlik kodu oluşturulabilir?

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

Kurallara uygun oluşturulabilecek güvenlik kodu sayısı 60'tır.
Doğru cevap olan 60 seçeneği; tek rakamların kendi aralarındaki sıralanışının tek türlü (1 durum) olması, çift rakamların yan yana gelmemesi için 4 tek rakamın oluşturduğu 5 boşluktan 3 tanesinin seçilmesi (10 durum) ve seçilen bu boşluklara çift rakamların yerleştirilmesi (6 durum) işlemlerinin çarpılmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Tek rakamların dizilimini sembolik olarak yerleştirme
Tek rakamlar kendi aralarında soldan sağa doğru artan sırada (1,3,5,71, 3, 5, 7) olmak zorunda olduğundan, dizilimdeki yerleri belirlendiğinde bu sayıların kendi içindeki sırası tektir (1 durum).
Soruda tek rakamların kendi aralarında artan sırada olması istendiği için sıralama sabittir ve ekstra bir permütasyon işlemi gerektirmez.
2
Çift rakamların yerleştirilebileceği boşlukları belirleme
4 tek rakam yan yana dizildiğinde aralarında ve uçlarında toplam 5 adet boşluk oluşur: _T_T_T_T_\_ \text{T} \_ \text{T} \_ \text{T} \_ \text{T} \_
Çift rakamların herhangi ikisinin yan yana gelmemesi için bu boşluklardan seçilecek farklı yerlere yerleştirilmeleri gerekir.
3
Boşluk seçimi ve çift rakamların sıralanması
5 boşluktan çift rakamlar için 3 tanesi (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı şekilde seçilir. Seçilen bu 3 yere 3 farklı çift rakam (2,4,62, 4, 6) kendi aralarında 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanabilir.
Çift rakamlar birbirinden farklı olduğu için seçilen boşluklara farklı sıralamalarla yerleşebilirler.
4
Toplam durum sayısını hesaplama
Toplam durum sayısı: (53)×3!×1=10×6×1=60\binom{5}{3} \times 3! \times 1 = 10 \times 6 \times 1 = 60 olarak bulunur.
Bağımsız seçim ve sıralama adımlarının çarpım kuralı ile birleştirilmesi gerekir.

Key Concept

Koşullu permütasyon problemlerinde belirli elemanların yan yana gelmemesi durumunda, diğer elemanların oluşturduğu boşluklara yerleştirme yöntemi kullanılır. Belirli elemanların kendi aralarında sıralanışının sabit olması durumunda ise sıralama sayısı 1 olarak alınır.
Question 9Question →

Bir restoranın vitrininde sergilenmek üzere 33 farklı çorba, 33 farklı ana yemek ve 22 farklı tatlı yan yana sıralanacaktır. Bu yemeklerin sıralanmasında;

* Çorbaların tamamının yan yana olması,
* Herhangi iki ana yemeğin yan yana gelmemesi

koşulları aranmaktadır. Buna göre, bu yemekler vitrinde kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Show answer & explanation

