Examkin

Question

Difficulty: HardDeğişken Değiştirme Yöntemi
∫0π2sin⁡(2x)⋅(sin⁡2x+1)3 dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) \cdot (\sin^2 x + 1)^3 \, dx

integralinin değeri kaçtır?

  1. 154\frac{15}{4}Answer
  2. B
    158\frac{15}{8}
  3. C
    14\frac{1}{4}
  4. D
    152\frac{15}{2}
  5. E
    4

Answer

İntegralin değeri 15/4 olarak bulunur.
Doğru seçenekteki değer, u=sin⁡2x+1u = \sin^2 x + 1 dönüşümü ile sınırların [1,2][1, 2] aralığına güncellenmesi ve ∫12u3 du\int_{1}^{2} u^3 \, du integralinin integral kuralları çerçevesinde hesaplanmasıyla elde edilen 154\frac{15}{4} ifadesidir.

Step-by-Step Solution

1
Değişken değiştirme ba��ıntısını ve diferansiyelini belirleme
u=sin⁡2x+1u = \sin^2 x + 1 dönüşümü yapılırsa, diferansiyel du=2sin⁡xcos⁡x dxdu = 2\sin x \cos x \, dx olur. Yarım açı formülünden 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x \cos x = \sin(2x) olduğu için du=sin⁡(2x) dxdu = \sin(2x) \, dx elde edilir.
İntegral içindeki bileşke fonksiyonu basitleştirmek ve diferansiyel terimi u cinsinden ifade etmek için.
2
Belirli integralin sınırlarını u değişkenine göre güncelleme
Alt sınır için: x=0  ⟹  u=sin⁡2(0)+1=1x = 0 \implies u = \sin^2(0) + 1 = 1 olur. Üst sınır için: x=π2  ⟹  u=sin⁡2(π2)+1=1+1=2x = \frac{\pi}{2} \implies u = \sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = 1 + 1 = 2 olur.
Değişken değiştirildiğinde belirli integralin sınırlarının da yeni değişkene uygun olarak güncellenmesi gerektiği için.
3
Yeni sınırları ve u değişkenini integralde yerine yazıp hesaplama
∫12u3 du=[u44]12=244−144=4−14=154\int_{1}^{2} u^3 \, du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_1^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} olarak hesaplanır.
Elde edilen u cinsinden basit integrali temel integral alma kuralları yardımıyla nihai sonuca ulaştırmak için.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların doğru biçimde güncellenmesi ve diferansiyel hesabında zincir kuralına dikkat edilmesi.

Alternative Method

Değişken değiştirme yapıldıktan sonra belirsiz integral F(u)=u44+CF(u) = \frac{u^4}{4} + C olarak bulunur. Burada u yerine sin⁡2x+1\sin^2 x + 1 yazılarak ifade orijinal x değişkenine dönüştürülür: F(x)=(sin⁡2x+1)44+CF(x) = \frac{(\sin^2 x + 1)^4}{4} + C. Daha sonra bu fonksiyona orijinal sınırlar olan 0 ve π2\frac{\pi}{2} değerleri yazılarak [(sin⁡2(π/2)+1)44]−[(sin⁡2(0)+1)44]=164−14=154\left[\frac{(\sin^2(\pi/2) + 1)^4}{4}\right] - \left[\frac{(\sin^2(0) + 1)^4}{4}\right] = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} sonucu elde edilebilir. Ancak bu yol trigonometric terimlerin üslerini hesaplarken daha fazla işlem yükü ve hata riski barındırır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Değişken Değiştirme Yöntemi

More questions from this topic