Examkin

Question

Difficulty: MediumTek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonunun grafiği ordinat eksenine göre simetriktir.

Her xx gerçel sayısı için
g(x)=f(x−2)+kg(x) = f(x - 2) + k
olarak tanımlanan gg fonksiyonunun grafiği x=ax = a doğrusuna göre simetriktir.

f(−2)=5f(-2) = 5 ve g(4)=8g(4) = 8 olduğuna göre, a+ka + k toplamı kaçtır?

  1. A
    1
  2. B
    3
  3. 5Answer
  4. D
    11
  5. E
    15

Answer

Doğru cevap 5'tir.
Doğru cevap olan 5 değeri, f fonksiyonunun çift fonksiyon özelliğinden f(2) = f(-2) = 5 eşitliği ve g(x) = f(x-2) + k dönüşümünde simetri ekseninin x = 2 doğrusuna ötelenmesiyle (a = 2) bulunur. Buradan g(4) = f(2) + k = 5 + k = 8 eşitliğinden k = 3 elde edilir ve a + k = 5 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
ff fonksiyonunun simetri özelliğini belirleme.
ff fonksiyonunun grafiği ordinat eksenine (y-eksenine) göre simetrik olduğundan ff bir çift fonksiyondur ve her xx için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliği sağlanır. Buradan f(2)=f(−2)=5f(2) = f(-2) = 5 elde edilir.
Verilen f(−2)=5f(-2) = 5 değerini f(2)f(2) değerine dönüştürmek için çift fonksiyon özelliği kullanılır.
2
gg fonksiyonunun simetri eksenini bulma.
f(x)f(x) fonksiyonunun simetri ekseni x=0x = 0 doğrusudur. g(x)=f(x−2)+kg(x) = f(x-2) + k fonksiyonu, ff fonksiyonunun grafiğinin 2 birim sağa ve kk birim yukarı ötelenmesiyle elde edilir. Dikey öteleme simetri eksenini etkilemezken, 2 birim sağa öteleme simetri eksenini x=2x = 2 doğrusuna taşır. Buradan a=2a = 2 bulunur.
gg fonksiyonunun simetri ekseni olan x=ax = a doğrusundaki aa değerini belirlemek için yatay öteleme kuralı uygulanır.
3
kk sabitini ve a+ka + k toplamını hesaplama.
g(4)=f(4−2)+k  ⟹  g(4)=f(2)+kg(4) = f(4-2) + k \implies g(4) = f(2) + k yazılır. g(4)=8g(4) = 8 ve f(2)=5f(2) = 5 değerleri yerine konulduğunda 8=5+k  ⟹  k=38 = 5 + k \implies k = 3 bulunur. Buradan a+k=2+3=5a + k = 2 + 3 = 5 elde edilir.
g(4)g(4) bilgisi kullanılarak kk sabiti çözülür ve istenen toplam hesaplanır.

Key Concept

Çift fonksiyonların simetri özellikleri ve öteleme dönüşümleri altındaki davranışları.

Alternative Method

Öteleme kurallarını doğrudan grafik üzerinde canlandırarak da sonuca ulaşılabilir. y = f(x) çift fonksiyonunun grafiği y-eksenine göre simetriktir. Bu grafiğin her bir noktasını 2 birim sağa kaydırdığımızda, simetri ekseni de 2 birim sağa kayarak x = 2 doğrusu olur. Grafiği yukarı veya aşağı kaydırmak simetri ekseninin yerini değiştirmediğinden a = 2 doğrudan görülebilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri

More questions from this topic