Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡2(9x−3)=xlog⁡23+1\log_2(9^x - 3) = x\log_2 3 + 1

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Answer: 1

Answer

Denklemi sağlayan xx gerçel sayısı 11 olarak bulunur.
Denklemin sağ tarafı \log_2(2 \cdot 3^x) olarak yazıldıktan sonra tabanların eşitliğinden 9^x - 3 = 2 \cdot 3^x elde edilir. Bu denklemde 3^x = t dönüşümü yapıldığında t^2 - 2t - 3 = 0 denklemi bulunur. Çarpanlarına ayrıldığında kökler t = 3 ve t = -1 gelir. Üstel ifade pozitif olmak zorunda olduğundan 3^x = 3 eşitliğinden tek geçerli gerçel kök x = 1 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin sağ tarafındaki ifade logaritma özellikleri kullanılarak düzenlenir.
xlog⁡23+1=log⁡2(3x)+log⁡22=log⁡2(2⋅3x)x\log_2 3 + 1 = \log_2(3^x) + \log_2 2 = \log_2(2 \cdot 3^x)
Eşitliğin her iki tarafını aynı tabanda logaritma içeren ifadelere dönüştürmek için.
2
Eşitliğin her iki tarafındaki logaritma tabanları aynı (2) olduğundan, logaritması alınan ifadeler (argümanlar) birbirine eşitlenir.
9x−3=2⋅3x9^x - 3 = 2 \cdot 3^x
Logaritmik fonksiyonun birebir olmasından dolayı tabanlar eşitse argümanların da eşit olması gerekir.
3
Elde edilen denklemde 3x=t3^x = t değişken değiştirmesi uygulanarak ikinci dereceden bir denklem oluşturulur ve çözülür.
t2−2t−3=0⇒(t−3)(t+1)=0⇒t=3t^2 - 2t - 3 = 0 \Rightarrow (t - 3)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = 3 veya t=−1t = -1
9x=(3x)2=t29^x = (3^x)^2 = t^2 yazarak denklemi çözülebilir bir ikinci derece denklem formuna getirmek için.
4
3x=t3^x = t eşitliği ve logaritmanın tanımlı olma koşulları kontrol edilerek xx değeri bulunur.
3x=3⇒x=13^x = 3 \Rightarrow x = 1 (çünkü 3x>03^x > 0 olmalıdır, bu yüzden t=−1t = -1 kökü alınmaz). x=1x = 1 için 91−3=6>09^1 - 3 = 6 > 0 olup logaritma tanımlıdır.
Üstel fonksiyonların görüntü kümesinin pozitif gerçel sayılar olması ve orijinal logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kuralları gereği elde edilen köklerin kontrol edilmesi gerekir.

Key Concept

Logaritma ve üstel denklemlerin çözümünde taban eşitleme, değişken değiştirme yöntemi ve logaritma tanım kümesi kontrollerinin uygulanması.
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Denklemler

More questions from this topic