Examkin

Question

Difficulty: Very hardParabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Analitik düzlemde, y=x2+4x+ky = x^2 + 4x + k parabolüne başlangıç noktasından çizilen teğet doğruları birbirine diktir. Bu teğet doğrularının parabole değme noktalarından geçen doğrunun yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Answer: 8.5

Answer

Teğet doğrularının parabole değme noktalarından geçen doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 8,5'tir.
Doğruların parabole teğet olması ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfır olmasını gerektirir. Teğetlerin dikliği ise eğimler çarpımının -1 olmasını gerektirir. Bu iki temel koşul birleştirildiğinde k değeri 17/4 olarak bulunur. Değme noktalarından geçen doğrunun denklemi y = 4x + 2k şeklinde kurulur ve x = 0 için y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 2k = 8,5 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Orijinden geçen teğet doğrularının denklemini belirleme.
Teğetlerin denklemleri y=mxy = mx biçimindedir.
Başlangıç noktasından (orijinden) geçen doğruların y-kesimi sıfırdır.
2
Parabol ile teğet doğrusunun ortak çözüm denklemini oluşturma.
x2+(4−m)x+k=0x^2 + (4-m)x + k = 0
Kesişim ve teğetlik noktalarını bulmak için iki fonksiyonun kuralları birbirine eşitlenir.
3
Teğetlik şartını uygulayarak eğimler denklemine ulaşma.
Δ=(4−m)2−4k=0⇒m2−8m+16−4k=0\Delta = (4-m)^2 - 4k = 0 \Rightarrow m^2 - 8m + 16 - 4k = 0
Bir doğrunun bir parabole teğet olması için ortak çözüm denkleminin çakışık iki kökü olmalıdır, bu da diskriminantın sıfır olmasını gerektirir.
4
Teğetlerin birbirine dik olması koşulunu kullanarak kk değerini bulma.
m1⋅m2=−1⇒16−4k=−1⇒k=174m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow 16 - 4k = -1 \Rightarrow k = \frac{17}{4}
Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı −1-1 değerine eşittir. Burada kökler çarpımı formülü uygulanmıştır.
5
Değme noktalarının koordinatlarını eğimler cinsinden bulma.
A(m1−42,m12−4m12)A\left(\frac{m_1-4}{2}, \frac{m_1^2-4m_1}{2}\right) ve B(m2−42,m22−4m22)B\left(\frac{m_2-4}{2}, \frac{m_2^2-4m_2}{2}\right)
Ortak çözüm denkleminde teğet noktalarının apsisleri kökler olup x=−b/(2a)x = -b/(2a) yardımıyla tek bir değere sahip olur.
6
Değme noktalarından geçen doğrunun eğimini hesaplama.
Eğim a=m1+m2−4a = m_1 + m_2 - 4. Eğimler denkleminde kökler toplamı m1+m2=8m_1 + m_2 = 8 olduğundan eğim a=4a = 4 bulunur.
İki noktadan geçen doğrunun eğim formülü uygulanarak kökler toplamı cinsinden ifade edilir.
7
Doğru denklemini kurup yy-eksenini kestiği noktanın ordinatını hesaplama.
y=4x+2ky = 4x + 2k doğrusu elde edilir. Buradan yy-kesimi 2k=2⋅174=8.52k = 2 \cdot \frac{17}{4} = 8.5 olarak bulunur.
Değme noktalarından geçen doğrunun denklemi düzenlenerek x=0x=0 için ordinat değeri hesaplanır.

Key Concept

Parabol ile doğrunun birbirine göre durumları, teğetlik koşulu (diskriminantın sıfır olması) ve dik doğruların eğim ilişkisi.
Rate this question

Topics

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

More questions from this topic