x bir gerçel sayı olmak üzere, \frac{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 3x) + 2}{\log_2(x-1) - 2} \leq 0 \neşitsizliğini sağlayan en küçük iki farklı pozitif x tam sayısının toplamı kaçtır?

x bir gerçel sayı olmak üzere, \frac{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 3x) + 2}{\log_2(x-1) - 2} \l… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x

bir gerçel sayı olmak üzere,

\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 3x) + 2}{\log_2(x-1) - 2} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan en küçük iki farklı pozitif

x

tam sayısının toplamı kaçtır?

A
7
B
9
10Answer
D
11
E
13

Answer

Eşitsizliği sağlayan en küçük iki farklı pozitif tam sayının toplamı 10'dur.

Eşitsizliğin tanım kümesi

x > 3

olup, payın kökü

x = 4

ve paydanın tanımsızlık noktası

x = 5

'tir. Bu sınırlar doğrultusunda yapılan işaret tablosunda ifadenin negatif veya sıfır olduğu en geniş küme

(3, 4] \cup (5, \infty)

şeklinde elde edilir. Bu kümede yer alan en küçük iki pozitif tam sayı 4 ve 6'dır. Toplamları ise 10 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Tanım Kümesinin Belirlenmesi

x^2 - 3x > 0 \Rightarrow x < 0

veya

x > 3

x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1

Her iki şartın kesişimi olan en geniş tanım kümesi:

x > 3

aralığıdır.

Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin kesinlikle pozitif olması gerekir.

Payın Köklerinin Bulunması

\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 3x) + 2 = 0 \Rightarrow \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 3x) = -2

x^2 - 3x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4

x^2 - 3x - 4 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+1) = 0

Buradan kökler

x = 4

x = -1

olarak bulunur. Tanım kümemiz

x > 3

olduğundan yalnızca

x = 4

geçerli bir köktür.

Payın sıfır olduğu noktalar, eşitsizlik ifadesinin işaret değiştirebileceği ve eşitlik durumunda çözüm kümesine dahil edilebilecek kritik noktalardır.

Paydanın Köklerinin Bulunması

\log_2(x-1) - 2 = 0 \Rightarrow \log_2(x-1) = 2

x-1 = 2^2 = 4 \Rightarrow x = 5

x = 5

değeri paydayı sıfır yaptığı için ifadeyi tanımsız kılar ve çözüm kümesine dahil edilemez.

Paydanın sıfır olduğu noktalar tanımsızlık noktalarıdır ve işaret tablosunda çift çizgi ile gösterilip çözüm kümesine asla dahil edilmezler.

İşaret Tablosunun Oluşturulması ve Çözüm Kümesinin Belirlenmesi

x > 3

tanım aralığında kritik noktalarımız

x = 4

x = 5

'tir.

-

3 < x < 4

için: Pay pozitif, payda negatif olduğundan bölüm negatiftir (

-

).
-

x = 4

için: Pay sıfır, payda negatif olduğundan bölüm sıfırdır (

0

).
-

4 < x < 5

için: Pay negatif, payda negatif olduğundan bölüm pozitiftir (

+

).
-

x = 5

için: Payda sıfır olduğundan ifade tanımsızdır.
-

x > 5

için: Pay negatif, payda pozitif olduğundan bölüm negatiftir (

-

).

Bizden ifadenin

\leq 0

olması istendiği için en geniş çözüm kümesi:

(3, 4] \cup (5, \infty)

olarak bulunur.

İşaret tablosu yardımıyla rasyonel ifadenin pay ve paydasının işaretleri analiz edilerek eşitsizliğin sağlandığı bölgeler tespit edilir.

En Küçük İki Pozitif Tam Sayının Bulunması ve Toplanması

(3, 4]

aralığındaki tek tam sayı çözümümüz

x = 4

'tür.

(5, \infty)

aralığındaki en küçük tam sayı çözümümüz ise

x = 6

'dır (

x = 5

tanımsızlık nedeniyle dahil değildir).

En küçük iki farklı pozitif tam sayı değerinin toplamı:

4 + 6 = 10

bulunur.

Bulunan en geniş çözüm kümesi üzerindeki en küçük iki pozitif tam sayı tespit edilerek soruda istenen toplama işlemi gerçekleştirilir.

Key Concept

Logaritmik Eşitsizlikler ve Tanım Kümesi Kontrolü

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic