Examkin

Question

Difficulty: MediumParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Sıfırdan farklı her aa gerçel sayısı için lim⁡x→a+∣x2−a2∣x−a+lim⁡x→a−∣x2−a2∣x−a=2a\lim_{x \to a^+} \frac{|x^2 - a^2|}{x - a} + \lim_{x \to a^-} \frac{|x^2 - a^2|}{x - a} = 2a eşitliği doğrudur.

Answer: Answer

Answer

Verilen limitlerin toplamı, sıfırdan farklı her aa gerçel sayısı için 2a2a değerine değil, her zaman 00 değerine eşittir. Bu nedenle ifade yanlıştır.
Verilen limitlerin toplamı her zaman sıfıra eşittir. İfadede iddia edilen 2a2a değeri, yalnızca a=0a=0 için geçerli olup sıfırdan farklı gerçel sayılar için yanlıştır.

Step-by-Step Solution

1
a>0a > 0 durumunu ele alarak sağdan limit değerini hesaplayalım.
x→a+x \to a^+ için x>a>0x > a > 0 olduğundan x2>a2x^2 > a^2 ve ∣x2−a2∣=x2−a2|x^2 - a^2| = x^2 - a^2 olur. Limit değeri lim⁡x→a+x2−a2x−a=lim⁡x→a+(x+a)=2a\lim_{x \to a^+} \frac{x^2 - a^2}{x - a} = \lim_{x \to a^+} (x + a) = 2a olarak bulunur.
Sağdan yaklaşırken xx değeri aa değerinden büyük olduğu için mutlak değerin içi pozitif olur.
2
a>0a > 0 durumunda soldan limit değerini hesaplayalım.
x→a−x \to a^- için 0<x<a0 < x < a olduğundan x2<a2x^2 < a^2 ve ∣x2−a2∣=−(x2−a2)|x^2 - a^2| = -(x^2 - a^2) olur. Limit değeri lim⁡x→a−−(x2−a2)x−a=lim⁡x→a−−(x+a)=−2a\lim_{x \to a^-} \frac{-(x^2 - a^2)}{x - a} = \lim_{x \to a^-} -(x + a) = -2a olarak bulunur.
Soldan yaklaşırken xx değeri aa değerinden küçük olduğu için mutlak değerin içi negatif olur.
3
Bulunan sağ ve sol limit değerlerini toplayarak ifadeyi test edelim.
Sağdan limit 2a2a, soldan limit −2a-2a olduğundan toplamları 2a+(−2a)=02a + (-2a) = 0 olur.
Limitlerin toplamı 00 olup, a≠0a \neq 0 koşulu altında bu değer 2a2a değerinden farklıdır.

Key Concept

Mutlak değer fonksiyonunun kritik noktalarındaki limitleri hesaplanırken, sağdan ve soldan yaklaşım durumlarına göre mutlak değerin içinin işareti belirlenir ve limit ayrı ayrı hesaplanır.

Alternative Method

Alternatif bir çözüm olarak, a=1a = 1 gibi özel bir değer seçilerek sağ limit 22 ve sol limit −2-2 olarak hesaplanabilir. Toplam 00 çıkarken 2a=22a = 2 olduğundan ifadenin yanlış olduğu kolayca görülebilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

More questions from this topic