Examkin

Question

Difficulty: MediumParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Her xx gerçel sayısı için tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={x2−a2∣x−a∣+2x,x<ax2−5x+6,x≥af(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - a^2}{|x - a|} + 2x, & x < a \\ x^2 - 5x + 6, & x \geq a \end{cases}

biçiminde verilmiştir.

ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında limiti var olduğuna göre, aa parametresinin alabilece��i farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 5Answer
  4. D
    6
  5. E
    9

Answer

a parametresinin alabileceği farklı değerlerin toplamı 5'tir.
Fonksiyonun soldan limiti hesaplanırken x<ax < a koşulu altında ∣x−a∣=−(x−a)|x - a| = -(x - a) eşitliği kullanılır. Paydaki x2−a2x^2 - a^2 ifadesi (x−a)(x+a)(x-a)(x+a) şeklinde çarpanlarına ayrılarak sadeleştirildiğinde sol limit lim⁡x→a−(x−a)=0\lim_{x \to a^-} (x - a) = 0 olarak bulunur. Fonksiyonun sağdan limiti ise lim⁡x→a+(x2−5x+6)=a2−5a+6\lim_{x \to a^+} (x^2 - 5x + 6) = a^2 - 5a + 6 olur. Limit varlığı için sağ ve sol limitlerin eşit olması gerektiğinden a2−5a+6=0a^2 - 5a + 6 = 0 denklemi kurulur. Bu denklemin kökleri olan 2 ve 3 sayılarının toplamı 5 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Sol limit durumunda mutlak değerli ifadenin işaretini belirleme
x→a−x \to a^- için x<ax < a olduğundan x−a<0x - a < 0 olur. Dolayısıyla ∣x−a∣=−(x−a)|x - a| = -(x - a) olarak mutlak değer dışına çıkar.
Sol limit hesaplanırken değişkenin limit noktasına soldan yaklaşması, yani o değerden küçük olması durumunda mutlak değerin içinin işareti belirlenmelidir.
2
Sol limit değerini hesaplama
lim⁡x→a−(x2−a2−(x−a)+2x)=lim⁡x→a−((x−a)(x+a)−(x−a)+2x)=lim⁡x→a−(−(x+a)+2x)=lim⁡x→a−(x−a)=a−a=0\lim_{x \to a^-} \left( \frac{x^2 - a^2}{-(x - a)} + 2x \right) = \lim_{x \to a^-} \left( \frac{(x - a)(x + a)}{-(x - a)} + 2x \right) = \lim_{x \to a^-} (-(x + a) + 2x) = \lim_{x \to a^-} (x - a) = a - a = 0
0/0 belirsizliğini gidermek için çarpanlara ayırma yapılıp sadeleştirme uygulanır ve limit değeri bulunur.
3
Sağ limit değerini hesaplama
lim⁡x→a+f(x)=lim⁡x→a+(x2−5x+6)=a2−5a+6\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} (x^2 - 5x + 6) = a^2 - 5a + 6
x→a+x \to a^+ için limit hesaplanırken fonksiyonun x≥ax \geq a kuralı kullanılır.
4
Limit varl��ğı koşuluyla denklemi çözme
a2−5a+6=0  ⟹  (a−2)(a−3)=0  ⟹  a=2 veya a=3a^2 - 5a + 6 = 0 \implies (a - 2)(a - 3) = 0 \implies a = 2 \text{ veya } a = 3
Fonksiyonun x=ax = a noktasında limitinin var olması için sağ ve sol limitlerin birbirine eşit olması gerekir.
5
a değerlerinin toplamını hesaplama
2+3=52 + 3 = 5
Soru kökünde aa parametresinin alabileceği farklı değerlerin toplamı istendiği için elde edilen değerler toplanır.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitlerinde, kritik noktalarda limit araştırılırken sağdan ve soldan limitler ayrı ayrı incelenmelidir. Mutlak değer fonksiyonlarında limit noktasına yaklaşım yönü, mutlak değerin içinin işaretini belirler ve ifadenin sadeleştirilmesinde kritik rol oynar.
Rate this question

Topics

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

More questions from this topic