Examkin

Question

Difficulty: HardAnlık Değişim Oranı ve Türevin Limit Tanımı

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun x=2x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusunun denklemi y=3x−4y = 3x - 4 olarak veriliyor.

Buna göre,

I. ff fonksiyonunun [0,2][0, 2] aralığındaki ortalama değişim hızı 33'tür.
II. ff fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki anlık değişim oranı 33'tür.
III. lim⁡h→0f(2+h2+3h)−f(2−h)h=12\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h^2+3h) - f(2-h)}{h} = 12'dir.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

  1. A
    I ve II
  2. B
    Yalnız II
  3. II ve IIIAnswer
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Answer

II ve III öncülleri kesinlikle doğrudur.
Doğrunun eğimi olan 33, fonksiyonun x=2x=2 noktasındaki türevine yani anlık değişim oranına eşittir. Limit ifadesi paya f(2)f(2) eklenip çıkarılarak iki ayrı limit olarak düzenlendiğinde 3f′(2)+f′(2)=4f′(2)=123f'(2) + f'(2) = 4f'(2) = 12 elde edilir. Bu nedenle ikinci ve üçüncü öncüller kesinlikle doğrudur. f(0)f(0) değeri bilinemediğinden ortalama değişim hızı hesaplanamaz.

Step-by-Step Solution

1
Teğet doğrusundan yararlanarak teğet noktasındaki fonksiyon değerini ve türevi belirleme
f(2)=3(2)−4=2f(2) = 3(2) - 4 = 2 ve f′(2)=3f'(2) = 3
Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine (anlık değişim oranına) eşittir.
2
Birinci öncülü ortalama değişim hızı tanımıyla değerlendirme
[0,2][0, 2] aralığındaki ortalama değişim hızı f(2)−f(0)2−0=2−f(0)2\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{2 - f(0)}{2} ifadesidir. f(0)f(0) bilinemediğinden bu de��er kesin olarak hesaplanamaz.
Teğet doğrusu fonksiyonun diğer noktalardaki değerleri hakkında bilgi vermez, bu sebeple f(0)f(0) değeri belirsizdir.
3
İkinci öncülü anlık değişim oranı tanımıyla değerlendirme
x=2x = 2 noktasındaki anlık değişim oranı f′(2)=3f'(2) = 3 olarak bulunur.
Anlık değişim oranı, türevin limit tanımına karşılık gelmektedir.
4
Üçüncü öncüldeki limit ifadesini düzenleme ve hesaplama
lim⁡h→0f(2+h2+3h)−f(2)+f(2)−f(2−h)h=lim⁡h→0f(2+h2+3h)−f(2)h2+3h⋅(h+3)+lim⁡h→0f(2−h)−f(2)−h=3f′(2)+f′(2)=4f′(2)=4×3=12\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h^2+3h) - f(2) + f(2) - f(2-h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h^2+3h) - f(2)}{h^2+3h} \cdot (h+3) + \lim_{h \to 0} \frac{f(2-h) - f(2)}{-h} = 3f'(2) + f'(2) = 4f'(2) = 4 \times 3 = 12
Türevin limit tanımını uygulayabilmek için pay kısmına f(2)f(2) eklenip çıkarılmış ve limit değişken dönüşümleri yapılmıştır.

Key Concept

Türevin limit tanımı, anlık değişim oranı ve teğet eğimi ilişkisi
Rate this question

Topics

Anlık Değişim Oranı ve Türevin Limit Tanımı

More questions from this topic