Examkin

Question

Difficulty: Very hardParabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Analitik düzlemde, y=x2−4x+5y = x^2 - 4x + 5 parabolü ile y=mx−4y = mx - 4 doğrusu verilmiştir. Bu doğru parabolü iki farklı AA ve BB noktasında kesmektedir. AA ve BB noktalarından parabole çizilen teğet doğruları bir PP noktasında kesişmektedir. PP noktasının ordinatı −2-2 olduğuna göre, mm sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Answer: 4

Answer

Ortak çözüm denkleminin kökleri kesişim noktalarının apsislerini verir. Teğetlerin kesişim noktasının ordinatının kökler toplamı ve çarpımı cinsinden ifadesi olan yp=x1x2−2(x1+x2)+5y_p = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 5 denkleminde değerler yerine yazılıp −2-2'ye eşitlendiğinde pozitif mm değeri 44 olarak bulunur.
Ortak çözüm denkleminin kökleri kesişim noktalarının apsislerini verir. Teğetlerin kesişim noktasının ordinatının kökler toplamı ve çarpımı cinsinden ifadesi olan yp=x1x2−2(x1+x2)+5y_p = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 5 denkleminde değerler yerine yazılıp −2-2'ye eşitlendiğinde pozitif mm değeri 44 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Parabol ile doğrunun kesim noktalarını bulmak için ortak çözüm denklemini yazın.
x2−4x+5=mx−4  ⟹  x2−(m+4)x+9=0x^2 - 4x + 5 = mx - 4 \implies x^2 - (m+4)x + 9 = 0 denklemi elde edilir.
Kesişim noktalarının koordinatlarını belirlemek ve kökler toplamı ile çarpımını bulmak için ortak denklem gereklidir.
2
Ortak çözüm denkleminin kökleri olan x1x_1 ve x2x_2 için Vieta bağıntılarını kullanarak kökler toplamı ve çarpımını bulun.
x1+x2=m+4x_1 + x_2 = m+4 ve x1x2=9x_1 x_2 = 9 olarak bulunur.
Kesişim noktalarının apsisleri arasındaki ilişkiler, teğetlerin kesişim noktasını bulmada kullanılacaktır.
3
Parabolün üzerindeki A(x1,y1)A(x_1, y_1) ve B(x2,y2)B(x_2, y_2) noktalarından çizilen teğetlerin denklemlerini türev yardımıyla yazın.
Teğet denklemleri y=(2x1−4)x−x12+5y = (2x_1 - 4)x - x_1^2 + 5 ve y=(2x2−4)x−x22+5y = (2x_2 - 4)x - x_2^2 + 5 şeklinde elde edilir.
Teğetlerin kesişim noktası olan P(xp,yp)P(x_p, y_p) koordinatlarını bulmak için teğet denklemlerine ihtiyaç vardır.
4
Teğet denklemlerini birbirine eşitleyerek kesişim noktasının apsisi xpx_p ve ordinatı ypy_p değerlerini x1x_1 ve x2x_2 cinsinden bulun.
xp=x1+x22x_p = \frac{x_1 + x_2}{2} ve yp=x1x2−2(x1+x2)+5y_p = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 5 bağıntıları elde edilir.
Kesişim noktasının ordinatının genel ifadesini belirleyip mm parametresine bağlamak için bu sadeleştirme yapılır.
5
ypy_p ifadesinde kökler toplamı ve çarpımını yerine yazarak mm değerini hesaplayın.
yp=9−2(m+4)+5=6−2my_p = 9 - 2(m+4) + 5 = 6 - 2m olur. Kesişim noktasının ordinatı −2-2 olarak verildiğinden, 6−2m=−2  ⟹  m=46 - 2m = -2 \implies m = 4 bulunur.
Soruda verilen ordinat değeri yardımıyla bilinmeyen mm parametresini çözmek için denklem kurulur.

Key Concept

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarından parabole çizilen teğetlerin kesişim noktasının koordinatları, kesişim noktalarının apsisleri toplamı ve çarpımı cinsinden ifade edilebilir.
Rate this question

Topics

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

More questions from this topic