\log_{\frac{1}{4}}(2x - 1) \geq -1 \neşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\log_{\frac{1}{4}}(2x - 1) \geq -1

eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

$\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right]$ Answer
B
$\left(-\infty, \frac{5}{2}\right]$
C
$\left[\frac{5}{2}, \infty\right)$
D
$\left(0, \frac{5}{2}\right]$
E
$\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{8}\right]$

Açık aralık bir bölü iki ile kapalı aralık beş bölü iki aralığı

Logaritmanın içi pozitif olmalıdır koşulundan

x > \frac{1}{2}

elde edilir. Taban basit kesir olduğundan eşitsizlik yön değiştirerek

2x - 1 \leq 4

haline gelir ve buradan

x \leq \frac{5}{2}

bulunur. Bu iki aralığın kesişimi doğru olan açık aralık bir bölü iki ile kapalı aralık beş bölü iki kümesini verir.

Tanım kümesi kontrolü yapılır.

2x - 1 > 0 \Rightarrow 2x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{2}

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için içinin sıfırdan büyük olması gerekir.

Logaritmik eşitsizlik çözülür.

2x - 1 \leq \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} \Rightarrow 2x - 1 \leq 4 \Rightarrow 2x \leq 5 \Rightarrow x \leq \frac{5}{2}

Logaritmanın tabanı basit kesir (

0 < \frac{1}{4} < 1

) olduğu için eşitsizlik yön değiştirir.

Elde edilen iki eşitsizlik kesiştirilir.

\frac{1}{2} < x \leq \frac{5}{2}

yani

\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right]

Çözüm kümesinin hem tanım kümesini hem de eşitsizlik şartını aynı anda sağlaması gerekir.

Basit kesir tabanlı logaritmik eşitsizliklerin çözümünde eşitsizlik yönünün değiştirilmesi ve tanım kümesi sınırlarının kesiştirilmesi.

Question