Answer: 864

Answer

Yemekler vitrinde 864 farklı şekilde sıralanabilir.
Çorbaların bir arada olduğu ve ana yemeklerin yan yana gelmediği durum sayısı, çorba bloğu ile tatlıların sıralanması olan 3!×3!=363! \times 3! = 36 ile ana yemeklerin yerleştirilebileceği boşlukların permütasyonu olan P(4,3)=24P(4,3) = 24 değerlerinin çarpılması sonucu 864864 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Çorbaların yan yana olma koşulunu değerlendirmek amacıyla çorbaları tek bir nesne olarak gruplamak.
33 farklı çorba tek bir blok (C\c1C\c2C\c3)(Ç_1Ç_2Ç_3) haline getirilir. Bu blok ve 22 farklı tatlı ile birlikte sıralanacak toplam nesne sayısı 33 olur. Bu 33 nesne kendi aralarında 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanabilir.
Yan yana bulunması zorunlu olan elemanlar tek bir eleman gibi düşünülerek genel dizilim hesaplanır.
2
Grup haline getirilen çorbaların kendi aralarındaki sıralanışını hesaplamak.
Blok içindeki 33 farklı çorba kendi arasında 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanabilir.
Grup içindeki elemanlar birbirinden farklı olduğundan kendi aralarında yer değiştirebilirler.
3
Ana yemeklerin yan yana gelmemesi koşulunu sağlamak için boşlukları belirlemek ve yerleştirmek.
İlk iki adımda sıralanan 33 nesnenin arasında ve uçlarında toplam 44 boşluk (_Nesne1_Nesne2_Nesne3_\_ \text{Nesne}_1 \_ \text{Nesne}_2 \_ \text{Nesne}_3 \_) oluşur. 33 farklı ana yemek bu 44 boşluğa P(4,3)=4×3×2=24P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24 farklı şekilde yerleştirilir.
Belirli elemanların yan yana gelmemesi için diğer elemanların oluşturduğu boşluklara dağıtılması gerekir.
4
Elde edilen tüm durumları çarparak toplam sıralama sayısını bulmak.
Toplam sıralama sayısı 3!×3!×P(4,3)=6×6×24=8643! \times 3! \times P(4, 3) = 6 \times 6 \times 24 = 864 olarak hesaplanır.
Birbirine bağlı sıralama aşamaları çarpım yoluyla sayma kuralı gereğince çarpılır.

Key Concept

Koşullu permütasyon ve nesnelerin yan yana gelmeme durumlarının boşluk yöntemiyle hesabı.
Question 10Question →

Bir üniversitenin kariyer günlerinde 3 farklı bilişim sunumu (B1,B2,B3B_1, B_2, B_3) ve 4 farklı mühendislik sunumu (M1,M2,M3,M4M_1, M_2, M_3, M_4) arka arkaya yapılacaktır. Bu sunumların sıralamasıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

- Herhangi iki bilişim sunumu arka arkaya yapılmayacaktır.
- B1B_1 sunumu ile M1M_1 sunumu ardışık zaman dilimlerinde (biri diğerinin hemen ardından) yapılmayacaktır.

Buna göre, bu sunumlar kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Show answer & explanation

Answer: 864

Answer

Bu sunumlar 864 farklı şekilde sıralanabilir.
Bilişim sunumlarının yan yana gelmediği tüm durumlardan, birinci bilişim sunumu ile birinci mühendislik sunumunun yan yana geldiği durumların çıkarılmasıyla 864 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Mühendislik sunumlarının kendi aralarındaki sıralanış sayısını hesaplama.
4!=244! = 24 farklı sıralama.
4 farklı mühendislik sunumu (M1,M2,M3,M4M_1, M_2, M_3, M_4) kendi aralarında serbestçe sıralanabilir.
2
Bilişim sunumlarının yerleştirilebileceği boşlukları belirleme ve herhangi iki bilişim sunumunun yan yana gelmediği toplam durum sayısını hesaplama.
P(5,3)=60P(5, 3) = 60 yerleşim. Toplamda 24×60=144024 \times 60 = 1440 durum.
Mühendislik sunumlarının aralarında ve uçlarında toplam 5 boşluk bulunur. 3 bilişim sunumunu bu boşluklara yerleştirerek yan yana gelmelerini önleriz.
3
B1B_1 ile M1M_1 sunumlarının ardışık (yan yana) olduğu durumları M1M_1'in konumuna göre gruplandırarak hesaplama.
M1M_1 başta/sonda iken 288 durum, M1M_1 ortada iken 288 durum olmak üzere toplam 576 durum.
M1M_1'in her konumu için ona komşu olan 2 boşluk bulunur. B1B_1 bu boşluklardan birine yerleştirildikten sonra diğer 2 bilişim sunumu kalan 4 boşluğa yerleştirilir.
4
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak nihai sonucu bulma.
1440−576=8641440 - 576 = 864 farklı sıralama.
Bilişim sunumlarının yan yana gelmediği durumlardan, ek olarak B1B_1 ve M1M_1'in yan yana geldiği durumları çıkardığımızda her iki koşul da sağlanmış olur.

