Examkin

Question

Difficulty: HardTrigonometrik Denklemler
cos⁡(2x)1−tan⁡(x)=0\frac{\cos(2x)}{1 - \tan(x)} = 0 denkleminin (0,2π)(0, 2\pi) açık aralı��ında 4 farklı gerçel kökü vardır.

Answer: Answer

Answer

Verilen ifade yanlıştır çünkü x=π4x = \frac{\pi}{4} ve x=5π4x = \frac{5\pi}{4} değerleri paydadaki 1−tan⁡(x)1 - \tan(x) ifadesini sıfır yaparak denklemi tanımsız kılar. Bu nedenle bu değerler kök olamaz ve denklemin verilen aralıktaki kök sayısı 4 değil, 2'dir.
İfade yanlıştır çünkü payı sıfır yapan x=π4x = \frac{\pi}{4} ve x=5π4x = \frac{5\pi}{4} değerleri paydayı sıfır yaparak denklemi tanımsız hale getirir. Bu nedenle denklemin (0,2π)(0, 2\pi) aralığında 4 değil, sadece 2 kökü vardır.

Step-by-Step Solution

1
Denklemin tanımlı olma şartlarını belirleyin.
Denklemin tanımlı olabilmesi için tan⁡(x)\tan(x) fonksiyonunun tanımlı olması (x≠π2+kπx \neq \frac{\pi}{2} + k\pi) ve paydanın sıfırdan farklı olması (1−tan⁡(x)≠0  ⟹  tan⁡(x)≠1  ⟹  x≠π4+kπ1 - \tan(x) \neq 0 \implies \tan(x) \neq 1 \implies x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi) gerekir.
Bir rasyonel ifadenin sıfıra eşit olması için payının sıfır olması gerekirken, paydasının sıfır olmaması ve tüm alt fonksiyonların tanımlı olması şarttır.
2
Payı sıfır yapan kök adaylarını bulun.
cos⁡(2x)=0  ⟹  2x=π2+kπ  ⟹  x=π4+kπ2\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} elde edilir. Bu genel çözümden (0,2π)(0, 2\pi) aralığına düşen kök adayları x1=π4x_1 = \frac{\pi}{4}, x2=3π4x_2 = \frac{3\pi}{4}, x3=5π4x_3 = \frac{5\pi}{4} ve x4=7π4x_4 = \frac{7\pi}{4} olarak bulunur.
Rasyonel ifadenin değerinin sıfır olması, pay kısmının sıfıra eşit olmasıyla mümkündür.
3
Kök adaylarını tanım kümesi ve payda şartına göre kontrol edin.
x1=π4x_1 = \frac{\pi}{4} ve x3=5π4x_3 = \frac{5\pi}{4} değerleri için tan⁡(x)=1\tan(x) = 1 olduğundan payda 1−1=01 - 1 = 0 olur ve ifade tanımsız kalır. Diğer kök adayları x2=3π4x_2 = \frac{3\pi}{4} ve x4=7π4x_4 = \frac{7\pi}{4} için tan⁡(x)=−1\tan(x) = -1 olduğundan payda sıfırdan farklı (1−(−1)=2≠01 - (-1) = 2 \neq 0) olur. Dolayısıyla gerçel kökler yalnızca bu iki değerdir.
Bulunan kök adaylarının orijinal denklemde tanımsızlık yaratıp yaratmadığı denetlenmelidir.

Key Concept

Rasyonel trigonometrik denklemlerde payı sıfır yapan köklerin paydanın tanım kümesini ve sıfırdan farklı olma şartını bozup bozmadığının kontrol edilmesi.
Rate this question

Topics

Trigonometrik Denklemler

More questions from this topic