Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Denklemler
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
sin⁡2(x)−(1+3)sin⁡(x)cos⁡(x)+3cos⁡2(x)=0\sin^2(x) - (1 + \sqrt{3})\sin(x)\cos(x) + \sqrt{3}\cos^2(x) = 0
denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?
  1. A
    5π12\frac{5\pi}{12}
  2. B
    π3\frac{\pi}{3}
  3. 7π12\frac{7\pi}{12}Answer
  4. D
    11π12\frac{11\pi}{12}
  5. E
    13π12\frac{13\pi}{12}

Answer

Farklı gerçel köklerin toplamı 7π12\frac{7\pi}{12} radyandır.
Denklemin her iki tarafı cos⁡2(x)\cos^2(x) ile bölündüğünde elde edilen tan⁡2(x)−(1+3)tan⁡(x)+3=0\tan^2(x) - (1 + \sqrt{3})\tan(x) + \sqrt{3} = 0 denklemi (tan⁡(x)−1)(tan⁡(x)−3)=0(\tan(x) - 1)(\tan(x) - \sqrt{3}) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan elde edilen kökler [0,π][0, \pi] aralığında π4\frac{\pi}{4} ve π3\frac{\pi}{3} olup toplamları 7π12\frac{7\pi}{12} değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemin her iki tarafı cos⁡2(x)\cos^2(x) ile bölünerek denklem tan⁡(x)\tan(x) cinsinden yazılır.
tan⁡2(x)−(1+3)tan⁡(x)+3=0\tan^2(x) - (1 + \sqrt{3})\tan(x) + \sqrt{3} = 0
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyon türünden ifade ederek çarpanlara ayırmayı kolaylaştırmak.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklem çarpanlarına ayrılır.
(tan⁡(x)−1)(tan⁡(x)−3)=0(\tan(x) - 1)(\tan(x) - \sqrt{3}) = 0
Denklemi sağlayan tan⁡(x)\tan(x) değerlerini ayrı ayrı belirlemek.
3
Çarpanlar sıfıra eşitlenerek [0,π][0, \pi] aralığındaki kökler bulunur.
tan⁡(x)=1  ⟹  x1=π4\tan(x) = 1 \implies x_1 = \frac{\pi}{4}
tan⁡(x)=3  ⟹  x2=π3\tan(x) = \sqrt{3} \implies x_2 = \frac{\pi}{3}
Tanjant değerleri pozitif olduğundan, belirtilen aralıktaki I. bölge açılarını tespit etmek.
4
Bulunan köklerin toplamı hesaplanır.
x1+x2=π4+π3=7π12x_1 + x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{12}
Soruda istenen toplam kök değerini bulmak.

Key Concept

Homojen trigonometrik denklemleri tanjant fonksiyonuna dönüştürerek çarpanlara ayırma yöntemiyle çözme
Rate this question

Topics

Trigonometrik Denklemler

More questions from this topic