Key Concept

Permütasyon
Question 11Question →

Bir müziksever, çalma listesindeki birbirinden farklı 33 klasik müzik ve 33 rock müzik parçasını sırayla dinleyecektir. Bu kişinin rock müzik parçalarını art arda (yan yana) dinlemek istemediği bilindiğine göre, bu 66 müzik parçası kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Show answer & explanation

Answer: 144144

Answer

144
Klasik müzik parçaları 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanabilir. Rock müzik parçalarının yan yana gelmemesi için bu parçalar, klasik müzik parçalarının soluna, sağına veya aralarına gelen 44 boşluktan seçilecek 33 boşluğa yerleştirilmelidir. Boşluk seçimi C(4,3)=4C(4,3) = 4 farklı şekilde yapılır. Yerleştirilen rock parçaları da kendi arasında 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanabileceğinden, toplam sıralama sayısı 3!×C(4,3)×3!=6×4×6=1443! \times C(4,3) \times 3! = 6 \times 4 \times 6 = 144 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Klasik müzik parçalarının kendi aralarındaki sıralanma sayısını hesaplama
3!=63! = 6
33 farklı klasik müzik parçası yan yana 3!3! farklı şekilde sıralanabilir.
2
Rock müzik parçalarının yerleştirilebileceği boşluk sayısını belirleme ve yer seçimi yapma
C(4,3)=4C(4,3) = 4
Rock müzik parçalarının yan yana gelmemesi için klasik müzik parçalarının oluşturduğu 44 boşluktan (_K_K_K_\_ \text{K} \_ \text{K} \_ \text{K} \_) 33 tanesi seçilmelidir.
3
Rock müzik parçalarının kendi aralarındaki sıralanma sayısını hesaplama ve toplam sıralama sayısını bulma
3!=63! = 6 ve toplam durum: 6×4×6=1446 \times 4 \times 6 = 144
Seçilen boşluklara yerleştirilen 33 farklı rock müzik parçası kendi arasında 3!3! farklı şekilde sıralanır. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre tüm bu durumlar çarpılır.

Key Concept

Koşullu permütasyon ve nesnelerin yan yana gelmeme durumlarının hesaplanması.
Question 12Question →

Bir okulun basketbol takımında yer alan 5 sporcu, antrenman sonrasında yan yana yerleştirilmiş 5 sandalyeye oturacaktır.

Bu sporculardan Can ve Efe'nin arasında en az bir sporcunun bulunması koşuluyla, bu 5 sporcu sandalyelere kaç farklı şekilde oturabilir?

Show answer & explanation

Answer: 72

Answer

Can ve Efe'nin arasında en az bir sporcu olacak biçimde 72 farklı sıralama yapılabilir.
Tüm olası dizilimlerin sayısından (5!=1205! = 120), Can ve Efe'nin yan yana oturduğu durumların sayısı (4!×2!=484! \times 2! = 48) çıkarılarak aralarında en az bir sporcunun bulunduğu dizilimlerin sayısı 72 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
5 sporcunun 5 sandalyeye herhangi bir kısıtlama olmaksızın oturabileceği tüm durumların sayısını hesaplayalım.
5!=1205! = 120
Kısıtlamasız durumda her sporcu bir sandalyeye yerleşeceğinden toplam sıralama sayısı 5 faktöriyeldir.
2
Can ve Efe'nin yan yana oturduğu (istenmeyen) durumların sayısını bulalım.
4!×2!=24×2=484! \times 2! = 24 \times 2 = 48
Can ve Efe tek bir eleman gibi bir arada düşünülürse toplam 4 eleman sıralanır (4!4!). Can ve Efe kendi aralarında yer değiştirebilir (2!2!).
3
Tüm durumlardan istenmeyen durumların sayısını çıkaralım.
120−48=72120 - 48 = 72
Tüm durumlardan yan yana oldukları durumlar çıkarıldığında, aralarında en az bir sporcunun bulunduğu durumlar elde edilir.

Key Concept

Permütasyon ve Tümleme Yöntemi
Question 13Question →

Bir şirketin insan kaynakları departmanında çalışan Esra, 5 farklı mavi klasör ile 3 farklı kırmızı klasörü arşiv rafına yan yana dizecektir.

