Examkin

Question

Difficulty: MediumParabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Analitik düzlemde, y=x2−2ax+a2+ay = x^2 - 2ax + a^2 + a parabolü ile y=2x−3y = 2x - 3 doğrusu birbirine teğettir. Buna göre, bu parabol ile doğrunun teğet olduğu noktanın koordinatları toplamı kaçtır?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 6Answer
  4. D
    8
  5. E
    12

Answer

Parabol ile doğrunun teğet olduğu noktanın koordinatları toplamı 6'dır.
Parabol ve doğrunun teğetlik durumunda ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır. Buradan a=2a = 2 bulunur. a=2a = 2 değeri için ortak çözüm denklemi x2−6x+9=0x^2 - 6x + 9 = 0 olup teğet noktasının apsisi x=3x = 3 olarak elde edilir. Apsis değeri doğru denkleminde yerine yazıldığında teğet noktasının ordinatı y=3y = 3 bulunur. Böylece teğet noktasının koordinatları toplamı 3+3=63 + 3 = 6 olur.

Step-by-Step Solution

1
Parabol ve doğrunun denklemleri birbirine eşitlenerek kesişim noktalarını veren ortak çözüm denklemi oluşturulur.
x2−2ax+a2+a=2x−3  ⟹  x2−2(a+1)x+a2+a+3=0x^2 - 2ax + a^2 + a = 2x - 3 \implies x^2 - 2(a+1)x + a^2 + a + 3 = 0
Parabol ve doğrunun birbirine göre durumlarını incelemek için ortak çözüm yapılması gerekir.
2
Doğru ile parabolün birbirine teğet olması için ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfıra eşitlenir (Δ=0\Delta = 0).
Δ=[−2(a+1)]2−4⋅1⋅(a2+a+3)=0  ⟹  4(a2+2a+1)−4(a2+a+3)=0  ⟹  4(a−2)=0  ⟹  a=2\Delta = [-2(a+1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + a + 3) = 0 \implies 4(a^2 + 2a + 1) - 4(a^2 + a + 3) = 0 \implies 4(a - 2) = 0 \implies a = 2
Teğetlik durumunda ortak çözüm denkleminin tek bir gerçek kökü (çift katlı kök) olmalıdır, bu da diskriminantın sıfır olmasını gerektirir.
3
a=2a = 2 değeri ortak çözüm denkleminde yerine yazılarak teğet noktasının apsis (x) değeri bulunur.
x2−2(2+1)x+22+2+3=0  ⟹  x2−6x+9=0  ⟹  (x−3)2=0  ⟹  x=3x^2 - 2(2+1)x + 2^2 + 2 + 3 = 0 \implies x^2 - 6x + 9 = 0 \implies (x-3)^2 = 0 \implies x = 3
Teğet noktasının koordinatlarını hesaplamak için ortak denklemin kökü elde edilmelidir.
4
Bulunan apsis değeri doğru denkleminde yerine yazılarak ordinat (y) değeri hesaplanır ve koordinatlar toplanır.
y=2(3)−3=3y = 2(3) - 3 = 3 olduğundan teğet noktası (3,3)(3, 3)'tür. Koordinatları toplamı: 3+3=63 + 3 = 6 bulunur.
Soruda teğet noktasının koordinatları toplamı istenmektedir.

Key Concept

Parabol ile doğrunun birbirine teğet olma durumu (ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfıra eşit olması)
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

More questions from this topic