Examkin

Question

Difficulty: HardParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)={∣x2−4x+3∣x−3+2x+k,x<3x2−2x+1,x≥3f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 4x + 3|}{x - 3} + 2x + k, & x < 3 \\ x^2 - 2x + 1, & x \ge 3 \end{cases}

fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında limitinin var olması için k=0k = 0 olmalıdır.

Answer: Answer

Answer

Verilen ifade doğrudur.
Verilen parçalı fonksiyonun x=3x = 3 noktasında sağ limiti 44 ve sol limiti 4+k4+k olup, limitin var olabilmesi için bu iki değerin eşit olması (k=0k = 0) gerekmektedir.

Step-by-Step Solution

1
x=3x = 3 noktasındaki sağ limiti hesaplayın.
lim⁡x→3+f(x)=lim⁡x→3+(x2−2x+1)=32−2(3)+1=4\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (x^2 - 2x + 1) = 3^2 - 2(3) + 1 = 4
x→3+x \to 3^+ iken x>3x > 3 olduğundan parçalı fonksiyonun alt dalı kullanılır.
2
x→3−x \to 3^- için mutlak değerli terimin işaretini belirleyin ve sadeleştirin.
x<3x < 3 ve xx değeri 33'e yeterince yakınken (örneğin 1<x<31 < x < 3 aralığında) x2−4x+3=(x−3)(x−1)x^2 - 4x + 3 = (x-3)(x-1) çarpımında (x−3)<0(x-3) < 0 ve (x−1)>0(x-1) > 0 olduğundan ifade negatif değerler alır. Bu nedenle ∣x2−4x+3∣=−(x2−4x+3)=−(x−3)(x−1)|x^2 - 4x + 3| = -(x^2 - 4x + 3) = -(x-3)(x-1) olarak dışarı çıkar. Buradan rasyonel ifade −(x−3)(x−1)x−3=−(x−1)=1−x\frac{-(x-3)(x-1)}{x-3} = -(x-1) = 1-x şeklinde sadeleşir.
0/00/0 belirsizliğini ortadan kaldırmak için mutlak değer dışına ç��karma ve sadeleştirme adımları uygulanır.
3
x=3x = 3 noktasındaki sol limiti hesaplayın.
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3−(1−x+2x+k)=lim⁡x→3−(x+1+k)=3+1+k=4+k\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (1 - x + 2x + k) = \lim_{x \to 3^-} (x + 1 + k) = 3 + 1 + k = 4 + k
Sadeleşmiş fonksiyon ifadesinde limit değeri yerine yazılarak sol limit hesaplanır.
4
Sağ ve sol limitleri eşitleyerek kk değerini bulun.
4+k=4  ⟹  k=04 + k = 4 \implies k = 0
Kritik noktada limitin var olması için sağ ve sol limitlerin eşit olması zorunludur.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitini hesaplarken kritik noktalarda sağdan ve soldan limitler ayrı ayrı incelenmelidir. Mutlak değer içeren ifadelerde limit noktasına yaklaşırken ifadenin işareti belirlenerek mutlak değer dışına çıkarma işlemi yapılmalıdır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

More questions from this topic