Examkin

Question

Difficulty: EasyParabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

y=x2+2x+1y = x^2 + 2x + 1 parabolü ile y=mx−3y = mx - 3 doğrusu birbirine teğettir. m>0m > 0 olduğuna göre, mm gerçek sayısının değeri kaçtır?

Answer: 6

Answer

Parabol ile doğrunun birbirine teğet olması ve doğrunun eğiminin pozitif olması koşulunu sağlayan mm değeri 66'dır.
Ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfıra eşitlenmesiyle elde edilen köklerden m>0m > 0 koşulunu sağlayan tek değer 66 sayısıdır.

Step-by-Step Solution

1
Parabol ve doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini oluşturun.
x2+2x+1=mx−3  ⟹  x2+(2−m)x+4=0x^2 + 2x + 1 = mx - 3 \implies x^2 + (2-m)x + 4 = 0 denklemi elde edilir.
Parabol ile doğrunun ortak noktalarını belirleyen ikinci dereceden denklemi elde etmek için iki kural birbirine eşitlenir.
2
Ortak çözüm denkleminin diskriminantını (Δ\Delta) sıfıra eşitleyin.
Δ=(2−m)2−4⋅1⋅4=0  ⟹  (2−m)2=16\Delta = (2-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0 \implies (2-m)^2 = 16
Bir parabol ile bir doğrunun birbirine teğet olması, ortak çözüm denkleminin tek (çakışık) kökünün olması anlamına gelir. Bu da diskriminantın sıfıra eşit olmasını gerektirir.
3
Diskriminant eşitliğinden elde edilen denklemi çözerek mm değerlerini belirleyin ve pozitif olanını seçin.
2−m=4  ⟹  m=−22-m = 4 \implies m = -2 veya 2−m=−4  ⟹  m=62-m = -4 \implies m = 6. m>0m > 0 koşulu nedeniyle m=6m = 6 alınır.
Karesel ifadenin çözümünden iki farklı eğim değeri elde edilir. Soru kökündeki pozitiflik sınırlandırmasına uygun olan değer nihai çözüm olarak seçilir.

Key Concept

Parabol ile doğrunun birbirine göre durumları incelenirken ortak çözüm denkleminin diskriminantı (Δ\Delta) kullanılır. Doğru parabole teğet ise Δ=0\Delta = 0 olur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

More questions from this topic