Examkin

Question

Difficulty: EasyÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
log⁡13(2x−1)>log⁡13(x+3)\log_{\frac{1}{3}}(2x - 1) > \log_{\frac{1}{3}}(x + 3)

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Answer: 6

Answer

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 6'dır.
Verilen eşitsizlikte taban 13<1\frac{1}{3} < 1 olduğu için fonksiyon azalandır ve logaritma kaldırıldığında eşitsizlik yön değiştirerek 2x−1<x+3⇒x<42x - 1 < x + 3 \Rightarrow x < 4 olur. Logaritmanın tanım kümesinden gelen 2x−1>0⇒x>122x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2} koşulu ile bu durum birleştirildiğinde çözüm kümesi 12<x<4\frac{1}{2} < x < 4 olur. Bu aralıktaki tam sayılar 1,2,31, 2, 3 olup toplamları 66'dır.

Step-by-Step Solution

1
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümelerini belirlemek
x>12x > \frac{1}{2}
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için 2x−1>02x - 1 > 0 ve x+3>0x + 3 > 0 olmalıdır. Bu eşitsizliklerin ortak çözümü x>12x > \frac{1}{2} aralığını verir.
2
Eşitsizliği çözmek için tabanın durumunu incelemek
x<4x < 4
Taban 13<1\frac{1}{3} < 1 olduğundan logaritma fonksiyonu azalandır. Bu nedenle logaritmalar kaldırılırken büyüktür işareti küçüktür işaretine dönüşür: 2x−1<x+3⇒x<42x - 1 < x + 3 \Rightarrow x < 4 elde edilir.
3
Çözüm aralığındaki tam sayı değerlerini bulup toplamak
1+2+3=61 + 2 + 3 = 6
Tanım kümesi ile eşitsizlik çözümünün kesişimi olan 12<x<4\frac{1}{2} < x < 4 aralığındaki tam sayılar 11, 22 ve 33'tür. Bu sayıların toplamı 66 yapar.

Key Concept

Tabanı 0 ile 1 arasında olan logaritmik eşitsizliklerde eşitsizlik sembolü yön değiştirir. Ayrıca logaritmanın tanım kümesi sınırlamaları her zaman çözüm kümesine dahil edilmelidir.
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

More questions from this topic