Examkin

Question

Difficulty: HardBelirli İntegral ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫1xf(t) dt+∫14−xf(t) dt=x2−4x+10\int_{1}^{x} f(t) \, dt + \int_{1}^{4-x} f(t) \, dt = x^2 - 4x + 10
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫23f(x) dx\int_{2}^{3} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?

Answer: 4

Answer

İstenen integralin değeri 4'tür.
Verilen denklemde sırasıyla x=3x=3 ve x=2x=2 değerleri yazılarak ∫13f(t) dt=7\int_{1}^{3} f(t) \, dt = 7 ve ∫12f(t) dt=3\int_{1}^{2} f(t) \, dt = 3 değerleri elde edilir. Ardından, integralin aralık bölme özelliği olan ∫13f(x) dx=∫12f(x) dx+∫23f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx eşitliği kullanılarak istenen integralin değeri 7−3=47 - 3 = 4 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitlikte x=3x = 3 yazarak ∫13f(t) dt\int_{1}^{3} f(t) \, dt integralinin değerini elde etmek.
∫13f(t) dt+∫11f(t) dt=32−4(3)+10  ⟹  ∫13f(t) dt+0=7  ⟹  ∫13f(t) dt=7\int_{1}^{3} f(t) \, dt + \int_{1}^{1} f(t) \, dt = 3^2 - 4(3) + 10 \implies \int_{1}^{3} f(t) \, dt + 0 = 7 \implies \int_{1}^{3} f(t) \, dt = 7
x=3x = 3 yazıldığında ikinci integralin sınırları 1'den 1'e olacağı için değeri belirli integralin özelliği gereği 0 olur.
2
Eşitlikte x=2x = 2 yazarak ∫12f(t) dt\int_{1}^{2} f(t) \, dt integralinin değerini elde etmek.
∫12f(t) dt+∫12f(t) dt=22−4(2)+10  ⟹  2∫12f(t) dt=6  ⟹  ∫12f(t) dt=3\int_{1}^{2} f(t) \, dt + \int_{1}^{2} f(t) \, dt = 2^2 - 4(2) + 10 \implies 2 \int_{1}^{2} f(t) \, dt = 6 \implies \int_{1}^{2} f(t) \, dt = 3
x=2x = 2 yazıldığında her iki integral de ∫12f(t) dt\int_{1}^{2} f(t) \, dt haline gelir.
3
Belirli integralin parçalama özelliğini kullanarak istenen aralıktaki integrali hesaplamak.
∫13f(x) dx=∫12f(x) dx+∫23f(x) dx  ⟹  7=3+∫23f(x) dx  ⟹  ∫23f(x) dx=4\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx \implies 7 = 3 + \int_{2}^{3} f(x) \, dx \implies \int_{2}^{3} f(x) \, dx = 4
[1,3][1, 3] aralığındaki belirli integral, [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] aralıklarındaki integrallerin toplamı olarak yazılabilir.

Key Concept

Belirli integralde sınırların parçalanması özelliği ve alt-üst sınırları eşit olan belirli integralin değerinin sıfır olması.
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic