Examkin

Question

Difficulty: MediumBelirli İntegral ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫14f(x) dx=8\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8
olduğu bilinmektedir.
Buna göre,
∫12x⋅f(x2) dx+∫25f(x−1) dx\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2) \, dx + \int_{2}^{5} f(x-1) \, dx
toplamının değeri kaçtır?

Answer: 12

Answer

Toplamın değeri 12 olarak elde edilir.
Belirli integrallerde sırasıyla u=x2u = x^2 ve v=x−1v = x - 1 dönüşümleri yapıldığında, her iki integral de [1,4][1, 4] aralığındaki ff integraline dönüşür. Sınırların güncellenmesiyle ilk integral 12∫14f(u) du=4\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du = 4 ve ikinci integral ∫14f(v) dv=8\int_{1}^{4} f(v) \, dv = 8 olur. Bu iki değerin toplamından doğru cevap 12 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İlk integral olan ∫12x⋅f(x2) dx\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2) \, dx ifadesinde u=x2u = x^2 değişken değiştirmesini uygulayalım.
du=2x dx  ⟹  x dx=du2du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2} elde edilir. İntegral sınırlarını güncellersek: x=1x = 1 için u=12=1u = 1^2 = 1 ve x=2x = 2 için u=22=4u = 2^2 = 4 olur.
Değişkeni ve sınırları yeni uu değişkenine göre ifade etmek için.
2
Bulduğumuz değerleri ilk integralde yerine yazarak integralin değerini hesaplayalım.
∫12x⋅f(x2) dx=∫14f(u)⋅du2=12∫14f(u) du\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2) \, dx = \int_{1}^{4} f(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du olur. Soruda verilen ∫14f(x) dx=8\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8 bilgisini kullanırsak, bu integralin değeri 12⋅8=4\frac{1}{2} \cdot 8 = 4 olarak bulunur.
Belirli integralde değişkenin adının sonucu değiştirmemesi özelliğini kullanmak için.
3
İkinci integral olan ∫25f(x−1) dx\int_{2}^{5} f(x-1) \, dx ifadesinde v=x−1v = x - 1 değişken değiştirmesini uygulayalım.
dv=dxdv = dx elde edilir. İntegral sınırlarını güncellersek: x=2x = 2 için v=2−1=1v = 2 - 1 = 1 ve x=5x = 5 için v=5−1=4v = 5 - 1 = 4 olur.
İntegrali verilen temel f(x)f(x) integraline benzetmek için.
4
Bulduğumuz değerleri ikinci integralde yerine yazarak integralin değerini hesaplayalım.
∫25f(x−1) dx=∫14f(v) dv\int_{2}^{5} f(x-1) \, dx = \int_{1}^{4} f(v) \, dv olur. Soruda verilen ∫14f(x) dx=8\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8 bilgisini kullanırsak, bu integralin değeri de 88 olarak bulunur.
Yatay öteleme sonrası sınırları güncellenen integralin değerini bulmak için.
5
İki integralin elde edilen değerlerini toplayalım.
4+8=124 + 8 = 12 elde edilir.
Soruda istenen toplam integral değerine ulaşmak için.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic