f(x) = \begin{cases} 3x - k, & x < 2 \\ 2x + 1, & x \geq 2 \end{cases} biçiminde tanımlana… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f(x) = \begin{cases} 3x - k, & x < 2 \\ 2x + 1, & x \geq 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanan $f(x)$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasında limitinin var olması için $k$ gerçek sayısı kaç olmalıdır?

k gerçek sayısı 1 olmalıdır.

Fonksiyonun

x = 2

noktasında limitinin var olması için bu noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir. Sol limit

\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3(2) - k = 6 - k

ve sağ limit

\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2(2) + 1 = 5

olarak hesaplanır. Bu iki limit değeri birbirine eşitlendiğinde

6 - k = 5

denklemi elde edilir ve buradan

k = 1

bulunur.

Fonksiyonun

x = 2

noktasındaki sol limitini hesaplayınız.

\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3(2) - k = 6 - k

x < 2

bölgesi için tanımlı olan

3x - k

kuralı kullanılır.

Fonksiyonun

x = 2

noktasındaki sağ limitini hesaplayınız.

\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2(2) + 1 = 5

x \geq 2

bölgesi için tanımlı olan

2x + 1

kuralı kullanılır.

Limitin var olması için elde edilen sağ ve sol limit değerlerini birbirine eşitleyerek bilinmeyeni bulunuz.

6 - k = 5 \implies k = 1

Bir noktada limitin var olması için o noktadaki sağdan ve soldan limitlerin eşit olması şarttır.

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda kritik (sınır) noktada limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin birbirine eşit olması gerekir.

Question