Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Denklemler
x∈(0,π)x \in (0, \pi) olmak üzere,
sin⁡(3x)+sin⁡(x)=sin⁡(2x)\sin(3x) + \sin(x) = \sin(2x)
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?

Answer: 2

Answer

Denklemin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 2'dir.
Verilen denklem toplam-çarpım dönüşümü yardımıyla sin⁡(2x)(2cos⁡(x)−1)=0\sin(2x)(2\cos(x) - 1) = 0 şeklinde yazılır. (0,π)(0, \pi) açık aralığında sin⁡(2x)=0\sin(2x) = 0 denklemini sağlayan tek kök x=π2x = \frac{\pi}{2}'dir (00 ve π\pi açık aralıkta değildir). Aynı aralıkta cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2} denklemini sağlayan tek kök x=π3x = \frac{\pi}{3}'tür. Bu durumda denklemin bu aralıkta toplam 2 farklı kökü bulunur.

Step-by-Step Solution

1
sin⁡(3x)+sin⁡(x)\sin(3x) + \sin(x) ifadesine toplam-çarpım dönüşüm formülünü uygulayın.
2sin⁡(2x)cos⁡(x)2\sin(2x)\cos(x)
Trigonometrik denklemleri çarpanlarına ayırabilmek için toplam şeklindeki ifadeleri çarpım şekline dönüştürmek gerekir.
2
Elde edilen ifadeyi denklemde yerine yazıp tüm terimleri sol tarafa toplayarak ortak çarpan parantezine alın.
sin⁡(2x)(2cos⁡(x)−1)=0\sin(2x)(2\cos(x) - 1) = 0
Kök kaybını önlemek amacıyla her iki tarafı sadeleştirmek yerine ortak paranteze alma yöntemi kullanılır.
3
sin⁡(2x)=0\sin(2x) = 0 denkleminin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki köklerini inceleyin.
x=π2x = \frac{\pi}{2}
2x=kπ  ⟹  x=kπ22x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{2} genel çözümünden, (0,π)(0, \pi) açık aralığına sadece x=π2x = \frac{\pi}{2} düşer. Sınır değerleri olan 00 ve π\pi açık aralığa dahil değildir.
4
2cos⁡(x)−1=0  ⟹  cos⁡(x)=122\cos(x) - 1 = 0 \implies \cos(x) = \frac{1}{2} denkleminin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki köklerini bulun.
x=π3x = \frac{\pi}{3}
Kosinüs fonksiyonunun birinci bölgede 12\frac{1}{2} değerini aldığı açı π3\frac{\pi}{3} radyandır.
5
Bulunan farklı kök sayılarını toplayarak sonuca ulaşın.
{π3,π2}\left\{\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right\} kümesinden 2 farklı kök elde edilir.
Bulunan köklerin her ikisi de verilen açık aralıkta yer alan ve birbirinden farklı olan geçerli gerçel köklerdir.

Key Concept

Toplam-çarpım formülleri yardımıyla trigonometrik denklemlerin çarpanlarına ayrılması ve belirli bir aralıktaki kök sayısının belirlenmesi.
Rate this question

Topics

Trigonometrik Denklemler

More questions from this topic