Examkin

Question

Difficulty: MediumTürevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonunun x=x0x = x_0 noktasında sürekli olduğu bilinmektedir. Buna göre, g(x)=(x−x0)⋅f(x)g(x) = (x - x_0) \cdot f(x) biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun x=x0x = x_0 noktasında her zaman türevlenebilir olduğu ifadesi doğru mudur?

Answer: Answer

Answer

Verilen ifade doğrudur.
Türevin limit tanımına göre limit alındığında (x−x0)(x - x_0) terimleri sadeleşir ve geriye yalnızca lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0} f(x) kalır. ff fonksiyonu x=x0x = x_0 noktasında sürekli olduğundan bu limit değeri mevcut ve f(x0)f(x_0) gerçel sayısına eşittir. Bu nedenle gg fonksiyonu bu noktada her zaman türevlenebilirdir.

Step-by-Step Solution

1
gg fonksiyonunun x=x0x = x_0 noktasındaki değerini hesaplayın.
g(x0)=(x0−x0)⋅f(x0)=0⋅f(x0)=0g(x_0) = (x_0 - x_0) \cdot f(x_0) = 0 \cdot f(x_0) = 0
Türevin limit tanımını yazabilmek için fonksiyonun o noktadaki görüntüsünü bilmemiz gerekir.
2
gg fonksiyonunun x=x0x = x_0 noktasındaki türevlenebilirliğini incelemek amacıyla türevin limit tanımını oluşturun.
g′(x0)=lim⁡x→x0g(x)−g(x0)x−x0=lim⁡x→x0(x−x0)f(x)−0x−x0g'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{(x - x_0)f(x) - 0}{x - x_0}
Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması, limit türev tanımının mevcudiyetiyle belirlenir.
3
Elde edilen limit ifadesinde gerekli sadeleştirmeleri yapın ve süreklilik şartını uygulayın.
\lim_{x \to x_0} \frac{(x - x_0)f(x)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
x≠x0x \neq x_0 koşulu altında pay ve paydadaki (x−x0)(x - x_0) terimleri sadeleşir. ff fonksiyonu x=x0x = x_0 noktasında sürekli olarak verildiğinden, limit değeri fonksiyonun o noktadaki değerine (f(x0)f(x_0)) eşit olur. Bu limit gerçel bir sayı belirttiğinden gg fonksiyonu x=x0x = x_0 noktasında türevlenebilirdir.

Key Concept

Türevin limit tanımı ve süreklilik ile türevlenebilme arasındaki ilişki.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Türevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

More questions from this topic