Examkin

Question

Difficulty: MediumÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
Gerçek say��lar kümesinde tanımlı
(4−x2)⋅(x−3)2x2−5x+6≥0 \frac{(4 - x^2) \cdot (x - 3)^2}{x^2 - 5x + 6} \geq 0
eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    -3
  2. -2Answer
  3. C
    0
  4. D
    1
  5. E
    3

Answer

Eşitsizliğini sağlayan tüm tam sayıların toplamı -2'dir.
Çözüm kümesi [−2,2)∪(2,3)[-2, 2) \cup (2, 3) aralığıdır. Bu aralıkta bulunan tam sayıların toplamı (-2) + (-1) + 0 + 1 = -2'dir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizlikteki ifadeleri çarpanlarına ayırırız.
Pay kısm�� −(x−2)(x+2)(x−3)2-(x-2)(x+2)(x-3)^2, payda kısmı ise (x−2)(x−3)(x-2)(x-3) olarak çarpanlarına ayrılır. Eşitsizlik:
−(x−2)(x+2)(x−3)2(x−2)(x−3)≥0 \frac{-(x-2)(x+2)(x-3)^2}{(x-2)(x-3)} \geq 0
şeklini alır.
Eşitsizli��in köklerini bulmak ve işaret tablosunu oluşturmak için öncelikle çarpanlara ayırma yapılır.
2
Paydayı sıfır yapan tanımsızlık noktalarını belirleriz.
x2−5x+6≠0  ⟹  (x−2)(x−3)≠0  ⟹  x≠2x^2 - 5x + 6 \neq 0 \implies (x-2)(x-3) \neq 0 \implies x \neq 2 ve x≠3x \neq 3 olmalıdır.
Paydayı sıfır yapan değerler rasyonel ifadeyi tanımsız kılacağından eşitsizlikte eşitlik sembolü olsa dahi çözüm kümesine dahil edilemez.
3
Ortak çarpanları sadeleştirerek daha basit bir eşitsizlik elde ederiz.
x≠2x \neq 2 ve x≠3x \neq 3 koşulları altında ortak (x−2)(x-2) ve (x−3)(x-3) çarpanları sadeleştirildiğinde eşitsizlik:
−(x+2)(x−3)≥0  ⟹  (x+2)(x−3)≤0 -(x+2)(x-3) \geq 0 \implies (x+2)(x-3) \leq 0
biçimine dönüşür.
İfadeyi sadeleştirmek tablo analizini kolaylaştırır, fakat başlangıçtaki paydayı sıfır yapan noktaların bilgisi tanımsızlık getirdiği için çözüm kümesinden elenmek üzere saklı tutulur.
4
Sadeleşmiş ifadenin işaret tablosunu oluştururuz.
İfadenin kökleri x=−2x = -2 ve x=3x = 3 olup her ikisi de tek katlı köktür. Başkatsayı negatif olduğundan en sağdan eksi ile başlanır: x<−2x < -2 için (−)(-), −2<x<3-2 < x < 3 için (+)(+), x>3x > 3 için (−)(-) olur.
Eşitsizliğin sağlandığı pozitif veya sıfır olduğu bölgeleri belirlemek için işaret incelemesi gerekir.
5
Çözüm kümesindeki tam sayı değerlerini bulur ve toplarız.
İşaret tablosuna göre eşitsizliği sağlayan aralık [−2,3][-2, 3]'tür. Ancak x≠2x \neq 2 ve x≠3x \neq 3 olmalıdır. Dolayısıyla çözüm kümesi [−2,2)∪(2,3)[-2, 2) \cup (2, 3) olur. Bu aralıktaki tam sayılar −2,−1,0,1-2, -1, 0, 1'dir. Toplamları ise:
(−2)+(−1)+0+1=−2 (-2) + (-1) + 0 + 1 = -2
olarak bulunur.
Bulunan aralıktan tanımsızlık noktaları çıkarılarak çözüm kümesindeki tam sayıların toplamına ulaşılır.

Key Concept

Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerde sadeleştirme yapılırken tanımsızlık yapan köklerin çözüm kümesinden çıkarılması
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

More questions from this topic