Dizilimin başında ve sonunda mavi klasörlerin bulunması ve herhangi iki kırmızı klasörün yan yana gelmemesi istenmektedir.

Buna göre, Esra bu klasörleri kaç farklı şekilde dizebilir?

Show answer & explanation

Answer: 2880

Answer

Doğru cevap 2880 sayısıdır.
Doğru cevap olan 2880 sayısı, başa ve sona yerleştirilecek mavi klasörlerin sıralama sayısı ile ortada kalan klasörlerin kırmızı klasörler yan yana gelmeyecek şekildeki sıralama sayısının çarpılmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İlk ve son sıraya yerleştirilecek mavi klasörlerin seçimi ve dizilimi.
5 mavi klasörden 2 tanesi seçilip başa ve sona P(5,2)=5×4=20P(5, 2) = 5 \times 4 = 20 farklı şekilde dizilir.
Soruda dizilimin başında ve sonunda mavi klasör bulunması şart koşulmuştur.
2
Kalan 6 sıraya (ortadaki 6 yer) 3 mavi ve 3 kırmızı klasörün, kırmızı klasörler yan yana gelmeyecek şekilde yerleştirilmesi için uygun şablonların belirlenmesi.
3 mavi klasör (MM) yan yana dizildiğinde oluşan boşluklara kırmızı klasörler (KK) yerleştirilmelidir: _ M _ M _ M _\_ \text{ } M \text{ } \_ \text{ } M \text{ } \_ \text{ } M \text{ } \_. Bu 4 boşluktan 3 tanesi kırmızı klasörler için seçilir. Bu seçim (43)=4\binom{4}{3} = 4 farklı şablon oluşturur.
Kırmızı klasörlerin yan yana gelmemesi için her bir kırmızı klasörün farklı bir boşluğa yerleştirilmesi gerekir.
3
Belirlenen şablonlardaki klasörlerin kendi aralarındaki sıralanışlarının hesaplanması.
3 kırmızı klasör kendi arasında 3!=63! = 6 farklı şekilde, ortadaki 3 mavi klasör de kendi arasında 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanır. Ortadaki dizilim sayısı: 4×6×6=1444 \times 6 \times 6 = 144 olur.
Klasörlerin hepsi birbirinden farklı olduğundan, kendi aralarındaki yer değişimleri farklı dizilimler üretir.
4
Toplam dizilim sayısının hesaplanması.
20×144=288020 \times 144 = 2880 farklı dizilim elde edilir.
Çarpma yoluyla sayma kuralı gereği, bağımsız adımların durum sayıları çarpılır.

Key Concept

Permütasyon ve çarpma yoluyla sayma kurallarını kullanarak belirli koşullara uygun sıralama yapma.
Estimated Time:2m 0s
Question 14Question →

Bir sanat galerisinde sergilenmek üzere 3 farklı manzara, 3 farklı portre ve 2 farklı soyut tablo tek bir sıra hâlinde yan yana dizilecektir.

Soyut tabloların tamamının yan yana olduğu ve herhangi iki portre tablosunun yan yana gelmediği bilindiğine göre, bu tablolar kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Show answer & explanation

