Examkin

Question

Difficulty: HardTrigonometrik Denklemler
cos⁡(2x)cos⁡(x)−sin⁡(x)=sin⁡(2x)+1\frac{\cos(2x)}{\cos(x) - \sin(x)} = \sin(2x) + 1

denkleminin (0,2π)(0, 2\pi) aç��k aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

  1. A
    π2\frac{\pi}{2}
  2. B
    5π4\frac{5\pi}{4}
  3. C
    2π2\pi
  4. 3π3\piAnswer
  5. E
    5π2\frac{5\pi}{2}

Answer

3π3\pi
Verilen denklemde pay kısmındaki cos⁡(2x)\cos(2x) yarım açı formülüyle (cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x)) şeklinde yazılıp payda ile sadeleştirildiğinde denklem cos⁡(x)+sin⁡(x)=(sin⁡(x)+cos⁡(x))2\cos(x) + \sin(x) = (\sin(x) + \cos(x))^2 durumuna gelir. Buradan elde edilen sin⁡(x)+cos⁡(x)=0\sin(x) + \cos(x) = 0 denkleminden x=3π4x = \frac{3\pi}{4} ve x=7π4x = \frac{7\pi}{4} kökleri, sin⁡(x)+cos⁡(x)=1\sin(x) + \cos(x) = 1 denkleminden ise (0,2π)(0, 2\pi) açık aralığında sadece x=π2x = \frac{\pi}{2} kökü gelir. Köklerin tamamı paydayı sıfır yapmadığından geçerlidir ve toplamları 3π3\pi olur.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesi kısıtlamasını bulunuz.
cos⁡(x)−sin⁡(x)≠0  ⟹  tan⁡(x)≠1\cos(x) - \sin(x) \neq 0 \implies \tan(x) \neq 1
Rasyonel bir ifadede payda sıfıra eşit olamaz.
2
Pay kısmındaki yarım açı ifadesini açarak sadeleştirme yapınız.
(cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))cos⁡(x)−sin⁡(x)=cos⁡(x)+sin⁡(x)\frac{(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))}{\cos(x) - \sin(x)} = \cos(x) + \sin(x)((\tan(x)
eq 1kısıtlamasıaltında) kısıtlaması altında)
cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) iki kare farkı özdeşliği ile çarpanlarına ayrılır.
3
Denklemin sağ tarafını çarpanlarına ayrılabilir forma getirerek denklemi yeniden yazınız.
cos⁡(x)+sin⁡(x)=(sin⁡(x)+cos⁡(x))2\cos(x) + \sin(x) = (\sin(x) + \cos(x))^2
sin⁡(2x)+1=2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=(sin⁡(x)+cos⁡(x))2\sin(2x) + 1 = 2\sin(x)\cos(x) + \sin^2(x) + \cos^2(x) = (\sin(x) + \cos(x))^2 özdeşliği geçerlidir.
4
Denklemi çarpanlarına ayırarak çözümleri iki gruba ayırınız.
(sin⁡(x)+cos⁡(x))(sin⁡(x)+cos⁡(x)−1)=0(\sin(x) + \cos(x))( \sin(x) + \cos(x) - 1 ) = 0
Tüm terimler bir tarafa toplanıp ortak çarpan parantezine alınır.
5
Birinci çarpanı sıfıra eşitleyerek kökleri bulunuz.
sin⁡(x)+cos⁡(x)=0  ⟹  tan⁡(x)=−1  ⟹  x1=3π4, x2=7π4\sin(x) + \cos(x) = 0 \implies \tan(x) = -1 \implies x_1 = \frac{3\pi}{4}, \ x_2 = \frac{7\pi}{4}
(0,2π)(0, 2\pi) açık aralığında tanjantı −1-1 olan açılar belirlenir. Bu açılar tanım kümesi kısıtlamasını (tan⁡(x)≠1\tan(x) \neq 1) sağlar.
6
İkinci çarpanı sıfıra eşitleyerek kökleri bulunuz.
sin⁡(x)+cos⁡(x)=1  ⟹  sin⁡(x+π4)=22  ⟹  x3=π2\sin(x) + \cos(x) = 1 \implies \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies x_3 = \frac{\pi}{2}
x∈(0,2π)x \in (0, 2\pi) aralığı için x=0x=0 ve x=2πx=2\pi sınır değerleri açık aralığa dahil olmadığından sadece x=π2x = \frac{\pi}{2} kökü alınır.
7
Bulunan tüm geçerli köklerin toplamını hesaplayınız.
π2+3π4+7π4=3π\frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = 3\pi
Denklemi sağlayan tüm farklı köklerin toplamı istenir.

Key Concept

Trigonometrik Denklemler

Alternative Method

Denklem sadeleştirildikten sonra sin⁡(x)+cos⁡(x)=t\sin(x) + \cos(x) = t dönüşümü yapılarak t=t2t = t^2 ikinci dereceden denklemi elde edilebilir. Buradan t=0t=0 veya t=1t=1 değerleri için ayrı ayrı çözüme gidilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Denklemler

More questions from this topic