Examkin

Question

Difficulty: HardBelirli İntegral ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(2+x)+f(2−x)=6f(2+x) + f(2-x) = 6
eqitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,
∫13(3x2−12x)f(x) dx\int_{1}^{3} (3x^2 - 12x) f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?

Answer: -66

Answer

İntegralin değeri -66'dır.
Soruda verilen integral x=2x=2 simetri eksenine göre düzenlendiğinde 3x2−12x=3(x−2)2−123x^2 - 12x = 3(x-2)^2 - 12 olarak parçalanır. Elde edilen iki ayrı integral teriminde t=4−xt = 4-x dönüşümü uygulanıp f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 simetri bağıntısı kullanıldığında, birinci integralin değeri 22, ikinci integralin değeri ise 66 olarak bulunur. Bu değerler yerine yazıldığında doğru sonuç −66-66 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İntegral içindeki 3x2−12x3x^2 - 12x karesel ifadesini simetri merkezi olan x=2x=2 değerine göre 3(x−2)2−123(x-2)^2 - 12 biçiminde yeniden yazmak ve integrali iki parçaya ayırmak.
I=3∫13(x−2)2f(x) dx−12∫13f(x) dxI = 3 \int_{1}^{3} (x-2)^2 f(x) \, dx - 12 \int_{1}^{3} f(x) \, dx
Verilen f(2+x)+f(2−x)=6f(2+x) + f(2-x) = 6 simetri özelliğini integral sınırları olan [1,3][1, 3] aralığında verimli kullanabilmek için.
2
J=∫13f(x) dxJ = \int_{1}^{3} f(x) \, dx integralinde t=4−xt = 4-x değişken değiştirmesi yapıp f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 bağıntısını kullanarak integral değerini hesaplamak.
J=6J = 6
Belirli integralin sınır değiştirme ve fonksiyon simetrisi özelliğinden yararlanarak bilinmeyen f(x)f(x) fonksiyonunun integralini çözmek.
3
K=∫13(x−2)2f(x) dxK = \int_{1}^{3} (x-2)^2 f(x) \, dx integralinde t=4−xt = 4-x değişken değiştirmesi uygulayarak terimi sadeleştirmek ve bilinen bir polinomsal integrale indirgemek.
K=2K = 2
x=2x=2 noktasına göre simetrik karesel çarpanın integral üzerindeki etkisini simetri özellikleri yardımıyla sayısal bir değere dönüştürmek.
4
Elde edilen KK ve JJ değerlerini ana integral ifadesinde yerine koyarak sonucu hesaplamak.
−66-66
İstenen belirli integralin nihai sayısal sonucuna ulaşmak.

Key Concept

Belirli integralde sınırların simetrisi, değişken değiştirme yöntemi ve simetrik fonksiyonların belirli integral özelliklerinin uygulanması.
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic