Examkin

Question

Difficulty: Very hardTek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.

Her xx gerçek sayısı için,
f(x)−3f(−x)=4x3−8xf(x) - 3f(-x) = 4x^3 - 8x
eşitliği sağlanmaktadır.

g(x)=f(x−2)+4g(x) = f(x - 2) + 4 biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun grafiğinin simetri merkezi A(a,b)A(a, b) noktasıdır.

Buna göre, f(a)+g(b)f(a) + g(b) toplamının değeri kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    8
  3. 12Answer
  4. D
    60
  5. E
    -12

Answer

12
f fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan f bir tek fonksiyondur. f(-x) = -f(x) yazılıp denklem çözüldüğünde f(x) = x^3 - 2x elde edilir. g(x) = f(x - 2) + 4 fonksiyonunun simetri merkezi, f fonksiyonunun simetri merkezi olan (0, 0) noktasının 2 birim sağa ve 4 birim yukarı ötelenmesiyle (2, 4) olarak bulunur. Buradan a = 2 ve b = 4 elde edilir. f(2) = 4 ve g(4) = f(2) + 4 = 8 değerlerinin toplamı 12 olur.

Step-by-Step Solution

1
f fonksiyonunun tek/çift olma durumunun belirlenmesi
f fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan f bir tek fonksiyondur. Dolayısıyla her x gerçek sayısı için f(-x) = -f(x) eşitliği sağlanır.
Orijine göre simetrik olan fonksiyonlar tek fonksiyondur.
2
f(x) fonksiyonunun kuralının elde edilmesi
f(-x) = -f(x) ifadesi verilen denklemde yerine yazıldığında f(x) - 3(-f(x)) = 4x^3 - 8x elde edilir. Buradan 4f(x) = 4x^3 - 8x ve f(x) = x^3 - 2x olarak bulunur.
Verilen fonksiyonel denklemde tek fonksiyon tanımı kullanılarak bilinmeyen fonksiyonun kuralı elde edilir.
3
g fonksiyonunun simetri merkezinin belirlenmesi
f fonksiyonunun simetri merkezi orijin yani (0, 0) noktasıdır. g(x) = f(x - 2) + 4 fonksiyonunun grafiği, f fonksiyonunun 2 birim sağa ve 4 birim yukarı ötelenmesiyle elde edildiği için g'nin simetri merkezi A(2, 4) olur. Buradan a = 2 ve b = 4 bulunur.
Bir fonksiyonun grafiği ötelendiğinde simetri merkezi de aynı miktarda ötelenir.
4
f(a) ve g(b) değerlerinin hesaplanması ve toplamın bulunması
a = 2 için f(2) = 2^3 - 2(2) = 4 olur. b = 4 için g(4) = f(4 - 2) + 4 = f(2) + 4 = 4 + 4 = 8 olur. Buradan f(a) + g(b) = 4 + 8 = 12 elde edilir.
Bulunan simetri merkezi koordinatları fonksiyon kurallarında yerine yazılarak istenen toplam hesaplanır.

Key Concept

Tek fonksiyonların simetri özellikleri ve öteleme dönüşümleri altındaki simetri merkezlerinin değişimi.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri

More questions from this topic