Examkin

Question

Difficulty: MediumDeğişken Değiştirme Yöntemi
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫07f(x) dx=24\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 24
∫12f(x) dx=12\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 12
∫17f(x) dx=15\int_{1}^{7} f(x) \, dx = 15
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12x2⋅f(x3−1) dx\int_{1}^{2} x^2 \cdot f(x^3 - 1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    12
  2. 8Answer
  3. C
    4
  4. D
    24
  5. E
    5

Answer

İntegralin doğru değeri 8'dir.
Doğru seçenekte belirtilen değer, u=x3−1u = x^3 - 1 dönüşümüyle diferansiyelin x2 dx=du3x^2 \, dx = \frac{du}{3} şeklinde yazılması ve sınırların 00 ile 77 olarak güncellenmesiyle elde edilen 13∫07f(u) du=243=8\frac{1}{3} \int_{0}^{7} f(u) \, du = \frac{24}{3} = 8 hesabına dayanmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
u=x3−1u = x^3 - 1 dönüşümü yapılır ve her iki tarafın diferansiyeli alınır.
du=3x2 dx  ⟹  x2 dx=du3du = 3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = \frac{du}{3} elde edilir.
İntegral içindeki x2 dxx^2 \, dx ifadesini yeni değişken uu cinsinden yazabilmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=13−1=0x = 1 \implies u = 1^3 - 1 = 0 ve üst sınır için x=2  ⟹  u=23−1=7x = 2 \implies u = 2^3 - 1 = 7 bulunur.
İntegrasyon değişkeni değiştirildiğinde belirli integralin sınırlarının da bu dönüşüme uygun olarak güncellenmesi gerektiği için.
3
Dönüşümler ve yeni sınırlar integralde yerine yazılarak integral hesaplanır.
∫12x2⋅f(x3−1) dx=∫07f(u)⋅du3=13∫07f(u) du\int_{1}^{2} x^2 \cdot f(x^3 - 1) \, dx = \int_{0}^{7} f(u) \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int_{0}^{7} f(u) \, du elde edilir. Soruda verilen ∫07f(x) dx=24\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 24 değeri yerine yazıldığında, sonuç 13⋅24=8\frac{1}{3} \cdot 24 = 8 olarak bulunur.
Değişken değiştirme işlemi tamamlandıktan sonra verilen integral değerini kullanarak nihai sonucu elde etmek için.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulandığında, integrali alınan ifadenin diferansiyeli ile birlikte integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Değişken Değiştirme Yöntemi

More questions from this topic