Answer: 2880

Answer

Doğru cevap 2880'dir.
Doğru cevap 2880'dir. Yan yana bulunması gereken 2 soyut tablo 1 nesne olarak kabul edildiğinde, 3 manzara tablosuyla birlikte toplam 4 nesne elde edilir. Bu nesneler 4!4! şekilde, soyut tablolar ise kendi aralarında 2!2! şekilde sıralanabilir. Herhangi iki portre tablosunun yan yana gelmemesi koşulu için bu 4 nesnenin oluşturduğu 5 boşluğa 3 portre tablosu P(5,3)P(5,3) kadar farklı şekilde yerleştirilir. Sonuç olarak tüm durumların çarpımı 4!×2!×P(5,3)=24×2×60=28804! \times 2! \times P(5,3) = 24 \times 2 \times 60 = 2880 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Yan yana olması istenen 2 farklı soyut tabloyu tek bir grup olarak paketleyelim.
Elimizde 3 farklı manzara tablosu ve 1 soyut tablo grubu olmak üzere toplam 4 nesne oluşur.
Birlikte bulunması gereken nesneler tek bir eleman gibi kabul edilerek işlem kolaylığı sağlanır.
2
Bu 4 nesnenin kendi aralarındaki sıralamasını ve soyut tabloların grup içi yer de��iştirmesini hesaplayalım.
4 nesne kendi arasında 4!=244! = 24 farklı şekilde sıralanabilir. Soyut tablolar da grup içinde 2!=22! = 2 farklı şekilde yer değiştirebilir. Bu iki durumun çarpımı 24×2=4824 \times 2 = 48 farklı dizilim oluşturur.
Çarpım yoluyla sayma kuralı gereğince bağımsız sıralama seçenekleri çarpılır.
3
Herhangi iki portre tablosunun yan yana gelmemesi için portre tablolarını yerleştirdiğimiz 4 nesnenin aralarındaki boşluklara dağıtalım.
4 nesnenin oluşturduğu 5 boşluktan (sol uç, nesneler arası ve sağ uç) 3 tanesi seçilerek 3 portre tablosu bu boşluklara P(5,3)=5×4×3=60P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60 farklı şekilde yerleştirilir.
İki portre tablosunun yan yana gelmesini engellemek için her boşluğa en fazla bir portre tablosu yerleştirilmelidir.
4
Tüm aşamalardaki sıralama sayılarını çarparak toplam dizilim sayısını elde edelim.
Toplam dizilim sayısı 48×60=288048 \times 60 = 2880 olur.
Tüm koşulları aynı anda sağlayan dizilim sayısını bulmak için her aşamada elde edilen bağımsız sıralamalar çarpılır.

Key Concept

Koşullu permütasyonda elemanların yan yana olma ve olmama durumlarının çarpım kuralı ile hesaplanması
Estimated Time:2m 0s
Question 15Question →

Bir aktar, bitki çayları için hazırladığı birbirinden farklı 33 nane kavanozu ve birbirinden farklı 44 kekik kavanozunu tek bir sıra hâlinde yan yana dizecektir.

Nane kavanozlarının herhangi ikisinin yan yana gelmemesi koşuluyla bu kavanozlar kaç farklı şekilde dizilebilir?

Show answer & explanation

Answer: 14401440

Answer

Nane kavanozlarının herhangi ikisinin yan yana gelmemesi koşuluyla toplam dizilim sayısı 14401440 olarak bulunur.
Kekik kavanozlarının yan yana dizilimi 4!=244! = 24 farklı şekilde yapılır. Yan yana gelmeme kuralı nedeniyle nane kavanozları, kekik kavanozlarının oluşturduğu 55 boşluktan (başta, aralarda ve sonda) seçilen 33 boşluğa yerleştirilir. Bu seçim (53)=10\binom{5}{3} = 10 yolla yapılır. Nane kavanozları farklı olduğundan kendi aralarında 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanırlar. Çarpım kuralına göre toplam dizilim sayısı 24×10×6=144024 \times 10 \times 6 = 1440 olur.

Step-by-Step Solution

1
Öncelikle 44 farklı kekik kavanozunun kendi aralarındaki dizilim sayısını hesaplarız.
4!=244! = 24 farklı dizilim elde edilir.
Kekik kavanozlarının yerleri nane kavanozları için ayırıcı bölgeler oluşturacaktır.
2
Kekik kavanozlarının oluşturduğu boşluklardan nane kavanozları için uygun yerleri seçeriz.
Kekik kavanozlarının arasında ve uçlarında toplam 55 boşluk bulunur. Bu 55 boşluktan 33 tanesi (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı şekilde seçilir.
Nane kavanozlarının yan yana gelmemesi için her bir boşluğa en fazla bir nane kavanozu yerleştirilmelidir.
3
Seçilen boşluklara nane kavanozlarının yerleştirilme ve kendi aralarındaki dizilim sayısını hesaplarız.
33 farklı nane kavanozu seçilen yerlere 3!=63! = 6 farklı şekilde dizilir.
Nane kavanozları birbirinden farklı olduğu için kendi aralarındaki sıralamaları da hesaba katılır.
4
Tüm durumların çarpımı ile toplam dizilim sayısını buluruz.
24×10×6=144024 \times 10 \times 6 = 1440 bulunur.
Çarpım yoluyla sayma kuralı gereğince bu bağımsız adımların sonuçları çarpılır.

