Examkin

Question

Difficulty: MediumParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
f(x)={∣x2−4∣x−2+a,x<23x+b,x≥2f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 4|}{x - 2} + a, & x < 2 \\ 3x + b, & x \geq 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanan f(x)f(x) fonksiyonunun x=2x = 2 noktasında limiti olduğuna göre, a−ba - b farkı kaçtır?

  1. A
    -10
  2. B
    -2
  3. C
    2
  4. D
    6
  5. 10Answer

Answer

10
Fonksiyonun x=2x = 2 noktasında limitinin var olması için bu noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir. Sol limit hesaplanırken x<2x < 2 olduğundan ∣x2−4∣=−(x2−4)|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) olur ve sadeleştirme sonucunda sol limit −4+a-4 + a olarak bulunur. Sağ limit ise doğrudan 6+b6 + b olarak elde edilir. Bu iki limit değerinin eşitlenmesiyle −4+a=6+b  ⟹  a−b=10-4 + a = 6 + b \implies a - b = 10 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Sol limitin hesaplanması için x→2−x \to 2^- durumunda mutlak değerin içinin işaretini inceleyin.
x→2−x \to 2^- için x<2x < 2 olduğundan x2<4x^2 < 4 ve dolayısıyla x2−4<0x^2 - 4 < 0 olur. Bu nedenle mutlak değerli ifade ∣x2−4∣=−(x2−4)|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) olarak dışarı çıkar.
Kritik noktada mutlak değerli bir ifadenin limitini hesaplamak için yaklaşılan yöne göre ifadenin işareti belirlenmelidir.
2
Sıfır bölü sıfır belirsizliğini gidermek için ifadeyi sadeleştirin ve sol limiti hesaplayın.
lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2−(−(x−2)(x+2)x−2+a)=lim⁡x→2−(−(x+2)+a)=−(2+2)+a=−4+a\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left( \frac{-(x - 2)(x + 2)}{x - 2} + a \right) = \lim_{x \to 2^-} (-(x + 2) + a) = -(2 + 2) + a = -4 + a bulunur.
Pay ve paydadaki ortak (x−2)(x - 2) çarpanları sadeleştirilerek belirsizlik ortadan kaldırılır.
3
Sağ limiti hesaplayın.
lim⁡x→2+f(x)=lim⁡x→2+(3x+b)=3(2)+b=6+b\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x + b) = 3(2) + b = 6 + b bulunur.
x→2+x \to 2^+ yaklaşımı x≥2x \ge 2 aralığına denk geldiğinden bu aralıktaki fonksiyon kuralı kullanılır.
4
Limitin var olma koşulunu uygulayarak parametreler arasındaki ilişkiyi kurun.
lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2+f(x)  ⟹  −4+a=6+b  ⟹  a−b=10\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) \implies -4 + a = 6 + b \implies a - b = 10 elde edilir.
Bir noktada limitin var olması için o noktadaki sağ ve sol limitlerin birbirine eşit olması gerekir.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitlerinde kritik noktalar incelenirken sağdan ve soldan limitler ayrı ayrı kontrol edilir. Mutlak değer içeren ifadelerde, limit değerine yaklaşılan yöne göre mutlak değerin içi pozitif veya negatif olarak belirlenir ve gerekirse sadeleştirme yapılarak belirsizlikler giderilir.
Rate this question

Topics

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

More questions from this topic