Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Denklemler
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
2sin⁡2(x)−sin⁡(2x)−cos⁡(2x)=02\sin^2(x) - \sin(2x) - \cos(2x) = 0
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?

Answer: 2 adet

Answer

Denklemin verilen aralıkta 2 farklı gerçel kökü vardır.
Denklemin düzenlenmesiyle elde edilen 3tan⁡2(x)−2tan⁡(x)−1=03\tan^2(x) - 2\tan(x) - 1 = 0 denkleminin kökleri tan⁡(x)=1\tan(x) = 1 ve tan⁡(x)=−1/3\tan(x) = -1/3 şeklindedir. [0,π][0, \pi] aralığında tan⁡(x)=1\tan(x) = 1 için bir kök, tan⁡(x)=−1/3\tan(x) = -1/3 için ikinci bölgede bir kök olmak üzere tam 2 adet kök mevcuttur.

Step-by-Step Solution

1
Trigonometrik denklemdeki çift katlı açıl�� terimleri yarım açı formülleri kullanarak tek açı cinsinden yazın.
2sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−(1−2sin⁡2(x))=02\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - (1 - 2\sin^2(x)) = 0 elde edilir. Düzenlendiğinde denklem 4sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−1=04\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - 1 = 0 biçimini alır.
Farklı açılardaki trigonometrik ifadeleri ortak bir açıya indirgemek denklemin çözümünü mümkün kılar.
2
Denklemdeki sabit terim olan 11 yerine sin⁡2(x)+cos⁡2(x)\sin^2(x) + \cos^2(x) temel özdeşliğini yazın.
4sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))=0⇒3sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−cos⁡2(x)=04\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - (\sin^2(x) + \cos^2(x)) = 0 \Rightarrow 3\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - \cos^2(x) = 0 elde edilir.
Denklemi ikinci dereceden homojen bir forma getirerek çarpanlara ayırma yöntemini uygulamak.
3
Elde edilen homojen denklemin her iki tarafını da cos⁡2(x)\cos^2(x) ile bölerek denklemi tanjant cinsinden yazın (burada cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 denklemi sağlamadığı için bölme işlemi tanımlıdır).
3tan⁡2(x)−2tan⁡(x)−1=03\tan^2(x) - 2\tan(x) - 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında (3tan⁡(x)+1)(tan⁡(x)−1)=0(3\tan(x) + 1)(\tan(x) - 1) = 0 olur.
Homojen denklemleri çözmek için en standart yöntem tanjant fonksiyonuna dönüştürmektir.
4
Elde edilen tan⁡(x)=1\tan(x) = 1 ve tan⁡(x)=−13\tan(x) = -\frac{1}{3} denklemlerinin [0,π][0, \pi] aralığındaki köklerini bulun.
tan⁡(x)=1\tan(x) = 1 için birinci bölgedeki kök x=π4x = \frac{\pi}{4} olur. tan⁡(x)=−13\tan(x) = -\frac{1}{3} için ikinci bölgedeki kök x=π−arctan⁡(13)x = \pi - \arctan\left(\frac{1}{3}\right) olur. Toplam kök sayısı 2'dir.
Verilen kapalı aralıkta tanjant fonksiyonunun işaretlerine göre köklerin bulunması ve sayılması.

Key Concept

Yarım açı formülleri ve homojen trigonometrik denklemlerin çözümü

Alternative Method

Denklem 3sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−cos⁡2(x)=03\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - \cos^2(x) = 0 olarak elde edildikten sonra doğrudan (3sin⁡(x)+cos⁡(x))(sin⁡(x)−cos⁡(x))=0(3\sin(x) + \cos(x))(\sin(x) - \cos(x)) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılabilir. Buradan her bir parantez sıfıra eşitlenerek kök sayılarına ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Denklemler

More questions from this topic