Key Concept

Permütasyon ve koşullu sıralama

Alternative Method

Kekik kavanozları yerleştirildikten sonra (4!4!), ilk nane kavanozu için 55 boşluktan biri, ikincisi için kalan 44 boşluktan biri, üçüncüsü için ise kalan 33 boşluktan biri seçilebilir. Bu da doğrudan 4!×5×4×3=24×60=14404! \times 5 \times 4 \times 3 = 24 \times 60 = 1440 sonucunu verir.
Estimated Time:2m 0s
Question 16Question →

Bir tiyatro oyununun sonunda sahneye çıkacak olan 33 kadın ve 44 erkek oyuncu, seyircileri selamlamak için yan yana tek sıra halinde dizilecektir. Kadın oyuncuların herhangi ikisinin yan yana gelmediği ve kadın oyunculardan biri olan Aslı'nın sıranın en solunda yer aldığı bilindiğine göre, bu oyuncular kaç farklı şekilde dizilebilirler?

Show answer & explanation

Answer: 288

Answer

Oyuncular sahne önünde 288 farklı şekilde dizilebilirler.
Doğru seçenekteki değer, erkek oyuncuların kendi aralarındaki 4!=244! = 24 sıralanışı ile kalan 22 kadın oyuncunun kalan 44 boşluğa (42)×2!=12\binom{4}{2} \times 2! = 12 farklı şekilde yerleştirilmesinin çarpılmasıyla (24×12=28824 \times 12 = 288) elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1
Erkek oyuncuların dizilimini hesaplama.
44 erkek oyuncu kendi aralarında 4!=244! = 24 farklı şekilde sıralanır.
Herhangi iki kadın oyuncunun yan yana gelmemesi için öncelikle erkek oyuncuları yerleştirip aralarında boşluklar oluşturmalıyız.
2
Erkek oyuncuların oluşturduğu boşlukları belirleme ve Aslı'yı yerleştirme.
44 erkek oyuncunun oluşturduğu 55 boşluktan en soldakine Aslı yerleştirilir (11 durum).
Aslı'nın sıranın en solunda yer alması gerektiğinden, erkeklerin solundaki ilk boşluğa yerleşmesi zorunludur.
3
Kalan kadın oyuncuların yerleştirilmesini hesaplama.
Geriye kalan 44 boşluktan 22'si seçilir ve kalan 22 kadın oyuncu buralara (42)×2!=6×2=12\binom{4}{2} \times 2! = 6 \times 2 = 12 farklı şekilde sıralanır.
Kadın oyuncuların yan yana gelmemesi için kalan 22 kadın oyuncu, Aslı'nın olmadığı diğer 44 boşluğa yerleştirilmeli ve kendi aralarında sıralanmalıdır.
4
Çarpma kuralı ile toplam dizilim sayısını bulma.
24×12=28824 \times 12 = 288 farklı dizilim elde edilir.
Tüm adımlardaki bağımsız seçimler çarpma yoluyla sayma kuralı uyarınca çarpılır.

Key Concept

Koşullu permütasyonda belirli elemanların yan yana gelmeme durumunun boşluk metodu ile çözülmesi ve sabit elemanın konumlandırılması.
Estimated Time:2m 0s
Question 17Question →

