Examkin

Question

Difficulty: HardTrigonometrik Denklemler
sin⁡(x)+3cos⁡(x)=2cos⁡(3x)\sin(x) + \sqrt{3}\cos(x) = 2\cos(3x)

denkleminin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

  1. 3π2\frac{3\pi}{2}Answer
  2. B
    5π4\frac{5\pi}{4}
  3. C
    π\pi
  4. D
    5π6\frac{5\pi}{6}
  5. E
    7π12\frac{7\pi}{12}

Answer

Farklı gerçel köklerin toplamı 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır.
Denklemin sol tarafı toplam formülüyle basitleştirilip kosinüs cinsine çevrildikten sonra oluşan iki kök ailesinden belirtilen aralığa düşen üç adet kök elde edilir. Bu köklerin toplamı üç bölü iki pi değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Denklemin sol tarafındaki ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazmak için 3\sqrt{3} yerine tan⁡(π3)=sin⁡(π3)cos⁡(π3)\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)} yazılır.
sin⁡(x)+sin⁡(π3)cos⁡(π3)cos⁡(x)=2cos⁡(3x)\sin(x) + \frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}\cos(x) = 2\cos(3x)
Toplama formülünü kullanarak sol tarafı tek bir sinüs fonksiyonuna dönüştürmek amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
Payda eşitlemesi yapılarak sol taraftaki pay kısmında sinüsün toplam formülü (sin⁡(a+b)\sin(a+b)) elde edilir.
sin⁡(x)cos⁡(π3)+cos⁡(x)sin⁡(π3)cos⁡(π3)=2cos⁡(3x)  ⟹  sin⁡(x+π3)12=2cos⁡(3x)\frac{\sin(x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos(x)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)} = 2\cos(3x) \implies \frac{\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)}{\frac{1}{2}} = 2\cos(3x)
Trigonometrik toplam formüllerini uygulayarak denklemi basitleştirmek amaçlanır.
3
İçler dışlar çarpımı yapılarak paydadaki 12\frac{1}{2} ifadesi karşıya atılır ve her iki taraftaki katsayılar sadeleştirilir.
sin⁡(x+π3)=cos⁡(3x)\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos(3x)
Denklemi çözülebilir temel trigonometrik formata getirmek için katsayılardan arındırma yapılır.
4
Sinüs ifadesi kosinüs cinsinden yazılır.
cos⁡(π2−(x+π3))=cos⁡(3x)  ⟹  cos⁡(π6−x)=cos⁡(3x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right) = \cos(3x) \implies \cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = \cos(3x)
cos⁡(a)=cos⁡(b)\cos(a) = \cos(b) biçiminde bir denklem elde ederek standart çözüm kurallarını uygulayabilmek için iki taraf da kosinüs cinsine çevrilir.
5
Kosinüs denkleminin genel çözüm kuralları (cos⁡(α)=cos⁡(β)  ⟹  α=±β+2kπ\cos(\alpha) = \cos(\beta) \implies \alpha = \pm\beta + 2k\pi) kullanılarak iki farklı kök ailesi oluşturulur.
1. Durum: 3x=π6−x+2kπ  ⟹  4x=π6+2kπ  ⟹  x=π24+kπ23x = \frac{\pi}{6} - x + 2k\pi \implies 4x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}
2. Durum: 3x=−(π6−x)+2kπ  ⟹  2x=−π6+2kπ  ⟹  x=−π12+kπ3x = -\left(\frac{\pi}{6} - x\right) + 2k\pi \implies 2x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{12} + k\pi
Kosinüs fonksiyonunun periyodik yapısına ve simetrisine göre tüm olası çözümleri bulmak hedeflenir.
6
(0,π)(0, \pi) açık aralığında yer alan kökleri belirlemek için her iki durumda kk tam sayı değerleri yerine yazılır.
1. Durumdan: k=0  ⟹  x1=π24k=0 \implies x_1 = \frac{\pi}{24}, k=1  ⟹  x2=13π24k=1 \implies x_2 = \frac{13\pi}{24}
2. Durumdan: k=1  ⟹  x3=11π12k=1 \implies x_3 = \frac{11\pi}{12}
Sadece belirtilen tanım aralığındaki gerçel kökleri süzmek amaçlanır.
7
Bulunan üç farklı kök toplanır.
Toplam=π24+13π24+22π24=36π24=3π2\text{Toplam} = \frac{\pi}{24} + \frac{13\pi}{24} + \frac{22\pi}{24} = \frac{36\pi}{24} = \frac{3\pi}{2}
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için kökler toplanır.

Key Concept

Trigonometrik denklemlerin çözümünde toplam-fark formüllerinin kullanılması ve kosinüs denkleminin periyodik çözüm kümelerinin bulunması.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Denklemler

More questions from this topic