Bir metro istasyonunun bekleme peronunda yan yana bulunan 66 boş reklam panosuna 33 farklı afiş asılacaktır. Afişlerin asılacağı panoların herhangi ikisinin yan yana olmaması istenmektedir. Buna göre, bu afişler panolara kaç farklı şekilde asılabilir?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Afişlerin yan yana gelmeyecek şekilde panolara asılabileceği farklı durum sayısı 24'tür.
Yan yana gelmeme koşulunu sağlamak için 3 boş panonun oluşturduğu 4 boşluktan 3'ü seçilir (4 durum). Farklı afişler bu yerlere 3! = 6 farklı şekilde sıralanır. Çarpım kuralıyla toplam 24 farklı dizilim elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Boş kalacak panoların yerleşimini belirlemek ve afişlerin asılabileceği uygun boşlukları tespit etmek.
3 boş panel yan yana dizildiğinde aralarında ve uçlarında olmak üzere toplam 4 farklı boşluk (yerleşim yeri) oluşur.
Afişlerin yan yana gelmemesi için, boş panoların oluşturduğu bu boşluklardan seçim yapılması gerekir.
2
Afişlerin asılacağı 3 panonun yerini seçmek.
4 uygun boşluktan 3 tanesi C(4, 3) = 4 farklı şekilde seçilebilir.
Hangi panoların kullanılacağını belirlemek için kombinasyon kullanılır.
3
Seçilen 3 panoya 3 farklı afişin yerleşim sıralamasını (permütasyonunu) hesaplamak.
3 farklı afiş, seçilen 3 panoya P(3, 3) = 3! = 6 farklı şekilde asılabilir.
Afişler birbirinden farklı olduğu için kendi aralarındaki sıralanışları sonucu değiştirir.
4
Toplam farklı dizilim sayısını bulmak.
Seçim ve sıralama durumlarının çarpımı ile 4 * 6 = 24 farklı durum elde edilir.
Çarpma yoluyla sayma kuralı gereğince bağımsız iki adımın durum sayıları çarpılır.

Key Concept

Permütasyon ve kombinasyon kuralları kullanılarak belirli koşullara uygun sıralama yapılması.
Estimated Time:2m 0s
Question 18Question →

Bir müzenin sergi salonundaki yan yana duran bir stantta 5 farklı seramik vazo ile 2 farklı cam vazo tek bir sıra hâlinde sergilenecektir.

Cam vazoların yan yana gelmemesi ve standın en başında ya da en sonunda yer almaması koşuluyla, bu vazolar kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Show answer & explanation

Answer: 14401440

Answer

1440
Doğru cevaba ulaşmak için öncelikle 5 farklı seramik vazo yan yana sıralanır (5!=1205! = 120 durum). Bu vazolar yerleştirildiğinde aralarında 4 adet iç boşluk oluşur. Cam vazoların yan yana olmaması ve uçlarda bulunmaması gerektiğinden, bu 2 farklı cam vazo sadece bu 4 iç boşluğa sıralanabilir. Bu sıralama da P(4,2)=12P(4, 2) = 12 farklı yolla yapılır. Çarpma kuralı gereği, bu iki bağımsız durumun çarpımı olan 120×12=1440120 \times 12 = 1440 doğru cevabı verir.

Step-by-Step Solution

1
Seramik vazoların sıralanışını hesaplama
5 farklı seramik vazo kendi aralarında 5!=1205! = 120 farklı şekilde sıralanır.
Birbirinden farklı nesnelerin düz bir sıraya dizilimi faktöriyel ile hesaplanır.
2
Cam vazoların yerleştirilebileceği uygun boşlukları belirleme
Uçlardaki boşluklar hariç tutulduğunda, seramik vazoların arasında kalan 4 iç boşluk kullanılabilir.
Cam vazoların yan yana gelmemesi için seramik vazoların arasına yerleştirilmeleri gerekir. Ayrıca en başta ve en sonda yer alamayacakları için uçtaki boşluklar elenir.
3
Cam vazoların bu boşluklara yerleştirilme sayısını hesaplama
2 farklı cam vazo, belirlenen 4 boşluğa P(4,2)=4×3=12P(4, 2) = 4 \times 3 = 12 farklı şekilde yerleştirilir.
Boşluklar ve vazolar farklı olduğu için permütasyon (sıralama) formülü kullanılır.
4
Toplam sıralama sayısını bulma
Toplam durum sayısı 120×12=1440120 \times 12 = 1440 olarak hesaplanır.
Çarpma yoluyla sayma kuralına göre, birbirini takip eden bağımsız işlemlerin durum sayıları çarpılır.

Key Concept

Koşullu Permütasyon ve Ayırma Yöntemi
Permütasyon Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin